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文档简介

§3.5函数的极值与最值§3.6导数与微分在经济学中的应用§3.4函数的单调性与凹凸性§3.3泰勒定理及应用§3.2洛比达法则§3.1中值定理

导数的应用

3.1.3

柯西中值定理3.1.2拉格朗日定理

3.1.1罗尔定理3.1中值定理

极值

3.1.1罗尔定理若存在点

设函数在区间I上有定义。的某邻域则称点

是函数有极大值点（或极小值点）并称函数值

是函数极大值（或极小值）如图所示，一个函数在某区间上可以有不止一个极大值（极小值），而且可能某个极小值要比极大值大。定义

3.1

费马引理可导极值点处导数为零曲线在点处存在切线并且切线斜率为0,即在极值点处曲线的切线平行于轴.几何意义：定理3.1

设函数

在区间I上有定义．

若函数

在处可导且

是函数

的极值点，则

费马引理的证明：罗尔定理

如果函数

满足：(1)在闭区间

连续，（2)在区间

内可导，(3)在区间两端点处函数值等，即

，则在

内至少

如图所示，罗尔定理指出了对于且在区间两端点处函数值相等区间

上的一条连续光滑曲，即

，那么在曲线上至少存在一点，使得在该点处有水平切线．定理3.2存在一个点

，使得罗尔定理的证明：例题3.1.1解拉格朗日中值定理弦AB所在直线的斜率：过点的曲线的斜率为即该切线平行于弦AB．即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例使得：定理3.3拉格朗日定理的证明：解：例题3.1.2例题3.1.3证明例题

3.1.4证明推论3.1证明：

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