上海市松江区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试卷含详解

2020学年第一学期期末八年级数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1.计算：=___________．2.写出的一个有理化因式___________．3.方程的根是___________．4.在实数范围内分解因式：___________．5.函数的定义域为___________．6.如果关于x的一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．7.已知，，那么___________．8.如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，那么满足条件的正整数k的值是________.9.经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________．10.直角坐标平面内，已知点，点，那么___________．11.如图，在中，已知∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，∠CAB=50°，那么∠CAD=___________．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．13.如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．14.如图，A点坐标，C点坐标为，将沿AC翻折得，则P点坐标为_________．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.16.下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.17.某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元．若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（）A. B.C. D.18.下列命题中，假命题是（）A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D.一边长相等的两个等腰直角三角形全等三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）19.计算：．20.解方程：．21.如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，，于点E，求BE的长．22.小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家距离与所用的时间之间的函数图像如图所示：（1）甲景点与乙景点相距___________千米，乙景点与小明家距离是___________千米；（2）当时，y与x的函数关系式是___________；（3）小明在游玩途中，停留所用时间为___________小时，在6小时内共骑行___________千米．四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23.已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值．24.如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．25.如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．（1）求反比例函数解析式；（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．26.已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．（1）当点F在边AC上时，①求证：；②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．（2）当是等腰三角形时，求BE长．

2020学年第一学期期末八年级数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1.计算：=___________．【答案】【详解】原式=故答案：．【点睛】本题主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键．2.写出的一个有理化因式___________．【答案】【详解】∵，∴是的一个有理化因式，故答案是：．【点睛】本题主要考查二次根式的有理化，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．3.方程的根是___________．【答案】【详解】，即，直接开平方得：，移项得：，∴，，故答案为：．【点睛】本题考察解一元二次方程－直接开平方法，掌握平方根性质及意义是解题的关键．4.在实数范围内分解因式：___________．【答案】【详解】解：当时，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解．5.函数的定义域为___________．【答案】x＞-1【详解】由题意得：1+x＞0，解得：x＞-1．故答案是：x＞-1．【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分母不等于零，是解题的关键．6.如果关于x的一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．【答案】【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故答案为：．7.已知，，那么___________．【答案】【分析】根据，把x=代入可得关于k的一元一次方程，解方程求出k值即可得答案．【详解】∵，，∴x=时，k=2，解得：k=．故答案为：【点睛】本题考查函数值求解，熟练运用待定系数法是解题关键．8.如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，那么满足条件的正整数k的值是________.【答案】1，2【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．【详解】解：由题意得k-3<0，∴k<3，∴满足该条件的正整数k的值是1，2．故答案为：1，2【点睛】本题考查的是反比例函数的图象的性质，熟练掌握反比例函数的图象的性质是解题的关键．9.经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________．【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆【分析】求圆心的轨迹实际上是求距P点2厘米能画一个什么图形．【详解】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合，因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆；故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆．【点睛】此题所求圆心轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．10.直角坐标平面内，已知点，点，那么___________．【答案】5【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，直接求解即可．【详解】∵点，点，∴，故答案是：5．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，两点间的距离公式，掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．11.如图，在中，已知∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，∠CAB=50°，那么∠CAD=___________．【答案】10°##10度【分析】先求出∠B，再根据垂直平分线的性质，求出∠DAB，进而即可求解．【详解】∵在中，∠C=90°，∠CAB=50°，∴∠B=90°-50°=40°，∵AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=40°，∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=10°，故答案是：10°．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，中垂线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握中垂线的性质和等腰三角形的性质，是解题的关键．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，如果AC=9cm，那么AD=___________cm．【答案】6【分析】根据直角三角形30°角的性质，角平分线的性质，列式计算即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°,∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm，∴CD=(9-x)cm，∴（9-x）：x=1:2即：x=6，∴AD=6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．13.如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．【答案】+24【分析】连结BD，然后根据勾股定理求得BD值和△BAD的面积，再根据勾股定理逆定理得到△BDC是直角三角形，所以可以得到△BDC的面积，从而得到四边形ABCD的面积．【详解】解：如图，连结BD，∵∠BAD=90°，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴S△ABD=，S△BDC=，∴四边形ABCD的面积是=S△ABD+S△BDC=+24故答案为：+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.如图，A点坐标为，C点坐标为，将沿AC翻折得，则P点坐标为_________．【答案】【分析】在Rt△COA中，根据OA=和OC=1，根据勾股定理可得AC=2，得到，根据翻折性质可得，继而可得，，在Rt△PAG中，根据所对直角边等于斜边的一半可以求出AG的长，利用勾股定理可求出PG的长，从而得到P点坐标．【详解】如下图，过点P作轴于点G，∵OA=，OC=1，∴AC=，∴，∴，∵△AOC沿AC翻折得到△APC，∴，∴，，AP=，∴，，∴OG==AO-AG=-=,∴点P的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查折叠性质、含角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形及勾股定理是解题的关键．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．【详解】A：，与被开方数不同，不是同类二次根式；B：，与被开方数相同，是同类二次根式；C：，与被开方数不同，不是同类二次根式；D：，与被开方数不同，不是同类二次根式．故选：B．【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．16.下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，逐一判断选项，即可．【详解】A.，y随x的增大而增大，不符合题意，B.，在一、三象限，y随x的增大而减小，不符合题意，C.，y随x的增大而减小，符合题意，D.，在二、四象限，y随x的增大而增大，不符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的增减性，是解题的关键．17.某种商品连续两次降价后，每件商品价格由原来的600元降至486元．若每次降价的百分率都是x，则可以列出方程（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根据原价×（1±百分率）n=变化后的价格，即可得到答案．【详解】由题意得：，故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握原价×（1±百分率）n=变化后的价格，是解题的关键．18.下列命题中，假命题是（）A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D.一边长相等的两个等腰直角三角形全等【答案】D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）19.计算：．【答案】【分析】通过二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，即可求解．【详解】===【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化，二次根式的除法法则以及合并同类二次根式，是解题的关键．20.解方程：．【答案】x1=1，x2=5【分析】先去分母，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】，，，，∴x1=1，x2=5【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．21.如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，，于点E，求BE的长．【答案】【分析】连接AD，根据中垂线的性质得DA=，进而得∠ADE=45°，设BE=x，则AB=2x，结合勾股定理，即可求解．【详解】连接AD，∵AC的垂直平分线交BC于点D，∴DA=，∴∠DAC=，∴∠ADE=45°，∵于点E，∴∆ADE是等腰直角三角形，∴AE=DA÷=÷=3，在直角∆ABE中，，∴∠BAE=30°，∴设BE=x，则AB=2x，∴AE==，∴=3，解得：x=，∴BE=．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．22.小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离与所用的时间之间的函数图像如图所示：（1）甲景点与乙景点相距___________千米，乙景点与小明家距离是___________千米；（2）当时，y与x的函数关系式是___________；（3）小明在游玩途中，停留所用时间为___________小时，在6小时内共骑行___________千米．【答案】（1）6，12；（2）y=6x；（3）3，24【分析】（1）根据函数图像，直接得到答案即可；（2）根据待定系数法，即可求解；（3）根据函数图像，直接得到答案即可．【详解】（1）由图像可知：当3≤x≤4时，小明从甲景点到乙景点，所以甲景点与乙景点相距6千米，当5≤x≤6时，小明从乙景点到家，所以乙景点与小明家距离是12千米，故答案是：6，12；（2）当时，y是x的正比例函数，设y=kx，把A（1，6）代入y=kx，得6=k，所以y与x的函数关系式是y=6x，故答案是：y=6x；（3）由图像得，当1≤x≤3时，小明在甲景点玩，当4≤x≤5时，小明在乙景点玩，所以小明在游玩途中，停留所用时间为3小时；小明从家到甲景点6千米，小明从甲景点到乙景点6千米，乙景点与小明家距离是12千米，所以在6小时内共骑行24千米，故答案是：3，24【点睛】本题主要考查函数图像，理解函数图象上点得坐标的实际意义，是解题的关键．四、（第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23.已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时，求y的值．【答案】（1）；（2）9【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的定义，利用待定系数法，即可求解；（2）把，代入所求的函数解析式，即可求解．【详解】（1）∵与成正比例，与x成反比例，∴设=m，=（m，k≠0，m，k为常数），∴=m+2∙，∵当时，；当时，，∴，解得，∴；（2）当时，．【点睛】本题主要考查函数的待定系数法，熟练掌握正比例函数与反比例函数的模型，是解题的关键．24.如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；（2）先证明DH∥BE，再证明BE垂直平分AC，即可得到结论．【详解】（1），点E是AC中点，∴DE=,BE=，∴DE=BE，∵点F是BD中点，∴；（2）∵BD平分，∴∠HDB=∠EDB，∵DE=BE，∴∠EDB=∠∠EBD，∴∠HDB=∠EBD，∴DH∥BE，∵，∴BE⊥AC，∵点E是AC中点，∴BE垂直平分AC，∴．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．25.如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；（2）△ABC中，BC=m，根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B点坐标．【详解】解：（1）把点A(1，6)代入反比例函数中得：，∴，∴反比例函数解析式为：；（2）∵，∴，∵反比例函数的图像经过点;∴，∴，解得：，∴，∴B点坐标为．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标．26.已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．（1）当点F在边AC上时，①求证：；②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．（2）当是等腰三角形时，求BE的长．【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4．【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上