湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

2024年高二上学期数学期中考试试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，总分40分）1．过点且倾斜角为的直线方程为（

）A． B．C． D．2．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（

）A． B． C． D．4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（

）A． B． C． D．7．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知，分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（

A． B． C． D．二、多选题（共4小题，每小题5分，总分20分）9．满足下列条件的直线与，其中的是（

）A．的倾斜角为，的斜率为B．的斜率为，经过点，C．经过点，，经过点，D．的方向向量为，的方向向量为10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．点是图象的一个对称中心B．的单调递增区间为，C．在上的值域为D．将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则11．曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（

）A．点到轴距离的最大值为 B．点到原点距离的最大值为C．周长的最大值为 D．最大值为12．在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是（

）A．∥平面B．面⊥面C．直线到平面的距离是D．点到直线的距离是三、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）13．已知向量与的夹角为，，，则，14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为.15．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为、16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为.四、解答题（共4小题，总分70分）17．如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.18．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；(2)求王阳最终通过面试的概率.19．已知双曲线的实轴长为，且过点(1)求双曲线C的方程.(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求(3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.20．已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.(1)求椭圆C的方程(2)求证：直线恒过定点；(3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.21．如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

(1)求点的轨迹的方程；(2)当时，点的轨迹方程记为.（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.参考答案：题号12345678910答案DACCCBACBCDAC题号1112答案BDABD1．D2．A3．C4．C5．C6．B

7．A8．C9．BCD10．AC11．BD12．ABD13．214．90015．

16．

17．如图，以为坐标原点，所在的直线分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，则有.（1）因为分别为的中点，所以.所以.所以.又因为平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.设平面的一个法向量为则，即.解得.令，则.设平面的一个法向量为，则，即.得.令，则，因为，所以.故平面平面18．(1)(2)（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件，若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，所以王阳第三次答题通过面试的概率为.（2）记“王阳最终通过面试”为事件，王阳未通过面试的概率为，所以王阳最终通过面试的概率.19．（1）根据题意可得，则将点的坐标代入，得，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）得，则，则直线l的方程为设，由，得，，，，所以（3）设，，则，两式相减得设，则，所以，即，所以，即，所以点P在直线上.20．（1）由已知两个顶点坐标为A-2,0，，短轴长为2，得，，

则椭圆方程：.（2）设直线方程为，Px1,y1由，消去x得，，，则，，，，又点Px1,y则，即，则，即，解得，此时，即直线的方程为，所以直线恒过定点.（3）设直线的方程为，，，

由，消去得，，即，则，，所以点到直线的距离，所以，又，，所以，所以则当即时，取最大值为.21．(1)(2)（i）没有交点，理由见详解；（ii）（1）设Mx,y因为，则，又因为点在圆上，则，所以点的轨迹的方程为.（2）若，