高等数学（第三版）课件：平面与直线

平面与直线一、平面的方程二、直线的方程三、平面、直线的位置关系

1．平面的点法式方程法向量

因为

所以有

该方程称为平面的点法式方程

一、平面的方程解由平面方程的点法式得所求平面方程为例1

求过点

且垂直于向量的平面方程即且和平面

例2

求过点

垂直的平面方程．

解因为在该平面上,已知平面的法向量故

所求平面的法向量与向量和都垂直即

由公式得该平面的方程为例3

求过点和三点的平面方程

故

解所求平面的法向量与向量和都垂直，而由公式得该平面方程为

即从平面的点法式方程得令该方程称为平面的一般式方程.则———①2．平面的一般式方程①

—

②得它表示过点且以为法向量的平面

可见，任一三元一次方程①（不全为零）都表示一个平面.系数为平面法向量的坐标设是其任一组解，即———②平面通过原点(图9.16)

图9.16(2)当时，

图9.17

方程 的特殊情况:(1)当时，

该平面平行于轴（图9.17）

图9.18(3)当时,

表示的平面通过轴(图9.18)

同理,方程

分别表示平行于轴和轴的平面;

分别表示通过

轴和

轴的平面.(4)当

时，图9.19当时,该平面平行于坐标面(图9.19)

它表示坐标面

同理，方程和分别表示平行面和面的平面;方程和分别表示面和面.方程为

代入原方程并化简,得所求平面方程为例4

求通过轴和点的平面方程.解因平面通过

轴,由以上讨论,可设其方程为

又点在平面上,因此即解设所求平面方程为例5

一平面经过三点，求此平面的方程.又因

三点都在平面上,所以有

后两个方程分别减去第一个方程,得所以

代入第一个方程得即因为

不能同时为零,所以

,于是有即得所求平面方程为3．平面的截距式方程

解此方程组得

设一平面过三点(图9.20),求此平面方程．图9.20

设平面方程为，因为

三点在该平面上,所以有

即得所求平面方程为

此方程称为平面的截距式方程,其中

分别称为平面在

轴、

轴、

轴上的截距.

代入所设方程(因平面不过原点,)得解方程两边同除以5,得平面的截距式方程为其中

例6

将平面化为截距式方程．

得

由1．直线的点向式方程与参数方程方向向量:向向量为,它的一个方

已知直线L上任意一点求直线L的方程（图9.21）．图9.21

二、直线的方程所以由两向量平行的充要条件可知

此方程组称为直线的点向式方程（或称标准方程）

设点

为直线L上任意一点则点在直线上的充要条件是∥因为注：当中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子也为零．

记其比值为t,则有此式称为直线L的参数方程，t为参数．例7

求过点的直线方程．方向向量

故所求直线的方程为

上式也称为直线的两点式方程．

解解因所求直线平行于两平面.故直线的方向向量s垂直于两平面的法向量及例8

求过点且平行于两平面及

的直线方程.所以取因此,所求直线方程为即

2．直线的一般方程

设平面的方程分别为：

则两个平面的交线L的方程为

此方程称直线的一般方程．例10

将直线方程

化为点向式方程及参数方程．

解先求直线上的一点不妨令,代入原方程组得

解得，即点在直线上再求该直线的一个方向向量,因为分别垂直于平面及的法向量

所以可取所以直线的点向式方程为

令上式为,可得已知直线的参数方程为

三、平面、直线的位置关系1．平面与平面的位置关系

两平面的夹角:两平面法向量的夹角(通常取锐角).法向量

因此与的夹角的余弦为：

特别地

∥∥例11

求两平面

的夹角．

两平面的法向量分别为

所以两平面的夹角的余弦为

所以两平面夹角

解2．直线与直线的位置关系

两直线的夹角:两直线方向向量的夹角(取锐角).方向向量因此与的夹角的余弦为

∥∥例12

求直线

和直线

的夹角．的方向向量分别为解则两直线与的夹角的余弦为

所以两直线的夹角

3．直线与平面的位置关系

直线与平面的夹角:直线和它在平面上的投影直线的夹角

设直线与平面的垂直线的夹角为，与的夹角为,则