2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1.1离散型随机变量学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量内容标准学科素养1.会分析随机变量的意义，知道随机变量与函数的区分与联系．2.能区分别散型与非离散型随机变量，能举出离散型随机变量的例子．3.能理解随机变量所表示的试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.利用数学抽象提升数学建模授课提示：对应学生用书第24页[基础相识]学问点一随机变量eq\a\vs4\al(预习教材P44，思索并完成以下问题)(1)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？提示：掷一枚硬币，可能出现正面对上、反面对上两种结果．虽然这个随机试验的结果不是数字，但我们可以用数1和0分别表示正面对上和反面对上．(2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？提示：x可取0,1,2,3，…，10.学问梳理1.随机变量的定义在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数学表示，数字随着试验结果的改变而改变，像这种随着试验结果改变而改变的变量称为随机变量．2．随机变量常用字母X，Y，∈，η，…表示．3．随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种一一对应关系区分随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域学问点二离散型随机变量学问梳理1.定义：全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．2．特征：(1)可用数字表示．(2)试验之前可以推断其出现的全部值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．[自我检测]1.已知6件同类产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是()A．取到的产品个数B．取到的正品个数C．取到正品的概率D．取到次品的概率答案：B2．一个口袋内装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个蓝球，从中任取3个，用X表示所取球中红球的个数，则X的全部可能取值为________．答案：1,2,3授课提示：对应学生用书第25页探究一随机变量的概念[阅读教材P45练习1改编]下列随机试验的结果能否用随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值．(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)随意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差．解析：(1)能用随机变量表示，可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.(2)能用随机变量表示，可能取值为0,1,2,3,4,5.(3)能用随机变量表示，可能取值为－2500≤x≤2500.[例1]推断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)北京国际机场候机厅中某天的旅客数量；(2)2019年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1000cm3的球的半径长．[解析](1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间是在某一区间内的随意一值，是随机的，因此是随机变量．(4)当球的体积为1000cm3时，半径为定值，不是随机变量．方法技巧1.随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；2．随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机事务；3．有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它；4．对随机变量的全部可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏．在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数，且这个数全部可能的取值是预先知道的，但不知道原委会出现哪一个．跟踪探究1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)随意掷一枚匀称硬币5次，出现正面对上的次数；(2)投一颗质地匀称的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的改变；(4)在标准状况下，水在0℃解析：(1)随意掷一枚硬币1次，可能出现正面对上也可能出现反面对上，因此投掷5次硬币，出现正面对上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(3)属相是诞生时便定的，不随年龄的改变而改变，不是随机变量．(4)标准状况下，在0℃探究二离散型随机变量的判定[阅读教材P49习题2.1A组1题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；(2)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的成果．解析：(1)能用离散型随机变量表示．设能遇到的红灯个数为X，它可能取值为0,1,2,3,4,5.事务{x＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯．事务{x＝1}表示5个路口其中1个路口遇到红灯．其余4个路口都不是红灯．事务{x＝2}表示5个路口，其中2个路口遇到红灯，其余3个路口都不是红灯．事务{x＝3}表示5个路口，其中3个路口遇到红灯，其余2个路口都不是红灯．事务{x＝4}表示5个路口，其中4个路口遇到红灯，其余1个路口不是红灯．事务{x＝5}表示5个路口全部遇到红灯．(2)能用离散型随机变量表示X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，成果不及格,2，成果及格,3，成果中,4，成果良,5，成果优))则X是一个离散型随机变量，可能的值为1,2,3,4,5.事务{x＝1}表示该同学取得的成果为不及格．事务{x＝2}表示该同学取得的成果为及格．事务{x＝3}表示该同学取得的成果为中．事务{x＝4}表示该同学取得的成果为良．事务{x＝5}表示该同学取得的成果为优．[例2]下面给出四个随机变量：①某高速马路上某收费站在将来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站将来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①② B．③④C．①③ D．②④[解析]①收费站在将来1小时内经过的车辆数X有限且可一一列出，是离散型随机变量；同理③也是；而②④都是不行一一列出的连续改变的数，不符合离散型随机变量的定义．[答案]C方法技巧“三步法”判定离散型随机变量(1)依据详细情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)推断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．跟踪探究2.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场中的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．解析：(1)是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)是离散型随机变量．因为从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．所以所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)不是离散型随机变量．因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出，所以不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，所以不是离散型随机变量．探究三用随机变量表示随机试验的结果[例3]写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所须要的取球次数；(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.[解析](1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.(2)X的全部可能取值为0,1,2,3.X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．方法技巧解答此类问题的关键在于明确随机变量的全部可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪探究3.写出下列随机变量X可能取的值，并说明随机变量X＝4所表示的随机试验的结果．(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为X；(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为X.解析：(1)X的全部可能取值为2,3,4，…，10.其中X＝4表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大编号为4”．基本领件有如下三种：取出的两张卡片上的编号分别为1和4,2和4,3和4.(2)X的全部可能取值为0,1,2,3,4,5.其中X＝4表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．授课提示：对应学生用书第26页[课后小结](1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事务．(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以推断其可能出现的全部值；③在试验之前不能确定取值．[素养培优]随机变量中因忽视题目中的条件而致错小王参与一次竞赛，竞赛共设三关，第一、其次关各有两个必答题．假如每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关胜利．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，且每个问题回答正