2024-2025学年广东省“八校联盟”高二第一学期期中教学质量检测(一)数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省“八校联盟”高二第一学期期中教学质量检测数学试题(一)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x−y−3=0的倾斜角为(

)A.π3 B.π6 C.π42.已知空间向量a，b的夹角为π3，且|a|=2，|b|=1，则a+2A.3π4 B.5π6 C.π43.在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,−4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=(

)A.(−2,0,−4) B.(−2,3,0) C.(−2,0,0) D.(1,0,−4)4.直线l1:(3a+1)x+2ay−1=0和直线l2:ax−3y+3=0，则“a=53A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2A.−8 B.−4 C.−2 D.86.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3A.k3<k2<k1 B.7.设O为坐标原点，向量OA=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，OP=(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则QA⋅A.23 B.−23 C.18.如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=2π3，则折后直线AC与平面OEF所成角的正弦值为(

)

A.77 B.1111 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的有(

)A.直线6x+my+1=0的斜率为−6m

B.直线y=4x−3在y轴上的截距为3

C.直线y=a(x+2)+3(a∈R)必过定点(−2,3)

D.直线l110.下列命题中正确的是(

)A.已知e1，e2是两个互相垂直的单位向量，a=2e1+3e2，b=ke1−4e2，且a⊥b，则实数k=6

B.已知正四面体OABC的棱长为1，则(OA+OB)⋅(CA+CB)=1

C.已知A(1,1,0)，11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BCA.若λ=1，μ=0，则三棱锥P−BEC外接球的表面积为9π4

B.若λ=μ=12，则异面直线CP与B1F所成角的余弦值为31010

C.若λ+μ=1，则△PEF面积的最小值为38

D.若存在实数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点(1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为

．13.如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD=DC=1，点E在棱AA1上，且AE=114.二面角α−l−β中，A，B∈l，C∈α，D∈β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=6，AC=2，BD=1，CD=3，则此二面角的大小为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)求经过点(4,1)，且在x轴上的截距为2的直线方程;(2)已知直线l经过点(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的方程．16.(本小题15分)

如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2，∠BAA1=23π，(1)用向量AB，AC，AA1(2)求异面直线AO与BC所成角的余弦值;(3)判定平面ABC与平面B1BC17.(本小题15分)(1)若直线l沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率;(2)一束光线从点P(−2,4)射出，与y轴相交于点Q(0,−1)，经y轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程;(3)已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3.求y+1x+1的取值范围．18.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2(1)证明：BC1(2)若AP=λAB(0≤λ≤1)，求直线PA19.(本小题17分)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b，定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅bsina(1)求AB的长；(2)若E为AD的中点，求二面角P−EB−A的余弦值；(3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=λEM，求参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.A

9.CD

10.ABC

11.AD

12.x−2y+5=0

13.514.π315.解：(1)由题意可知所求直线经过(4,1)，(2,0)两点，

则直线的斜率k=1−04−2=12，所以直线方程为y−0=12(x−2)，

即x−2y−2=0．

(2)由题意可设直线l的方程为xa+yb=1(a>0,b>0)，

则4a16.解：(1)AO=(2)设AB=a，AC=AO===32．

又∵BC∴AO·BC∴cos〈AO∴异面直线AO与BC所成的角的余弦值为3(3)取BC的中点E，连接AE，

则AE∵AB=AC，E为BC的中点，

∴AE⊥BC．又AE·∴AE⊥BB∵BC∩BB1=B，BC、BB1在平面B1又AE⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面B1

17.(1)解：由题意，直线l存在斜率，可设直线方程为y=kx+b，直线l沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后，所得直线的方程为y=k(x−5)+b+2，化简得y=kx−5k+b+2．

因为平移后与原直线重合，则kx+b=kx−5k+b+2.解得k=25，即直线l的斜率为25．

(2)解：由P(−2,4)，Q(0,−1)两点坐标，可得直线PQ的斜率为−1−40−(−2)=−52，所以入射光线所在直线方程为y=−52x−1，即5x+2y+2=0．

因为反射光线与入射光线所在直线关于y轴对称，

所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以反射光线所在直线的斜率为52，所以反射光线所在直线方程为y=52x−1，即5x−2y−2=0．

(3)解：因为y+1x+1=y−(−1)x−(−1)的几何意义是过P(x,y)，N(−1,−1)两点的直线的斜率，

由题意可知点P在线段AB上移动，且A，B两点的坐标分别为18.解：(1)连接B1C，

∵四边形BCC1B1是正方形，∴B1C⊥BC1，

∵B1E=EC1，CF=C1F，∴B1C//EF，∴EF⊥BC1，

∵△A1B1C1是等边三角形，B1E=EC1，∴A1E⊥B1C1，

∵三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，

∵A1E⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1E，

∵BB1⊥A1E，A1E⊥B1C1，B1B∩B1C1=B1，B1B，B1C1⊂平面BB1C1C，

∴A1E⊥平面BCC1B1，

∵BC119.解：(1)因为底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，所以AD//BC，BC⊥DC，

又BC⊂底面ABCD，

所以PD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PDC，

所以BC⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，

所以BC⊥PC，所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即⟨AD设AB=xx>0，则PC=x在Rt△PBC中sin∠PBC=又AD×BP=85，

所以4所以AB=2；(2)在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接PF，因为PD⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，

所以PD⊥BF，

又DF∩PD=D，DF、PD⊂平面PDF，

所以BF⊥平面PDF，

又PF⊂平面PDF，

所以BF⊥PF，所以∠PFD为二面角P−EB−D的平面角，因为E为AD的中点，所以DF=2sinπ4所以cos∠PFD=设二面角P−EB−A的平面角为θ，则θ=π−∠PFD，所以cosθ=即二面角P−EB−A的余弦值为−1

(3)依题意AD×BP⊥AD，AD所以EM⊥AD，EM⊥BP，

又AD//BC，

所以EM⊥BC，又PB∩BC=B，PB、BC⊂平面PBC，

所以EM⊥平