上海市徐汇区部分学校联考2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷（带解析）

第1页/共1页2024学年第一学期初三数学阶段练习试卷（完卷时间：100分钟满分：150分）考生注意：答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.“相似的图形”是()A.形状相同的图形 B.大小不相同的图形C.能够重合的图形 D.大小相同的图形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【详解】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，

故选A．【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形．2.在中，，，，那么的正弦值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正弦的定义；根据正弦的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，在中，，，，∴,故选：D．3.已知非零向量与，那么下列说法正确的是（）A.如果，那么B.如果，那么；C.如果，那么；D.如果，那么．【答案】D【解析】【分析】根据向量的定义可直接进行排除选项．【详解】A、如果，与的大小相等，但方向不一定相同，故错误；B、如果，与的大小相等，但不一定平行，故错误；C、如果，与的大小不一定相等，故错误；D、如果，那么，故正确；故选D．【点睛】本题主要考查向量，正确理解向量的定义是解题的关键．4.如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．【详解】∵，∴BC∥ED；故选C．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，找准对应关系，列出正确的比例式是解题的关键．5.如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（）A.平分 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，故A选项不符合题意；∵，，∴，故B选项不符合题意；C选项无法判定和相似，不符合题意；∵，，∴，故D选项不符合题意；故选C．6.如图，的两条中线、交于点，且，连接并延长与交于点，如果，，那么下列结论不正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的中线和重心，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判断；由直角三角形的性质可得，进而得，即得，即可判断、，据此即可求解，掌握三角形的中线和重心的性质是解题的关键．【详解】解：∵的两条中线交于点，∴点是的重心，∴，，，∵，∴，，∴，故正确，不符合题意；错误，符合题意；∵，是中点，∴，∴，∴，故、正确，不符合题意；故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程．【详解】解：设这个图距是，则，解得，故答案为：．8.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=__________．【答案】【解析】【分析】根据比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意得：，∵a=9，c=4，∴，即；故答案为6．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项的定义是解题的关键．9.已知，那么的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：．10.计算：=_______；【答案】3-2【解析】【分析】根据实数与向量相乘法则即可解答.【详解】=+3=3-2，故答案为3-2.【点睛】本题考查了实数与向量相乘的运算，理解运算意义是解题关键.11.已知点是线段的黄金分割点，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割，由题意得，然后把，代入计算求解即可，熟练掌握黄金分割是解题的关键．【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，∴，∵，，∴，∴或（舍去），故答案为：．12.边长为2的等边三角形的重心到边的距离是___________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质、勾股定理求出高，根据重心的性质计算即可．【详解】解：如图，为等边三角形，过A作，交于点D，则，，在中，由勾股定理可得：，则重心到边的距离是为：，故答案为：．13.已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形的周长之比是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形的面积比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是，∴这两个相似三角形的相似比是，∴它们的周长比是，故答案为：．14.已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．【答案】9．【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出AB的值．【详解】∵sinA=，∴AB==9，故答案为9．15.如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由，则，再通过平行四边形的性质得，，则，由相似三角形的性质得，最后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．16.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F，如果AB＝6，BC＝10，那么的值是____．【答案】【解析】【分析】求出AC=6，根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案．【详解】解：∵AB=6，BC=10，∴AC=AB+BC=16，∵AD∥BE∥FC，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．17.如图，在梯形中，，与交于点，，点在的延长线上，如果，那么______．【答案】##23【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积关系，先证得得出，，由得出，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴故答案为：．18.如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时，______．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠性质可知：，，通过，得，从而求出，，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，时，则，∵，，，∴，∵是的中点，∴，由折叠性质可知：，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，故答案为：．三、简答题：（本大题共4题，每题10分，共40分）19.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式．20.如图，在中，点、分别是边、的中点．设，．（1）填空：向量______（用向量，的式子表示）．（2）在图中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）（2）作图见解析【解析】【分析】（）首先利用平面向量三角形法则求得，然后由是边的中点即可求解；（）过点作交于点，、即为向量在向量，方向上的分向量；本题考查了平面向量，掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解题的关键．小问1详解】解：∵在中，，∴，∵是边的中点，∴，故答案为：；【小问2详解】解：如图所示，向量和即为所求．21.如图，已知，和相交于点，交于，，．（1）求的长；（2）如果的面积为，求的面积．【答案】（1）；（2）的面积为．【解析】【分析】（）先证明，然后由性质得，通过性质可得出，又，，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解；（）由相似三角形的性质即可求解；本题考查了相似三角形的判定与性质，平行公理及推论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；【小问2详解】解：由（）得：，∴，∴，∵的面积为，∴，∴的面积为．22.设，是锐角的两条高，连接．（1）求证：；（2）若，，求．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（）根据两角对应相等证明，根据性质得，则又，根据判定方法即可求证；（）根据相似三角形的性质和正弦的定义即可求解；本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【小问1详解】证明：∵于，于，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴；【小问2详解】解：由（）得，∴，∴，∴．四、解答题：（本大题共3题，23、24题每题12分，25题14分，共38分）23.已知：如图，在四边形中，，对角线、BD交于点，点在边AB上，连接CF交线段于点，．（1）求证：；（2）连接，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先根据CG2=GE•GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论；（2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论．【详解】（1）∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴．（2）∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．24.已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求：（1）反比例函数的解析式；（2）点的坐标；（3）的余弦值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键．（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可；（3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可．【小问1详解】解：设反比例函数的解析式为，∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为，∴，∴反比例函数的解析式为；小问2详解】解：过A作于D，则，设，∵轴，∴，，∴，解得，经检验，符合所列方程，故点C坐标为0,1；【小问3详解】解：∵轴，∴点B的纵坐标为1，将代入中，得，则，∴，又，，∴，∴．25.如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设．（1）当点在边上时，求的面积；（用含的代数式表示）当时，求的值；（2）当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值．【答案】（1）；的值为；（2）值为或．【解析】【分析】（）先证明，，，即，则，再用勾股定理表示出，再判断出，得出比例式表示出，即可得出结论；先表示出，再用，建立方程求出，即可得出结论；（）分两种情况：当时，得出，进而得出，，再根据勾股定理得，进而得出，最后判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论；当时，先判断出，进而得出，再根据勾股定理得，求出，得出，同理，再判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论；此题主要考查了平行四边形性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题