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文档简介

极限

数列的极限一、引例二、数列的有关概念三、数列极限的定义四、数列极限的性质五、数列极限的四则运算六、小结一、引例

极限的概念是在探求很多具体问题中产生的，例如我国极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.

我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.例1设一单位圆，圆的面积

.用其内接正

边形的面积来逼近(刘徽割圆术)首先作圆内接正三边形，面积记为再作圆内接正六边形，面积记为第三次作圆内接正十二边形，面积记为圆内接正

边形，面积记为易得……解：二、数列的有关概念以正整数集

为定义域的函数

按

排列的一列数，称为数列，通常用

表示，其中，简写成.数列中的每一个数叫做数列的项，称为通项或一般项.例如：若存在数

和，对所有的都满足，则称数列为有界数列，否则称为无界数列数列有界的等价条件是数列既有上界又有下界若存在实数

，对一切都满足，称为下有界是的一个下界是的一个上界若存在实数

，对一切都满足，称为上有界在保持数列

原有顺序情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列称为数列

的子数列，简称子列，子数列一般记为,其中

的下标

是子数列的项的序号(即子列的第

项的序号).下面两个特殊的子列分别称为数列

的奇子列和偶子列.三、数列极限的定义观察数列51020501001000100001.201.11.051.021.011.0011.0001当无限增大时，数列

无限接近于1.数列

，存在一个常数，使当无限增大时，与数无限接近，则称数是数列当时的极限.数列

与1无限接近，可用小于某个正数（可任意小）来表示，在逐渐增大的中，确实存在某一时刻（项），从此时刻（项）起，以后的所有项都能使不等式

恒成立.如从第项以后（即）的所有项，都使成立.如取，则，即从第项以后的所有项的所有项都能使恒成立；若取，则，即从第

项以后的所有项的所有项都能使恒成立；若给定任意，要使恒成立，只需满足

即可，取，当时，有恒成立.因此，数列以

为极限使得当时，恒有成立.定义1

设有数列

，若存在常数，对任给的，总存在正整数，使得当时，恒有成立，则称数列以为极限.记为，或数列极限的精确定义.例1

用数列的定义证明数列分析令即要证明,使得当时,恒有证明由于对于,使得当时,恒有要使,只需,取,因此例1

用数列的定义证明数列例2已知

，证明

证明（1）当

时，结论显然成立,（2）当

时，由于，因此对，要使，所以，即，由于，故取，当时,恒有综上，当时，四、数列极限的性质性质2

（有界性）收敛数列必定有界．性质1（唯一性）数列

收敛，那么它的极限必唯一．性质3

若

，且

，则必存在正整数

，当时，恒有推论1

若

，且从某项起有

，那么定理1

数列

收敛

的充分必要条件是它的任何一个子数列也收敛于定理2

数列

收敛

的充分必要条件是它的奇子列和偶子列也都收敛于，即五、数列极限四则运算法则定理3

如果

，，那

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