2024-2025学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）计算（2m2）3的结果为（）A．8m6 B．6m2 C．2m2 D．4m23．（4分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．75°5．（4分）一个多边形的每一个外角都等于120°，则这个多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（4分）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处7．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．CA＝8，BC＝4，AB＝3 D．AB＝6，∠C＝90°8．（4分）若2a+1＝16，则a等于（）A．7 B．4 C．3 D．29．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，以下结论错误的是（）A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118°10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝21cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ为直角三角形时，t的值为（）A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）计算：（a3）2＝．12．（4分）若点P（2，﹣3）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是．13．（4分）已知等腰三角形的两边长为7和5，则周长可能为．14．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是．15．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，BO是两内角平分线，OD⊥AB于Dcm．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，∠BEF的度数为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）计算：（1）a3•a3+（a2）4+（2a4）2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2．18．（7分）如图，AB＝AC，AD＝AE19．（8分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合（1）如果AC＝7cm，BC＝9cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．20．（9分）如图，解答下列问题：（1）写出A，B，C三点的坐标．（2）若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′，C′，并依次连接这三个点（3）找一点P，使得点P到A，B两点距离相等且直线AP垂直于BC．21．（10分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD＝AE，BD＝CE，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作），∴＝（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+＝CE+（）．即：BH＝．又∵AH⊥BC，垂足为H（所作），∴AH为线段的垂直平分线．∴AB＝AC（）．∴∠B＝∠C（）．22．（10分）如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，∠B＝30°，小明利用直尺（无刻度），请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠BAC的平分线AD，交BC与点D；（2）过点D作线段的垂线DE（填空并完成作图）；（3）根据以上信息请判断：这样画出的图形满足要求吗？证明你的判断．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF平分∠AEC（1）当∠BAC＝30°、△EFC是等腰三角形时，求∠FCE的大小；（2）当∠BAC＝60°，BE＝EG，求∠FCE的大小．24．（10分）小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系．由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题（1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线；（2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；（3）……由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即：Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；Ⅱ．……（1）请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：；（2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，求证：命题Ⅰ：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC；命题Ⅱ：；①请你写出命题Ⅱ的几何语言；②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是25．（12分）平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，AC＝BC．（1）如图1，若A（6，0），C（0，﹣3），求点B的坐标；（2）如图2，设BC交x轴于点D，若AD平分∠BAC，求点B的纵坐标；（3）如图3，当点C运动到原点O时，∠BAO的平分线交y轴于点M，N（n，0），将△MON沿MN翻折，NO的对应边的延长线交AB于点P，且MN＝MQ．请你补全图形（不需要尺规作图），并求NP+QP的值．（用含n的式子表示）

2024-2025学年福建省厦门一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，故选：D．2．（4分）计算（2m2）3的结果为（）A．8m6 B．6m2 C．2m2 D．4m2【解答】解：（2m2）7＝23m3×3＝8m5．故选：A．3．（4分）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【解答】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，∴两个三角形全等的依据是ASA．故选：B．4．（4分）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．75°【解答】解：由题意得：∠1＝90°﹣60°＝30°，则∠α＝45°+30°＝75°，故选：D．5．（4分）一个多边形的每一个外角都等于120°，则这个多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：边数＝360°÷120°＝3．故选：A．6．（4分）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在边AC，BC两条高的交点处 B．在边AC，BC两条中线的交点处 C．在边AC，BC两条垂直平分线的交点处 D．在∠ABC，∠ACB两条角平分线的交点处【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选：C．7．（4分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．CA＝8，BC＝4，AB＝3 D．AB＝6，∠C＝90°【解答】解：A、由ASA，故A符合题意；B、属于SSA情况，故B不符合题意；C、不满足三角形三边之间的关系，故C不符合题意；D、只有两个条件，故D不符合题意．故选：A．8．（4分）若2a+1＝16，则a等于（）A．7 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵2a+1＝16，∴64＝16，∴a＝3，故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，以下结论错误的是（）A．∠ABP＝∠A B．AD＝CD C．∠PBC＝∠ACD D．∠BPC＝118°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°，∴∠PBC＝∠ABC＝36°，由作图痕迹得到BP平分∠ABC，D点为AC的垂直平分线与AB的交点，∴∠ABP＝∠CBP＝36°，所以A选项不符合题意；∴DA＝DC，所以B选项不符合题意；∵DA＝DC，∴∠ACD＝∠A＝36°，∴∠PBC＝∠ACD＝36°，所以C选项不符合题意；∵∠PBC＝36°，∠ACD＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠BPC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴D选项符合题意．故选：D．10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝21cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ为直角三角形时，t的值为（）A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或秒【解答】解：根据题意得：AP＝AB﹣BP＝21﹣3t，AQ＝2t，∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°，∴当∠AQP＝90°，∠APQ＝30°时，则，∴，解得：t＝7，当∠APQ＝90°，∠AQP＝30°时，则，∴，解得：，综上，当t的值为3秒或，△APQ为直角三角形，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）计算：（a3）2＝a6．【解答】解：（a3）2＝a4．故答案为：a6．12．（4分）若点P（2，﹣3）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：∵点P（2，﹣3）与点Q关于y轴对称，∴点Q的坐标是（﹣5，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣4）．13．（4分）已知等腰三角形的两边长为7和5，则周长可能为17或19．【解答】解：当5是腰时，则5+3＞7，周长为7+6+5＝17，当7是腰时，能构成三角形，故答案为：17或19．14．（4分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，C点固定，OC＝CD＝DE，则∠CDE的度数是80°．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝6∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．15．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，BO是两内角平分线，OD⊥AB于D2cm．【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，如图所示：设OD＝a，∵AO，BO是∠CAB，OD⊥AB，∴OE＝OD＝a，OF＝OD＝a，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴S△AOC＝AC•OE＝3a（cm4），S△COB＝BC•OF＝3a（cm2），S△AOB＝AB•OD＝5a（cm2），又∵∠C＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝24（cm2），∵S△AOC+S△COB+S△AOB＝S△ABC，∴6a+4a+5a＝24，解得：a＝5，∴OD＝2cm．故答案为：2．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，E、F两动点分别在线段AD、AB上运动，若∠BAC＝40°，∠BEF的度数为40°．【解答】解：如图所示，连接CE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△BDE（SAS），∴CE＝BE，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，∵∠BAC＝40°，∴∠BAD＝∠BAC＝20°，同理可得CE′＝BE′，则∠CBE′＝∠BCE′＝20°，∴∠BE′F′＝∠CBE′+∠BCE′＝40°，∴当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°，故答案为：40°．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（10分）计算：（1）a3•a3+（a2）4+（2a4）2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2．【解答】解：（1）原式＝a6+a8+7a8＝a6+2a8；（2）原式＝﹣8x4+x6﹣9x3＝﹣16x6．18．（7分）如图，AB＝AC，AD＝AE【解答】解：△ABE≌△ACD，理由如下：由题意可知，∠A是△ABE和△ACD的公共角，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．19．（8分）如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合（1）如果AC＝7cm，BC＝9cm，试求△ACD的周长；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．【解答】解：（1）∵将Rt△ABC沿某条直线折叠，∴DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∵AC＝7cm，BC＝9cm，∴△ACD的周长＝DA+DC+AC＝DB+DC+AC＝BC+AC＝16cm；（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝3x，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝2x，在Rt△ABC中，∠B+∠BAC＝90°，即：2x+5x+x＝90°，∴x＝18°，∴∠B＝2x＝36°．20．（9分）如图，解答下列问题：（1）写出A，B，C三点的坐标．（2）若△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′，C′，并依次连接这三个点（3）找一点P，使得点P到A，B两点距离相等且直线AP垂直于BC．【解答】解：（1）根据题意可知：A（3，4），8），1）；（2）∵△ABC各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘﹣1，6），2），1），∴A′（﹣5，4），2），3），∴将点坐标在平面直角坐标系中画图，如图所示：通过观察得知△A′B′C′与△ABC关于y轴对称；（3）∵点P到A，B两点距离相等，∴点P在AB线段的垂直平分线上，又∵直线AP垂直于BC，∴过点A做AP垂直于BC，∴点P即为AB线段的垂直平分线与AP线的交点．21．（10分）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD＝AE，BD＝CE，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知）AH⊥BC（所作），∴DH＝EH（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+DH＝CE+EH（等式的性质）．即：BH＝CH．又∵AH⊥BC，垂足为H（所作），∴AH为线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC（线段垂直平分线的性质）．∴∠B＝∠C（等边对等角）．【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵在△ADE中，AD＝AE（已知），∴DH＝EH，（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）．又∵BD＝CE（已知），∴BD+DH＝CE+EH（等式的性质）．即：BH＝CH．又∵AH⊥BC，垂足为H（所作），∴AH为线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC（线段垂直平分线的性质）．∴∠B＝∠C（等边对等角）．故答案为：DH；EH；EH；CH；线段垂直平分线的性质．22．（10分）如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，∠B＝30°，小明利用直尺（无刻度），请你帮小明完成下面的尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠BAC的平分线AD，交BC与点D；（2）过点D作线段AB的垂线DE（填空并完成作图）；（3）根据以上信息请判断：这样画出的图形满足要求吗？证明你的判断．【解答】解：（1）如图，射线AD即为所求；（2）如图，线段直线DE即为所求；故答案为：AB；（3）符合要求．理由：∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAE＝30°，∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE（AAS），∵∠B＝∠DAE＝30°，DE＝DE，∴△DEA≌△DEB（ASA）．故符合题意．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF平分∠AEC（1）当∠BAC＝30°、△EFC是等腰三角形时，求∠FCE的大小；（2）当∠BAC＝60°，BE＝EG，求∠FCE的大小．【解答】解：（1）设∠FCE＝α，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∠AEC＝2∠CEF，∵∠EFC是△AEF的一个外角，∴∠EFC＞∠AEF，∴∠EFC＞∠CEF，∴当△EFC是等腰三角形时，有以下两种情况：①当EF＝CF时，则∠CEF＝∠FCE＝α，∴∠AEC＝2∠CEF＝4α，在△AEC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝30°，∴2α+α+30°＝180°∴α＝50°，即∠FCE＝α＝50°；②当EF＝CE时，则∠EFC＝∠FCE＝α，∴∠CEF＝180°﹣（∠EFC+∠FCE）＝180°﹣2α，∴∠AEC＝8∠CEF＝360°﹣4α，在△AEC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∴360°﹣4α+α+30°＝180°，∴α＝70°，即∠FCE＝α＝70°，综上所述：∠FCE的度数是50°或70°；（2）设∠FCE＝α，在△ABC中，AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAG和△CAG中，，∴△BAG≌△CAG（SAS），∴∠EBG＝∠FCE＝α，∵BE＝EG，∴∠EBG＝EGB＝α，∠AEC＝∠EBG+EGB＝2α，在△ABC中，∠AEC+∠FCE+∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，∴2α+α+60°＝180°，∴α＝40°，即∠FCE＝α＝40°．24．（10分）小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系．由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题（1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线；（2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线；（3）……由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即：Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；Ⅱ．……（1）请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：如果一个三角形一边的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；（2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，求证：命题Ⅰ：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC；命题Ⅱ：在△ABC中，AD是中线，AD⊥BC，求证：△ABC是等腰三角形．；①请你写出命题Ⅱ的几何语言；②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是【解答】解：（1）如果一个三角形一边的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：如果一个三角形一边的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形；（2）①命题Ⅱ：在△ABC中，AD是中线，求证：△ABC是等腰三角