2024-2025学年新教材高中数学第8章函数应用章末综合提升学案苏教版必修第一册

第8章函数应用类型1函数的零点与方程的根的关系及应用依据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决许多函数、方程与不等式的问题．从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应留意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．【例1】(1)函数f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零点为________．(2)函数g(x)＝lgx与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.[思路点拨](1)可通过解方程来求零点．(2)通过图象和零点存在定理来解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg2－1<0，h(3)＝lg3>0，h(4)＝lg4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.][跟进训练]1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解](1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，明显有零点．当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴当m≤－eq\f(5,9)且m≠－6时，二次函数有零点．综上所述，m≤－eq\f(5,9).(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.类型2函数的零点的应用函数的零点的应用很广泛，特殊是在求参数的取值范围，函数在指定区间上的零点、方程的根的分布等诸多方面，与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，一般思路就是通过分别参数简化问题求解，即先分别参数，也可以转化为相关的函数图象的交点的个数问题，通过数形结合，求出参数的取值范围．该类问题属中档题，常与其他问题交汇命题．【例2】若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，求实数a的取值范围．[解]因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因为x∈[－1,1]，所以2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).[跟进训练]2．已知函数f(x)＝－x2－2x,g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．[解](1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<eq\f(5,4)时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).类型3构建函数模型解决实际问题数学建模是学生必备的学科素养之一，主要培育和提升建模实力和实际应用实力，将是以后高考的重要内容，利用建模解决实际问题的主要步骤为．(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、说明：对求得的数学结果进行深化的探讨，作出评价、说明，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．即：(1)构建函数模型时不要遗忘考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值时，留意取得最值时等号成立的条件．【例3】小王高校毕业后，确定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流淌成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0<x<8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)当0<x<8时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元．当x≥8时，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，当且仅当x＝eq\f(100,x)时等号成立，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．[跟进训练]3．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单位：万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？[解](1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga8＝3，,loga64＝6，))解得a＝2，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤x<8，,log2x，8≤x≤64，,\f(1,10)x，x>64.))(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100.综上所述，当年销售额x∈[16,100](单位：万元)时，奖金y∈[4,10](单位：万元)．(2024·北京高考)为满意人民对美妙生活的憧憬，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理实力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理实力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理实力最强．其中全部正确结论的序号是________．①②③[由题图可知甲企业的污水排放量在t1