2024年中考数学复习考点帮：考点16 直角三角形（解析版）

考点16直角三角形

在命题趋势

数学中考中，直角三角形一直是一个较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为：直角

三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点。出题类

型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进

行拓展延伸。结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判

定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等。

在知缘导图

直角二角形两豌角百余

直角三角形30。角所对的直角边等于斜边长的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半

勾股定理:

勾股定理与勾股定理的逆定理

勾股定理逆定理:

:角形三边为。、b、C,若aW,则三角形为宜用：角形

七勾股定理与弦图、拼图弦图或拼图的应用中，多联系全等直角三角形，拼图则基本考察七巧板间的等量关系

在重w考向

一、直角三角形的性质和判定

二、勾股定理及其逆定理

三、勾股定理与弦图、拼图

考向一：直角三角形的性质和判定

一.直角三角形的性质与判定

直角三角形的两个锐角互余

性质直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边长的一半

判定有一个角是90°的三角形时直角三角形

有两个角互余的三角形是直角三角形

方法技巧

直角三角形摄影定理图形常见的三个应用方向

1.如图，在△A8C中，/AC8=90°,沿CO折叠△C8。，使点8恰好落在边AC上点E处，若N8=65°,

则/4OE的大小为（）

A.40°B.50°C.65°D.75°

［分析］根据直角三角形两锐角互氽可得NA=25°,再由折叠可得NCEO的度数，再根据三角形外角

的性质可得NAOE的度数.

【解答】解：在△45。中，NACB=90°,ZB=65°,

，/A=90°-65°=25°,

根据折叠可得NCEO=N8=65°,

・・・/AOE=65°-25°=40°,

故选：A.

2.如图，在RtZkABC中，NA=90°,3D平分NA8C,交AC于点O,若点。恰好在边BC的垂直平分线

上，则NC的度数为（）

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到得到NO8C=/C,根据三角形内角和定理求出NC

=30°.

【解答】解：•・•点。恰好在边3c的垂直平分线上，

：.DC=DB,

：./DBC=/C,

二,BO平分N48C,

:.4ABD=/DBC,

・•・乙DBC=NABD=ZC,

〈/A=90°,

AZABC+ZC=90°,

AZC=ZDBC=ZABD=30°,

故选：B.

3.如图，在△ABC中，A8=AC=13,ZBAC=120°,AD是△ABC的中线，4E是NBA。的平分线，DF

〃48交AE的延长线于点尸，则。尸的长为（）

A.5.5B.6.5C.7.5D.6

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AQ_L8C,ZBAD=ZCADf从而可得到N8W=60°,

NAOB=90°,再根据角平分线的性质即可得到NDAE=NE4B=3（r,从而可推出4。=。尸，根据直角

三角形30度角的性质即可求得A。的长，即得到了。尸的长.

【解答】解：:△ABC是等腰三角形，。为底边的中点，

:.AD1BC,ZBAD=ZCAD,

•・・/BAC=120°,

/.ZBAD=60°,ZADB=90°,

•・"E是NBA。的角平分线，

AZDAE=ZEAB=30°.

■:DF//AR,

AZF=ZBAE=30°.

/.ZDAF=ZF=30°,

：,AD=DF.

•••48=13,ZB=30°,

.,.AD=6.5,

:.。尸=6.5.

故选：B.

4.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子48的中点，当梯子底端向左水平滑动到CO位置时,

滑动过程中OM的变化规律是（）

A.变小B.不变C.变大D.先变小再变大

【分析】不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【解答】解：・・・NAO8=90°,M为45的中点，

：.0M・加.

同理0M二剂.

'：AB=CD.

・・・0M的长度不变.

故选：B.

5.如图，在△ABC中，点。在A8边上且CD=CB,8E_LAC于点E,AB=8,CE=6,NA8E=30°,则

AD的长等于（）

ADB

A.1B.1.5C.1.6D.2

【分析】过点。作CML48于M,根据等腰三角形的性质得8M=DM"】BD,由含30°角的直角三角

形的性质得AE'?AB=4,BE'^AE=4C利用勾股定理求出BC=2历，利用面积法求出CM

=5Q利用勾股定理可求出8M=3,根据线段的和差即可求解.

【解答】解：过点。作CM_LA8于M,

•:CD=CB,

.1

:.BM=DM=2BD,

•・•/ABE=30°，BELAC,

：.AE・入8=4,BEw^AE=4Q

•：CMLAB,

•BC'H尸1

.1.1

'：S^ABC・“C・8E・)AB・CM,

:.(4+6)X46飞CM,

：.CM=5

・・.BM

:・BD=2BM=6,

：.AD=AB-BD=2.

故选：O.

6.如弱所示，已知/AO8=60°,点尸在边OA上，OP=13,点M,N在边OB上，PM=PN,若MN=2,

则OM的长为（）

A.4B.5C.6D.5.5

【分析1首先过点P作尸。_L08于点D,利用直角三角形中30°所对边笔于斜边的一半得出的长,

再利用等腰二角形的性质求出OM的长.

【解答】解:过点P作PD1.OB于点D,

AZOPD=30°，

:.DO.丁*6.5,

VPM=PN,MN=2,PDLOB,

:,MD=ND=\,

：.MO=DO-MD=6.5-1=5.5.

故选：O.

7.如图，在四边形ABC。中，NA8C=NAOC=90°,E为对角线AC的中点，连接BE,ED,BD,若N

BAD=52°,则38°.

【分析】根据已知条件可以判断EA=EB=EC=DE,根据三角形外角定理可得到：NDEC=NDAE+N

AQE=2NO4E,同理NBEC=2NBAE,ZDEB=2ZDAE+2ZBAE=2ZDAB=\04°,在等腰三角形BEO

中，已知顶角，即可求出底角NE8O的度数.

【解答】解：'：ZABC=ZADC=90°,

:,EA=EB=EC=DE,

:.乙DAE=4EDA,NBAE=NEBA,

在△AEO中,ZDEC=ZDAE+ZADE=2ZDAE,

同理可得到：4BEC=2/BAE,/DEB=/DEC+NBEC=2/DAE+2NBAE=2(/DAE+/BAE)=2X

52°=104°,

在等腰三角形8E。中，ROIT；

故答案是：38.

8.如图，在RtZXABC中，ZB=90°，ZACB=15"，ZADB=30°，A8=3,则CD=6cm.

【分析】根据含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理求出CD=DA=2AB=6cm.

【解答】解：..•在△ABC中，NB=90°,ZACB=15°,ZADB=30°,

.,.ZC4D=15°，

：.CD=DA=2AB=6cm.

故答案为：6.

9.如图，在△ABC中，。尸_LAB于点尸，BEL4C于点E,M为8。的中点.

(1)求证：是等腰三角形：

(2)若NEBC=30°，BC=\0cm,求CE的长度.

【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论.

(2)利用直角三角形中三十度角所对的宜角边等于斜边的一半即可得出.

【解答】(1)证明：'：CFLAB,BErAC,

:.ABFC与4BEC都为直角三角形，

为8c的中点，

・・・FW、区必为斜边BC的中点，

£“■加尸加

••，，

:・EM=FM,

•••△ME/是等腰三角形；

(2)在RtZ^EBC中，VZEBC=30°,

■\BC•ix10■

：.CE225(cm).

考向二：勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理

勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数

勾股数常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17

及其倍数

☆:勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角

形勾股定理方向去想。

典例引M

11aBM1aHM1HH9HHi

1.以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（）

瓜

A.1,2,B.5,12,13C.3,7,8D.0.3,0.4,0.5

【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可.

【解答】解：A、i+22=（S）2,故A选项不符合题意；

B、52+122=132,故B选项能不符合题意；

C、32+72^82,故C选项符合题意；

D、0.32+0.42=0.52,故。选项不符合题意.

故选：C.

2.如果正整数4、仄C•满足等式J+02=J,那么正整数八只C称为勾股数.某同学将自己探究勾股数的

过程列成如表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）

abC

435

6810

81517

102426

………

Xy65

A.47B.62C.79D.98

【分析】依据每列数的规律，即可得至b=2n.c=〃2+l,进而得出x+），的值.

【解答】解：由题可得,3=22-1,4=2X2,5=22+1,……

.*.fl=n2-1,b=2〃,c=/i2+l,

・••当c=/+l=65时，n=8,

•*«x=63,y=16,

**•j+y=79,

故选：C.

3.如一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为4加，则梯子的底端离墙的距离

是（）

A.3mB.4mC.5mD.

【分析】根据勾股定理求解即可.

【解答】解：梯子的底端离墙的距离为符

故选：A.

4.美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形A8CZ）中，AB

//CD,ZB=90°,E是边BC上一点，且BE=CO=a,AB=EC=b.如果△48E的面积为1,且a

=1,那么△AOE的面积为（）

A.1B.2C.2.5D.5

【分析】根据全等三角形的性质得到AE=OE,/AEB=NEDC,推出△AEO是等腰直角三角形，求得

△ADE的面积一々d，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论.

【解答】解：*：AB//CDfZB=90°,

AZC=ZB=90°,

VRE=CD=a,AR=F.C=h,

:•△ABCQAECD(SAS),

：.AE=DE,NAEB=NEDC,

•；4EDC+NDEC=NAEB+/DEC=90°,

・・・/AEO=90°,

•••△AE£＞是等腰直角三角形，

1

二D

•••△AOE的面积4石2,

••,△ABE的面积为1,

I

:.2ab=1,

：.ab=2,

•：a-b=\,

(a-b)2=cr+tr-2ab=1,

1

.'.(r+b=5t

1»5

*/X=7

•••△AOE的面积，5,

故选：C.

5.在RtZ\4BC中，ZC=90°,BC=^cm,AC=4cm,在射线BC上一动点O,从点8出发，以1厘米每

秒的速度匀速运动，若点。运动，秒小.，以A、。、6为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间，为

5或4"」或或秒.

【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当O是顶角顶点，当5是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情

况进行讨论，利用勾股定理求得B。的长，从而求解.

【解答】解：①如图1,当AD=8O时，

在RlZXACO中，根据勾股定理得：AD1=AC2+CD2,即初2=（8-5D）2+42,

解得W）=S（an）.则,=5（秒）：

当AB=8O时.在RtZvlBC中，根据勾股定理得到：

AB=而而=所示=4四则片45（秒）;

当AO=A8时，BD=2BC=16,则f=16（秒）；

综上所述，，的值可以是5或4«或16.

故答案为：5或45或16.

6.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）

A

A.5米B.6米C.7米D.8米

【分析】先求出4C的长，利用平移的知识可得出地毯的长度.

【解答】解：在RtZXABC中，AC・"2・9・4米,

故可得地毯长度=AC+8C=7米，

故选：C.

7.图1是第七届国际数学教育大会（/CME-7）的会徽，主体图案是由图2的•连串直角三角形演化而成,

ttt=

其中.OAi=AiA2=A2A3=An\A„=\,则OA21的长为（）

=6,找到0A„=F的规律即可计算0A21的长度.

【分析】根据勾股定理得到042品,0A3

【解答】解：.・.04=1，0A2=VM+Vf0A3

：.0An

：.0A2\・抵,

故选：D.

8.如图，矩形ABC。，AB=2,BC=4,点A在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，当点A在x轴上运

动时，点。也随之在），轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点0的最大距离为（）

2匹+2B.20+1口2百

【分析】取A。的中点H,连接CH，0H,由勾股定理可求。〃的长，由直角三角形的性质可求。〃的

长，由三角形的三边可求解.

【解答】解：如图，取AO的中点从连接C〃，0H,

•・•矩形A5cO,AB=2,BC=4,

:・CD=AB=2,AD=BC=4,

•・•点，是4。的中点，

:・AH=DH=2,

:

••CH=+ci）=JFTT=2/9

VZ4OD=90°，点〃是AO的中点，

OH•^AD»2

••，

在△OC〃中，COVOH+CH,

当点”在OC上时，CO=OH+CH,

・•・CO的最大值为OH+C/Z=20+2,

故选：A.

9.如国，大正方形A8CO由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成.点E为小正方形的顶点，延

长CE交AD于点尸,连结B尸交小正方形的一边于点G,若△BC尸为等腰三角形，AG=5,则小正方形

的面积为（）

A.15B.16C.20D.25

【分析】由等腰三角形性质可得出8P=C/，利用HL可证得RtZXAB尸（皿），WfllAB=AD

=2A凡根据余角的性质得出/ZMG=NABP,进而推出C尸=8产=2AG=10,利用面积法求得8N=8,

再运用勾股定理求得CN=4,即可求得答案.

【解答】解：设小正方形为如图，

,:四边形ABCD和四边形EHMN是正方形，

：・AB=AD=CD,ZBAD=90°,CF"AG,

•:△AC广为等腰二角形，RF>AR=RC,CF>CD=RC.

；・BF=CF,

在RlAAfiF和RtADCF中,

(AB■CL

即=%

.*.RlAABF^RcADCF(HL),

：・4AFB=NCFD,AF=DF,

：.AB=AD=2AF,

,:CF〃AG,

：.4CFD=NDAG,

：.NAFB=NDAG,

:.AG=FG,

V^AFB+ZABF=9G°,NDAG+N8AG=90°,

BAG=NABF,

:・AG=BG,

：.CF=BF=2AG=\0,

112

在RtZ\A8尸中，AB+AF=BFf

・•・(2AF)2+AF2=102,

：.AF=2",

：.AB=BC=4O

•:S4BCF%C・ABXF・BN,

BCA84.-X4G

:・BN=~^=~=8,

.户-HN：，J(W;T尸-

,,CNN4,

•・•'ABMg/XBCN,

:・BM=CN=4,

:.MN=BN-BM=8-4=4,

：・S正方形EHMN=(MN)2=42=16，

故选：B.

10.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E,

同时小船从A移动到〃，且绳长始终保持不变.回答下列问题：

（1）根据题意可知：AC=BC+CE（填

（2）若C尸=5米，4"=12米，AB=8米，求小男孩需向右移动的距离.（结果保留根号）

【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；

（2）由勾股定理求出AC、8C的长，然后根据CE=AC-BC即可求解.

【解答】解：（1）・・・AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（8C+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳

长始终保持不变，

：.AC=BC+CE,

故答案为：=;

（2）连接则点A、B、尸三点共线，

在中，"二线笆许’的于二i3（米）,

VBF=AF-AB=12-8=4（米）,

在RdCM中，=++d=6（米）,

'：AC=BC+CE,

C£=4C-8Ci（13-rfTT）

（米）,

・・・男孩需向右移动的距离为（13一厢）米.

考向三：勾股定理与弦图、拼图

【方法提炼】

勾股定理与弦图：

摩涉到弦图时，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，证明时一般依据面积相等来列式得结论;

勾股定理与拼图：

多考察七巧板的变形，注意各个七巧板组成间的等量线段，再结合勾股定理来计算即可。

典铜引41

1.如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为①较短的

直角边为4斜边长为c如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实

线）的周长为24,0C=3,则该飞镖状图案的面积（）

①②

A.6B.12C.16D.24

【分析】根据飞镖状图案的周长求出力U+AC的长，在直角二角形40。中，利用勾股定理求出47的长,

进而确定出04的长，求出三角形A0B面积，即可确定出所求.

【解答】解：根据题意得：O8=OC=3,4（AB+AC）=24,即A8+AC=6,

在RlZ\A08中，根据勾股定理得：AB1=OA1+OB2,即（6-AC）2=32+C3+AC）2,

解得：AC=\,

.*.04=3+1=4,

Su”

••，

・•・该飞镖状图案的面积=4S"OB=24,

故选：。.

2.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板,

加图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图"），图2是由边长为g的正方

形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问髓”图.则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为12

图1图2

【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得答案.

•・•图2是由边长为8的正方形分割制作的七巧板拼摆成的,

，大正方形面积=64,

77XXX2+T7X64=

由图形可知，阴影部分面积为161612,

故答案为：12.

3.用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积

1

的2.

【分析】读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半.

【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1X1・2

是原正方形的面积的一半.

故答案为：2

4.七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形

（如图1）边长为acm，则图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积是力刖2（用含。的代数式表示）.

图1

【分析】根据图中各部分面积之间的关系求解即可.

【解答】解:

图1

由图可知，阴影部分面积=大正方形面积-Si-S2-S3=a（“P）,

I

故答案为：,O2.

5.七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板.小

聪将一块腰长为20cm的等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割成七块，正好制成一副七巧板（如图②）,

则图中阴影部分的面积为（）

C.50cm2D.lOOc/772

【分析】画出图形，结合图①和图②可知3。=205?，再由正方形的性质求出03、OC的长，然后根据

等腰直角三角形的性质和正方形的性质求出EF和OF的长，即可求得正方形OFEG的面积，即阴影部

分的面积.

【解答】解：如图②，结合图①可知50=20。”，

•・•四边形A8CD是正方形，

：.AC=BD=20cm,AC±BD,

•••OBBD=10an,OC~AC=Wcm,NBOC=90°，

：.OB=OC,

：./FRF—/GCR=45°,

•・•四边形OFEG是正方形,

：.EF//OC,

:・/BFE=NBOC=90°,

：・/FBE=NFEB=45°,

:・BF=EF=OF-7/0B=5cm,

••・$正方形。尸£6=后产=52=25(cm2),

・••图中阴影部分的面积为25cm2,

故选：B.

图①图②

6.习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿

色发展之路的理论之基.小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2

的水杉树树冠.如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm,则图2中水杉树树冠的高(即点A

到线段BC的距离）是（".I）cm.

（图1）（图2）

【分析】过A作AErMN于E,根据等腰直角三角形的性质得到AE1MN=1(cm),HF=

BF=rBE=C(an),于是得到结论.

【蟀答】解：如图，过A作4E_LMN于E,

VMN=BH=2cm,

■1=G

：.AE=3MN=l(cm),HF=BFBE~~2(cm)>

・••图2中水杉树树冠的高=A4+M=:隹+1）cm,

故答案为：（a+i）.

(图2)

7.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为20的正方形可以制作一副如图1所

示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABC。中（其中点EF,G,H,K

都在矩形边上），则A。长是13

因

图1

【分析】如图,设。产=x,DE=y,根据△AFGs/\£）七凡可得出：AF=2yfAG=2x,同理：△CHKs

=7

△DEF,可得出：CH勺，CK4：再证明△AFGg/XBG”(A4S),可得：BG=AF=2y,BH=AG

▼7

=2x,AD=x+2y,BC=2xy,再由AO=BC,建立方程求解即可.

【解答】解：如图，设。尸=x,DE=y,

在RtZXOE/中，EF=2,

VZA=ZD=ZEFG=90°,

；,/DFE+NAFG=90°,NDFE+NDEF=90°,

・•・4AFG=4DEF,

・•・△AFGs^DEF,

：,AF=2ytAG=2xf

同理：△CHKs^DEF,

CHCKHKCHCK1

—"■—■—

・・.DEDFEFt即yx2t

11

=：/

：.CHy,CKx,

VZA=ZB=ZFGH=90°,

A/AGF+ZBGH=ZAGF+ZAFG=9Q°,

:.4BGH=NAFG,

♦：FG=GH,

，自AFG@ABGH（AAS）,

，BG=A尸=2y,BH=AG=2jCt

；・AO=x+2y,BC=2xy,

'：AD=BC,

*.x+2y=2x'y,

3

・=2

在RtADEF中，J，DE2+DF2=EF2,

s33

2,2222

**..r+>=2,将x4代入，得：（2y）+J2=2,

6/n4n

解得：JF），=▽，

■久地xwaP_14/n

.9.AD=x+2yI，213仃,

14旧

故答案为：13.

图I图2

8.六巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形,

小明发现可以将六巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型.在“飞机”模型中宽与高的比

【分析】利用图1和图2所示可得：MNHG为正方形，DE=EC=AF=FB?BC,设正方形MNHG的

-

边长为〃，则AG=MG=GH=//N="B=NC=s通过说明得到》,利用拼图与

原图对比求得/与力的长，则结论可求.

■1

【解答】解：由题意得：MNHG为正方形,DE=EC=AF=FB，BC.

设上方形MNHG的边长为小则AG=MG=GH=HN=HB=NC=a.

ZFBC=90°,

:•△CHBSABHF.

BHHF

而二丽

•：CH=2a,BH=a,

HF1

=一

,BH2

_1

：.HF4.

由题意：AE=CF.

=1

ME=HFZ.

：.l=GH+MN+NH=3a,h=HN+CH+HF=3.5a.

I_3a_(

・h=35a=7

•••

6

故答案为：

在跟踪训练

1.（2022•绍兴）如图，把一块三角板A8C的直角顶点B放在直线E尸上，ZC=30°,AC//EF,则N1:

）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根据平行线的性质，可以得到NC8F的度数，再根据/A8C=90',可以得到N1的度数.

【解答】解：・・・AC〃E/，ZC=30°,

・"C=NCBF=30°,

VZABC=90°,

AZI=1800-ZABC-ZCBF=180°-90°-30°=60°,

故选：C.

2.（2022•荆州）如图，在RlAABC中，/4CB=90°,通过尺规作图得到的直线MN分别交48,AC于。,

3

E,连接CD.若CEAE=\t则CZ)=

【分析】如图，连接BE,根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE=5E=3,然后利用勾股

定理求出BC,AB,最后利用斜边上的中线的性质即可求解.

【解答】解：如图，连接BE,

VCEJAE=1,

・・・4E=3,4c=4,

而根据作图可知MN为AB的垂直平分线,

:・AE=BE=3,

在RtZXECB中，BC=WE"=?

.='AO+BC2=瓜

••ADZ,

VCD为直角三角形ABC斜边上的中线，

3.（2022•德州）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30。角的三角板的斜边与含45°角的三角板

的一条直角边平行，则/a的角度为（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【分析】根据平行线的性质可得NA8C的度数，再根据三角形内角和定理可得Na的度数.

【解答】解：•・•含30°角的二角板的斜边与含45°角的二角板的一条直角边平行，如图所示:

，/ABC=NA=45°,

VZC=30°,

/.Za=180°-45°-30°=105°,

故选:B.

4.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为48,高为AC,一只蚂蚁在。处，沿圆柱的侧面爬到3处，现将

圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

线段可以得出结论.

【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，

•・•圆柱的底面直径为A3,

・•.点B是展开图的一边的中点，

•・•蚂蚁爬行的最近路线为线段，

・・・c选项符合题意，

故选：C.

5.（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如

已知△48C中，ZA=30°,AC=3,NA所对的边为‘，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中

如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

c

A.26B,2仃飞C.273或6D.26或273-3

【分析】根据题意知，CD=CB,作于”，再利用含30°角的直角三角形的性质可得C〃，AH

的长，再利用勾股定理求出B”,从而得出答案.

【解答】解：如图，CO=C8,作CHL4B于H,

C

:・DH=BH,

VZA=30",

：.CH4ACAH、CH',

=彳BG-CH：wU=1n

在RlZXCB”中，由勾股定理得8H勺:9

=萼+/Q=苧_苧=6

：.AB=AH+BH2L2,AD=AH-DH

故选：C.

6.（2022•广元）如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以点8为圆心，8c长为半径画弧，与

1

交于点再分别以、。为圆心，大于引力的长为半径画弧

ABO,A,两弧交于点M、N,作直线MM分

别交AC、A8于点七、F,则AE的长度为（）

<

S10

A.2B.3C.2、'D.

【分析】利用勾股定理求出A3,再利用相似三角形的性质求出AE即可.

【解答】解：在Rf/\4AC中，RC=6,4C=8,

二=..

AAB1fVT

VBD=CB=6,

：.AD=AB-BC=4,

由作图可知EF垂直平分线段AD,

：.AF=DF=2,

•・・/A=NA,ZAFE=ZACB=90°,

・•・XAFEsRACB,

AEAF

•AB^AC

••9

4£_2

••To-8，

5

：,AE

故选：A.

7.（2022•苏州）如图，点4的坐标为（0,2）,点8是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针

方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为Cm,3）,则机的值为（）

4V32VH5V34>/21

A.3B.3C.3D.3

【分析】过C作COJ_x轴于点O,CEJ_y轴于点E,根据将线段48绕点A按逆时针方向旋转60°得到

线段AC,可得△ABC是等边三角形，又A（0,2）,C（m,3）,即得AC='而十］=BC=AB,可得

BDOB=/2、°灰=而"7从而V峭-3+5二8=一即

=-5-G-

可解得m

【解答】解：过。作CQ_Lx轴于点。，CE_Ly轴于点E,如图:

•・・CQ_Lx轴，CE_Ly轴，/。。E=90°,

・・・四边形EOQC是矩形，

•・•将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC,

：,AB=AC,ZBAC=60°,

•••△ABC是等边三角形，

.\AB=AC=BC,

*：A(0,2),C(m,3),

：,CE=ni=OD,CD=3,04=2,

：.AE=OE-OA=CD-OA=\t

=〃EE=^E=BC=AB

：.AC

在RtZXBCD中，BD~

在RlZXAOB中，OR

•.*OB+BD=OD=m,

.-3+Vm2—8=

••m,

化简变形得：3/-22加2-25=0,

=5门=_5厘

解得加一丁或J一-r（舍去）,

••阳

故选：C.

8.（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，E是4。上一点，连结

EB,EC.若NEBC=45°,BC=6,则△E8C的面积是()

C.6D.3

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3,AD1BC,根据等腰直角三角形的性质求出ED,根

据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：・・・A8=4C,A。是△ABC的角平分线,

：.BD=CD48c=3,AD1.BC,

在RlAEBD中,/EBC=45°,

：.ED=BD=3,

11一

:&EBCBC・ED/6X3=9,

故选：B.

9.（2022•达州）如图，AB//CD,直线所分别交AB,CD于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺

按如图所示的方式摆放，若NEMB=80°,则NPNM等于（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【分析】根据平行线的性质得到NONM=NBME=80°,由等腰直角三角形的性质得到N/WO=45°,

即可得到结论.

【解答】解：•••A8〃CO,

:・/DNM=NBME=8O0,

VZP/VD=45°,

：・4PNM=NDNM-ZDNP=8O0-45°=35°,

故选：C.

10.（2022•黔西南州）如图，在△ABC和aAOE中，N84C=ND4E=90°,ZB=60°,ZD=45°,AC

与DF相交于点F.若RC//AE,则/标的度数为105,

【分析】由三角形内角和定理可知，ZC=30°,NE=45°,再利用平行线的性质可知NC4E=30°,

最后利用三角形内角和定理可得结论.

【解答】解：在△ABC和△AOE中，NBAC=NOAE=90°,NB=60°,NO=45°,

AZC=180°-ZB-ZBAC=30°,ZE=180°-ZD-ZDAE=45°,

*：BC//AE,

・・./C4E=NC=30°,

在尸中，NA尸石=180°-ZCAE-ZE=105°.

故答案为：105°.

11.（2022•绵阳）如图，四边形A8co中，NAOC=90°,AC1BC,NA8C=45°,AC与8。交于点E,

60

若AB=210,CD=2,则AABE的面积为7

【分析】过点。作OF_LAC于点R解RtZXABC求出AC、BC,再由勾股定理求得A。，根据三角形的

面积公式求得。尸，由勾股定理求得AF,再证明AOE尸S/XSEC,求得EF,进而求得AE,最后山三角

形面枳公式求得结果.

【解答】解：过点。作。尸_L4C于点凡

VAC1BC,ZABC=45°,

：.AC=BC~TA5=2巡,

VZADC=90°，CD=2,

y/AC2-CD2=4

：,AD

川09Cm

=-外尸=附

：.AF

：.CF

YDF//BC、

:・»DEFSABEC,

EFDF

ECBC,即

60

故答案为：7.

12.（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种-:角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件Z

8=60°（答案不唯一）

【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可.

【解答】解：有一个角是60°的等腰二角形是等边二角形,

故答案为：/8=60°.（答案不唯一）

13.（20