2023年北京市一七一中初三3月月考数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京一七一中初三3月月考数学一、选择题1.中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000米处，拍摄了火星全景图像．将11000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.长方体 B.三棱柱 C.三棱锥 D.圆锥3.如图，的度数为（）A. B. C. D.4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.角 B.等腰三角形 C.平行四边形 D.正六边形5.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（）A. B.0 C.1 D.26.如图，是的直径，是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径两侧），若，则等于（）A. B. C. D.7.一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，除数字外四张卡片无其他区别．随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（）A. B. C. D.8.学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（）①该函数的定义域为；②该函数与x轴没有交点；③该函数与y轴交于点；④若是该函数上两点，当时，一定有.A.①②③④ B.①③ C.①②③ D.②③④二、填空题9.若式子有意义，则实数的取值范围是____________．10.分解因式：ax2﹣4ay2=__．11.写出一个比大且比小的整数____．12.计算：_________．13.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度__________．14.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，则的值为______．15.如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为______米．16.某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：累计工作时长最多件数（时）种类（件）12345678甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_____元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．三、解答题17.计算：．18.解不等式组：．19.解方程：．20.关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．21.下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线和外一点A，求作：直线，使得于点E．作法：①在直线上取一点B，连接（如图2）；②作线段的垂直平分线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作圆，交直线于点E；④作直线．所以直线即为所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：为线段的垂直平分线，_______．是的直径，（_________）（填推理的依据）．．22.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E．（1）求证：∠ACD＝∠ECD；（2）连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．23.在平面直角坐标系中，直线：过，，直线：．（1）求直线的表达式；（2）过动点且垂直于y轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D右方，直接写出的取值范围．24.如图，为，C为的中点，D为延长上一点，与相切，切点为A，连接并延长，交点E，直线于点F．（1）求证：；（2）若，求的半径．25.新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过亿，总票房超过亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日—18日累计票房（亿元）2月19日—21日累计票房（亿元）甲乙根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房应超过亿元．26.已知二次函数．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与轴交于不重合两点（其中），且满足；①直接写出的值；②求的取值范围．27.如图，等边中，点D在边上，且，点E在边上，且，连接，交于点F；（1）求的度数；（2）在线段上截取，连接交于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；（3）若等边是的边长是2，直接写出线段的最小值．28.在平面直角坐标系中，对于图形，图形和直线给出如下定义：图形关于直线的对称图形为．若图形与图形均存在点在图形内部（包括边界），则称图形为图形关于直线的“弱相关图形”．（1）如图，点，点．①已知图形是半径为的，是半径为的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：；②已知⊙O的半径为，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求的取值范围；（2）在由第四象限、原点、轴正半轴以及轴负半轴组成的区域内，有一个半径为的圆．若存在点，使得对于任意过点的直线，有圆，满足半径的是圆关于的“弱相关图形”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题1.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：11000=1.1×104．故选择：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．【详解】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．故选B．【点睛】本题考查了根据三视图确定几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠ACD=80°，根据∠BCD=50°，确定∠ACB的度数即可【详解】∵，∴，∴，∵∠BCD=50°，∴∠ACB==30°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用性质是解题的关键．4.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故C错误；D、正六边形是轴对称图形，是中心对称图形，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】根据确定出且，进而确定出b的范围，判断即可．【详解】解：∵，，∴，而且，∴，符合条件是D，b=2．故选：D．【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b的取值范围．6.【答案】B【解析】【分析】由平角定义解得的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解题．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，涉及同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7.【答案】A【解析】【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出卡片上的数字之和等于5的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画图如下：

所有等可能的情况有12种，其中卡片上的数字之和等于5的有4种，

则卡片上的数字之和等于5的概率P为：．故选择：A．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式的特点及函数图象即可判断．【详解】中分母不为零，故，①正确；由图象可知该函数与x轴没有交点，②正确；令x=0，y=，∴该函数与y轴交于点，③正确；当是该函数上两侧的两点时，，，故④错误；故选C．【点睛】此题主要考查函数与图象判断，解题的关键根据分式及图象得到相关性质进行判断．二、填空题9.【答案】【解析】【详解】解：二次根式中被开方数，所以．故答案为：．10.【答案】a（x+2y）（x﹣2y）【解析】【分析】先提公因式a，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】ax2﹣4ay2=a（x2﹣4y2）=a（x+2y）（x﹣2y），故答案为a（x+2y）（x﹣2y）.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.11.【答案】答案不唯一，如：1【解析】【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可．【详解】解：∵1<<2∴-2<x<2,(x为整数)故答案为：-1,0,1（答案不唯一）【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键．12.【答案】1【解析】【分析】由分式的加减乘除混合运算先计算括号内的运算，再计算乘法运算，即可求出答案．【详解】解：=．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．13.【答案】9【解析】【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD，再得出Rt△ACB∽Rt△ECD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.【详解】已知CD=12m，AB=1.5m，BC=2m，根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD,又∠ABC=∠EDC∴Rt△ACB∽Rt△ECD∴,即,解得DE=9故答案为:9【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.14.【答案】【解析】【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出、两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【详解】图像关于中心对称，，图像经过一、三象限，图像也关于中心对称，，图像经过一、三象限，又、为与交点，、也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，，，，故答案为．【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．15.【答案】【解析】【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD的长，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，

∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，

∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，

∴tan60°＝，tan60°＝，

∴OC＝OA，（OA＋3）＝OC＋CD，

∴（OA＋3）＝OA＋CD，

解得CD＝3，

故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.【答案】①.160②.180【解析】【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1×145=145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2×80=160(元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y=8①当x=1时，则y=7∴该快递员一天的收入是1×30+2×70=30+140=170(元)；②当x=2时，则y=6∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③当x=3时，则y=5∴该快递员一天的收入是1×80+2×50=80+100=180(元)；④当x=4时，则y=4∴该快递员一天的收入是1×100+2×40=100+80=180(元)；⑤当x=5时，则y=3∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60=175(元)；⑥当x=6时，则y=2∴该快递员一天的收入是1×125+2×20=125+40=165(元)；⑦当x=7时，则y=1∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20=155(元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填：160；180.【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x+y＝8，x，y均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.三、解答题17.【答案】5【解析】【分析】代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.【详解】解：原式=4+-+1．【点睛】熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.18.【答案】【解析】【分析】分别求得每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集即可．【详解】解：原不等式组为解不等式①，得．解不等式②，得．∴原不等式组的解集为．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键．19.【答案】【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母，得．解得．经检验，是原方程的解．所以原方程的解是．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．20.【答案】（1）见详解；（2）k＜-1【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝（k−3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵，∴x1＝-3，x2＝-k．∵方程有一根大于1，∴-k＞1，解得：k＜-1，∴k的取值范围为k＜-1．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．21.【答案】（1）作图见解析；（2）OB，直径所对的圆周角是90°．【解析】【分析】（1）根据题述语句画出图形即可；（2）根据直径所对的圆周角是90°即可证明．【详解】（1）作图如下：（2）证明：为线段的垂直平分线，OB，．是的直径，（____直径所对的圆周角是90°）（填推理的依据）．．故答案为：OB，直径所对的圆周角是90°．【点睛】本题考查圆周角定理，作垂直平分线．理解直径所对的圆周角是90°是解题关键．22.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形DBCE为平行四边形，再证明即可得到答案．（2）作OH垂直于AD于H，通过矩形的性质结合已知条件求得OH、HE的长，进而由勾股定理可得到答案．【小问1详解】证明：∵AD∥BC，DE为AD的延长线∴DE∥BC又∵CE∥BD∴四边形DBCE是平行四边形∴DE=BC在矩形中，BC=AD，∴DE=AD又∵CD=CD∴∴【小问2详解】解：如图，作OH垂直于AD于H，即有∥CD∵点O为矩形对角线的交点，即点O为AC、BD的中点∴CD=AB=2，OA=OD∴点H为AD中点，即，∴∵∴∴在直角三角形OHE中∴【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的证明、全等形证明、解直角三角形；熟练掌握相关知识是解题的关键．23.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分和，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．【小问1详解】解：∵直线：过，，∴，解得：，∴直线：；【小问2详解】解：∵，∴直线必过点，∵过动点且垂直于y轴的直线与，的交点分别是C，D，当时，点C位于点D右方，①当时，当时，必然存在点D位于点C右方，不符合题意；②当时，平行时，满足题意，此时：；相交时，则交点的横坐标恒大于，此时：；综上：的取值范围为．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想的进行求解，是解题的关键．24.【答案】（1）见解析；（2）7【解析】【分析】（1）证明：如图，连接OA．由与相切，切点为A，OA为的半径，可得．．由，C为的中点，．可得．即可；（2）如图，连接．设的半径为r．由O为的中点，C为的中点，可得，可证△AFE∽△DFO，可得．．．，，解得即可．【详解】（1）证明：如图，连接OA．∵与相切，切点为A，OA为的半径，∴．∴．∵，C为的中点，∴．∴．∴．∴；（2）解：如图3，连接．设的半径为r．∵O为的中点，C为的中点，∴，∵，=90°，∴△AFE∽△DFO，∴．∵，∴，在中．．在中，．∴．∵，∴，化简，得，解得．经检验，是原方程的解．∴．【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键．25.【答案】（1）4.36（2）②③（3）8.61【解析】【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断②；③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．【小问1详解】解：影片乙单日票房从小到大排序为，，，，，，一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：，故答案为：；【小问2详解】解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，甲的单日票房逐日增加说法不正确；②，，，，甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；③甲超过乙的差值从15日开始分别为，15日：，16日：，17日：，18日：，在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．综上，说法中所有正确结论的序号是②③，故答案案为：②③；【小问3详解】解：乙票房截止到21日收入为：亿，甲票房前7天达到亿，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：亿．故答案为：．【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．26.【答案】（1）（2）；或．【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式代入计算即可；（2）分，两种情况讨论，利用二次函数图像上点的坐标特征可得到关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．【小问1详解】解：二次函数图象的对称轴为：，∴二次函数图象的对称轴为：直线；【小问2详解】解：①∵，∴；②∵，∴，∴∴，∴，∴若时，当时，，即，，即或∴若时，当时，，即，，即或∴．综上所述：或．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图像的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图像特征是解题的关键．27.【答案】（1）（2）画图见解析，，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据是等边三角形得到，结合即可得到，得到，根据三角形外角关系即可得到答案；（2）如图所示，延长到M