沪教版八年级数学上册压轴题攻略专题13直角三角形中30°性质应用的4种压轴题型全攻略(原卷版+解析)

专题13直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用30的性质求线段的长度的计算】 1【考点二用30的性质求等边三角形的计算】 2【考点三用30的性质求图形运动相关计算】 2【考点四30的性质应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一用30的性质求线段的长度的计算】【例题1】如图，，，则（）

A．2 B．1.5 C． D．1【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（

）A．15 B．20 C．9 D．12【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【考点二用30的性质求等边三角形的计算】【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（

）

A． B． C． D．【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（

）

A． B． C． D．【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4【考点三用30的性质求图形运动相关计算】【例题3】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点D，则的面积为（

）

A． B． C．5 D．【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（

）

A．3 B．1 C．2 D．【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【考点四30的性质应用的拓展提高】【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（

）

A． B． C． D．【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________

【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当

且时，若，则的面积为_________．【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（

）．

A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．如图，已知平分，于点E，，，，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（

）

A．8 B．6 C．4 D．103．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(

)

A．1 B． C．2 D．二、填空题4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则______．

5．如图，中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为________．6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则_________．

7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则________．8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为_________．

9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是________．10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，_________．

11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是_________．

12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为__________.

13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的长为________.14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为_________．

三、解答题15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)求的长．16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．17．如图，点D，E，F分别在等边的三条边上，且，．

(1)若，试判断的形状，并说明理由；(2)若是直角三角形，求的长；(3)如图2，若点D是边中点，点E，F分别在边上运动，当的周长最小时，直接写出此时的度数．18．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，．(1)求证：；(2)判断的形状，并加以证明；(3)若，求边的长．

专题13直角三角形中30性质应用的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一用30的性质求线段的长度的计算】 1【考点二用30的性质求等边三角形的计算】 2【考点三用30的性质求图形运动相关计算】 2【考点四30的性质应用的拓展提高】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一用30的性质求线段的长度的计算】【例题1】如图，，，则（）

A．2 B．1.5 C． D．1【答案】A【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质解答．【详解】解：如图，作于，

，，，，，，，，，，，故选：A．【变式1】如图，在中，，，为上一点，，则的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，即“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”，据此解答即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴．故选：B．【变式2】如图，在中，，，，连接并延长交于点，若，，则的长为（

）A．15 B．20 C．9 D．12【答案】A【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，含角的直角三角形特征，熟练掌握直角三角形特征是解题关键．【详解】解：，，，，，，，，，即，，．故选：A．【变式3】如图，它是房架设计图的一部分，点D是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【答案】A【分析】根据，点D是斜梁的中点，那么，结合，即可知道的值．【详解】解：∵，点D是斜梁的中点，∴，∵，∴在，，故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【考点二用30的性质求等边三角形的计算】【例题2】如图：是等边三角形，，，相交于点P，于Q，，，则的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先利用等边三角形的性质证，得，，则，再求出，则，然后由含角的直角三角形的性质求出的长即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式1】已知如图四边形，连接，是等边三角形，，，则的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，可证，是等边三角形，可求出的值，根据即可求解．【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转至与重合，得，连接，过点作与点，过点作与点，

∵是等边三角形，∴，根据旋转可得，，则，，，∵旋转至，旋转至，，∴，∴，在图形中，，，∴图形是等边三角形，即点三点共线，∴在等边中，，∴，在中，，则，∴，∵，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形的性质，的条件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的长，根据即可求解．【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点，连接，∴，，平分，∴，∵，∴，∵，且是的外角，∴，∴，∴，在中，，且，∴，即，∴中，，在中，，，∴，在中，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键．【变式3】已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（

）个

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可．【详解】证明：∵是等边三角形，∴，，

在和中，，∴，∴，∴，∴，故①正确∵，∴，∴．故③正确，∵．，∴，∴，故④正确，若，则，，与题干条件不符，∴无法判断，故②错误，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【考点三用30的性质求图形运动相关计算】【例题3】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点D，则的面积为（

）

A． B． C．5 D．【答案】A【分析】由已知结合旋转的性质可知，，可证得是等边三角形，可得，，进而可知，由等腰三角形的性质和含30度的直角三角形的性质可知，，进而利用面积公式即可求解．【详解】解：在中，，，，∴，，由旋转可知，，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，则，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．【变式1】如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则线段的长为（

）

A．3 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由，，，可得，，再根据旋转的性质可得是等边三角形，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，∴是等边三角形，∴，故选：C．【点睛】本题考查直角三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质证明是解题的关键．【变式2】如图，在中，，，点D、E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点刚好落在边上，若，，则的长是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解．【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题关键．【变式3】如图，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，，则长方形的面积是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．【详解】解：在长方形中，，∵，，∴，∴，∵长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处，∴，∴长方形的面积是．故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．【考点四30的性质应用的拓展提高】【例题4】如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，即可求解．【详解】解：过点A作，过点B作，如图，

则中，，同理可得：，∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为，∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．【变式1】如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________

【答案】或【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解．【详解】解：在中，已知，，∴,如图所述，

①当点落在边上时，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②当点落在边上时，得，在中，，，∴，∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】如图，在等腰中，，点M，N分别是边，上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当

且时，若，则的面积为_________．【答案】/0.5【分析】作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积．【详解】如图，作于D点，∵与关于直线对称，．又，．中，，，．又，是等边三角形，，，，．故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半”，综合性强．正确的作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的根据．【变式3】如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等边三角形性质和，求得，同理可得，再结合含的直角三角形可求得的边长为，即可得到答案．【详解】解：为等边三角形，，，，，同理可求得：，在中，，，，，即的边长为，的边长为，故选：．【点睛】本题主要考查图形变化类，等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和的关系是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．如图，已知平分，于点E，，，，则（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及直角三角形的特征，过点C作于F，根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，根据直角三角形的特征可得，进而可求解，熟练掌握角平分线的性质及含角的直角三角形的特性是解题的关键．【详解】解：过点C作于F，如图：

平分，，，，，，，，，，故选A．2．如图所示，长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处．如果，则长方形的面积是（

）

A．8 B．6 C．4 D．10【答案】A【分析】根据直角三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求解．【详解】解：在长方形中，，∵，∴，∵长方形沿着折叠，使D点落在边上的F点处，∴，∴长方形的面积是．故选：A【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．3．如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(

)

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．【详解】解：如图所示过点作于，在中，

，，，，，，，，，于，，，故选：A．【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．二、填空题4．如图，是等边三角形，平分，点E在的延长线上，且，，则．

【答案】3【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用三线合一定理得到，则可证明，再证明是等腰三角形即可解决问题．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵平分，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：3．5．如图，中，，，点M，N在底边上，若，，那么线段与之间的数量关系为．【答案】【分析】本题考查了三角形全等的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，先根据已知条件求出各个角度，然后构造全等三角形，找到边长之间的关系，其中构造出全等三角形是解答本题的关键．【详解】解：∵，，∴，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则．

【答案】4【分析】本题考查了等边三角形的性质．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设，则，∵是等边三角形，∴，∴，∴，，∴．故答案为：4．7．如图，在中，分别过B，C作中线所在的直线的垂线，垂足分别为F，D，若，，则．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及直角三角形的特征，根据直角三角形的特征得，利用证得得，进而可得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，，是的中线，，在和中，，，，，故答案为：6．8．如图，中，，，是线段上一点，连接并延长至，连接，若，，，则线段长为．

【答案】3【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，作于，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，推出，，，从而得到，，证明，得到，最后由，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：如图，作于，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：3．9．如图，在中，，D为的中点，点M、N分别在、的延长线上，且，连．若，则的长是．【答案】2【分析】连接，求出，证明，求出，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．【详解】解：如图，连接，∵，D为的中点，∴，平分，∴，∴，∵，D为的中点，∴，∵，∴，∴都减去得：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．10．如图，中，在边上取一点，连接，使，在边上取一点，使，若，，，．

【答案】【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，中位线，过作交延长线于点，过作于点，根据所对直角边是斜边的一半，求出，由可知，由，得到，再根据中位线定理即可求出，最后由线段和差即可，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．【详解】如图，过作交延长线于点，过作于点，

∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，由，，则，∴，∴，故答案为：．11．如图，在中，，，，点D是边上的动点，在线段的右侧作等边，连接，线段的最小值是．

【答案】3【分析】取的中点E，连接，如图，先计算出，再根据等边三角形的性质得到，，得到，然后证明，得到，根据垂线段最短，可判断时，最短，此时，从而得到线段的最小值．【详解】解：取的中点E，连接，

∵∴，∵，，∴，，∵为等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵时，最短，∵，，∴此时．∴线段的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质和垂线段最短，解题的关键是正确做出辅助线，通过全等三角形的性质得到．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，．直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半．12．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为.

【答案】11【分析】由题意易证明，由全等三角形的性质得出，作，交的延长线于，．证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：是等边三角形，，，在和中，，∴，，．作，交的延长线于，．

，在和中，，∴，，，在中，，，，，，，在中，，，．故答案为：11．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的长为.【答案】9【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，∠CB'E=30°，CE=3，∴B'E=2CE=6，∴BE=B'E=6，∴BC=CE+BE=3+6=9.14．如图，在等边中，，点E为高上的一动点，将线段绕点B顺时针就转得到线段，连接，则的最小值为．

【答案】3【分析】先利用等边三角形的性质和旋转的性质分别得到、、，则可证明，并由此得到，，又因为是高上的一个动点，可推得点在过点且与成的直线上运动，根据垂线段最短可得当时，有最小值，结合含有的直角三角形的性质即可得到．【详解】

如图，连接，是等边三角形，且，，，平分且是中点，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，，，则，即，在和中，，，，点在过点且与成的直线上运动，当时，有最小值，，故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂线段最短及含有的直角三角形的性质，解题关键是通过证明得到点的运动路径，再利用垂线段最短求解．三、解答题15．如图，在中，，D是中点，，，点E，F分别在边上，且．(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（1）过D作于G，于H，利用等边三角形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2），得到，进而推出，根据等边三角形和含角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，即可．【详解】（1）解：，理由如下：过D作于G，于H，∵，D是中点，，∴是等边三角形，，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等边三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角新的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．16．如图，在等边中，点D为边上的一动点，以点D为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点F作交的延长线于点E，连接．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；(3)若点M是线段的中点，连接，，线段与交于点O，求的度数．【答案】(1)见解析(2)相等，见解析(3)60度【分析】（1）按题目要求补图即可；（2）连接，证明是等边三角形，并结合等边可得出，，，然后证明即可少外出结论；（3）利用全等三角形的性质和角的和差可证，利用含的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得，然后证明，得出，即可求解．【详解】（1）解：如图，依题意补全图形；（2）解：线段