高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示课件 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学课件

§3

向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示一二思考辨析一、空间向量的标准正交分解与坐标表示

一二思考辨析名师点拨1.在空间选一点O和一组单位正交基i,j,k.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面.2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任一点A,对应一个向量

,若

=xi+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫点A的纵坐标,z叫点A的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不能颠倒.一二思考辨析【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则

的坐标分别为

,

.

一二思考辨析二、投影

一二思考辨析名师点拨a·b0=|a|cos<a,b>是一个可正可负的实数,它的符号代表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.一二思考辨析【做一做2】

已知a=(1,0,-1),b=(1,,0),则向量a在向量b上的投影为

.

解析:向量a在向量b上的投影为

一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)写向量的坐标时,三个实数之间的顺序可以颠倒.(

)(2)在同一空间直角坐标系中,某一向量的坐标是唯一确定的.(

)(3)在同一空间直角坐标系中,随着向量a的平移,坐标也随之发生变化.(

)(4)向量a在向量b上的投影是一个正数.(

)×√××探究一探究二思维辨析向量的坐标表示【例1】

如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6.(1)写出点C'的坐标,给出

关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);思维点拨:点C'的坐标的确定方法:过点C'作平面xOy的垂线,垂足为C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,B,则x=|CB|,y=|DC|,z=|CC'|.所以C'(x,y,z).探究一探究二思维辨析解:(1)因为AB=3,AD=4,AA'=6,所以点C'的坐标为(4,3,6).反思感悟空间向量的坐标表示的方法与步骤

探究一探究二思维辨析变式训练1已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点,分别按照下列要求建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.(1)如图①,以O为坐标原点,分别以射线DA,DC,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系;(2)如图②,以O为坐标原点,分别以射线OA,OB,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.探究一探究二思维辨析解:设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量.(1)因为点B在坐标平面xOy内,且底面正方形的中心为O,边长为2,故所求各点的坐标分别为A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E探究一探究二思维辨析(2)因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,探究一探究二思维辨析向量a在向量b上的投影【例2】如图,已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'.求:思维点拨:|a|cos<a,b>就是向量a在向量b上的投影.探究一探究二思维辨析反思感悟求一个向量在另一个向量上的投影,一定要用好投影的定义,同时要找对两个向量的夹角,这也是容易出错的地方.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析建立空间直角坐标系不当致误【典例】

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,则

的坐标分别为

,

.

易错分析:写向量的坐标前,应先建立空间直角坐标系,本题若以A为原点,分别以

的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系是错误的,因为AB与AC是不垂直的.正解:分别取BC,B1C1的中点D,D1,以D为原点,分别以

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).探究一探究二思维辨析纠错心得在解题时,建立空间直角坐标系是关键,解题中建立的坐标系可以不同,但都必须符合空间直角坐标系的要求.123451.下列命题中,正确的命题是(

)①在空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则i,j,k叫标准正交基;②在空间直角坐标系O-xyz中,点P的坐标为(x,y,z),则

=(x,y,z);③a·b的几何意义是a在b方向上的投影与|b|的乘积;④a·b的几何意义是b在a方向上的投影与|a|的乘积.A.①③

B.②④

C.①②③

D.①②③④答案:D12345A.相等 B.互为倒数C.互为相反数 D.不能确定答案:C123453.如图,在直角坐标系中的正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,则点C'的

解析:∵AB=2,∴点C'的坐标为(2,2,2).12345解析:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1A=2,12