高等数学（第二版）下册课件：偏导数

偏导数6.3.1偏导数的概念6.3.2高阶偏导数预备知识1.一元函数导数的定义：2.导数四则运算法则3.高阶导数的定义：在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率问题引入本节我们研究在其他自变量固定不变时,多元函数关于对于多元函数同样需要讨论变化率问题.但多元函数的了导数的概念.自变量不止一个,自变量与因变量之间的关系要比一元函数复杂．一个自变量的变化率问题,即偏导数．6.3.1偏导数的概念二元函数中，如果只有自变量变化，另一个到定义6.8：是固定的(相当于常量)，此时就能看作的一元函数，函数对的导数就能称为二元函数对的偏导数，得如果极限

存在则称此极限为函数

在点

处对

的偏导数，

，

，

或定义6.8设函数

在点

的某一邻域内有定义,当固定在而在处有增量时,相应地,函数有增量记作类似的，函数

在

点

处对

的偏导数定义为记作

，

，

或类似地，可定义函数

对

的偏导函数

，

，

或以后可在不易混淆的情况下把偏导函数称为偏导数.偏导函数的定义为：记为

根据定义，求函数

的偏导数，并不需要新的方法，定义中只有一个自变量在变化，另一个自变量看作固定的，仍是一元函数的微分法问题.求类似地，求时，只要把暂时看作常量而对求导数；时，只要把暂时看作常量而对求导数.其中

是函数

的定义域的内点，求

偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数在点处对的偏导数定义为：法仍是一元函数的微分法问题.解

，例6.3.1求

在点(1,2)处的偏导数分析

先求函数

分别对

，

的偏导数，再将点代入偏导数表达式中解

导数,将另外的自变量看作常量.例6.3.2求

的偏导数.分析

求函数

对其中一个自变量的偏证明

因所以例6.3.3设求证分析

先求函数

分别对

，

的偏导数

代入等式两端，验证左右两端相等：解例6.3.4求

的偏导数.将

和

看作常量，得类似的，例6.3.5已知理想气体的状态方程为求证：

证明因为,,,所以

从上例中我们看到,偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子、分母之商．这是与一元函数导数记号的不同之处．

设

为曲面

上的一点，过

二元函数偏导数的几何意义

就是曲线在点

处的切线对

轴的斜率(对

的变化率)，同样，偏导数

就是曲线在点

处的切线对

轴的斜率(对

的变化率).做平面

上的方程为,截此曲面得一条曲线，此曲线在平面,则对的偏导数关于多元函数偏导数,我们说明几点：(1)对于分段函数分段点处的偏导数,我们只能利用偏导(3)偏导数与连续性之间的关系：与一元函数不同,对于多数的定义求,不能直接利用求导法则求．多元函数来说,即使各偏导数在某点处都存在,也不能保证函数在该点处连续．点(0,0)处为分段点,对的偏导数需利用定义求,即类似的，即偏导数存在,而由上节例6.2.6可知,不二元函数存在，故该函数在(0,0)处不连续.6.3.2高阶偏导数设函数在区域

内具有偏导数那么在内,都是

的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同,有下列四个二阶偏导数：其中,称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解

定理

如果函数