广东省广州市华侨中学2024-2025学年高二上学期期中考试港澳班数学试题（解析版）-A4

第页广东侨中2024学年第一学期高二级数学科期中考试题（港澳班）命题人：李小琪审题人：谭景文一、选择题：本大题共12小题，每小题四个选项中只有一个正确选项，每小题5分．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式，得，即，解得，则，解不等式，得，，所以.故选：A2.复数的模为（）A.1 B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模长公式即可得解.【详解】所以复数的模为1，故选：A3.已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件求解.【详解】由可得：，解得：或，当时，两直线重合，不合题意，当时，两直线平行.故选：C.4.若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质解不等式即得.【详解】由，得，而，解得或，所以的取值范围是.故选：D5.函数的反函数是（）A. B.C. D.（）【答案】A【解析】【分析】把y看作常数，解方程求出，x，y互换，得到即可得解.【详解】因为，所以，所以，即x，y互换，得：，.故选：A6.函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据题意，函数的图象与函数的图象关于轴对称，则有，则；故选：．7.正三棱柱各棱长均为，为的中点，那么四面体的体积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出图，然后表示出四面体的体积，再计算即可求得.【详解】如图所示，为正三棱柱，且棱长均为底面为正三角形，侧面为正方形，则故选：D.8.在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为.因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”，故试验的样本空间为：，记“两次取到的球颜色相同”,则，由古典概型概率公式，可得.故选：B.9.已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围.【详解】直线的方程化为，由，解得，因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率，如下图所示，由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或，又直线的斜率，所以直线的斜率的范围为.故选：A10.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】画出曲线和直线图形，利用圆和直线的位置关系再由点到直线的距离即可求得的取值范围.【详解】将曲线整理可得,因此曲线表示的是以2,3为圆心，半径为2的下半圆，若直线与曲线有公共点，如下图所示：当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；当直线在直线的位置，即直线与曲线相切，此时，解得，（舍）；只有直线位于两直线之间时，满足题意，即.故选：A11.圆关于直线对称，则实数（）A.1 B.-3 C.1或-3 D.-1或3【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.【详解】的圆心坐标为，因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，也即，解得：或.当时，可得：，符合圆的方程；当时，可得：，配方可得：，舍去.故选：B12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为1【答案】C【解析】【分析】对A：设点Px,y，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点Mx,y，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断.【详解】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可.二、填空题：本大题共6题，每小题5分．13.已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可.【详解】由题意，表示圆，故，即或，点A（1，2）圆C：外，故，即故实数m的取值范围为或，故答案为：.14.直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______.【答案】【解析】【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解.【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，则，即，所以①．因为的中点在直线上，所以，即②．由①②得，所以点的坐标为．又，当且仅当、、三点共线时，取最大值.故的最大值为.故答案为：.15.直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为______【答案】2【解析】【分析】求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长.【详解】直线恒过定点，而圆的圆心，半径，，即点在圆内，当且仅当时，直线被圆截得弦长最短，所以所求最短弦长为.故答案为：216.如图是一个古典概型的样本空间和事件和事件，其中，，，，那么_______【答案】【解析】【分析】根据题意，求得事件的样本点，结合古典概型的概率计算公式，求解即可.【详解】由题可知，.故答案为：.17.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射回到时点，则光线所经过的路程为_____．【答案】【解析】【分析】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程．【详解】直线的方程为：点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点，则，，解得，．，光线所经过的路程．故答案为：．18.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是_________【答案】【解析】【分析】根据题设，可求得平面的法向量，注意到点在平面内，即可由平面方程得到答案.【详解】由题意可知：平面的法向量为，点在平面内，根据平面的方程公式可得：，化简得：.故答案为：.三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分19.直线l经过两直线：和：的交点.（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.【小问1详解】解：联立方程组，解得交点，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故直线方程为，即，综上可得，直线的方程为或.20.已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心为C的圆经过点和点两点，可知圆心过线段的垂直平分线，将其与直线联立可求得圆心C，再求半径，即可得到圆的标准方程；（2）设线段MN的中点，由G为线段MN的中点可得，代入圆C的方程，即可得到G的轨迹方程.【小问1详解】因为圆C经过点和点两点，所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上，联立可解得，即，所以圆C的半径为则圆C的标准方程；【小问2详解】设线段MN的中点，又M的坐标，且G为线段MN的中点，所以，又N在圆C上运动，可得，化简可得，所以，线段MN的中点G的轨迹方程.21.质量监督局检测某种产品三个质量指标，用综合指标核定该产品的等级.若，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号质量指标（）产品编号质量指标（）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率.【答案】（1）0.6；（2）.【解析】【分析】（1）分别计算10件产品的综合指标，找出满足条件的件数，除以总的10件，即可估计总的一等品率；（2）写出所有的基本事件并得其种数，找出满足条件综合指标均有的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】（1）计算10件产品的综合指标，如下表：产品编号4565656634其中的有共6件，故该样本的一等品率为，从而估计该批产品的一等品率为0.6.（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：共15种.在该样本的一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为，则事件发生的所有可能结果为共3种，所以.【点睛】本题考查用样本的概率估计总体概率，还考查了古典概型问题求概率，属于简单题.22.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.（1）求证：直线平面；（2）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析.（2）.【解析】【分析】（1）在平面内，过点作，交于点，连接.由已知可证明.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根据面面平行的性质，得出证明；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出，以及平面