湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题14实数压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)

专题14实数压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一实数与数轴】 1【类型二实数的大小比较】 3【类型三程序设计与实数运算】 4【类型四新定义下的实数运算】 5【类型五与实数运算相关的规律题】 7【过关检测】 10【典型例题】【类型一实数与数轴】例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，正方形的面积为7，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（）

A． B． C． D．2．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考期中）3和的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数的小数部分是

【类型二实数的大小比较】例题：（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）【类型三程序设计与实数运算】例题：（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________2．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．【类型四新定义下的实数运算】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．【类型五与实数运算相关的规律题】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：(1)计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【变式训练】1．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．(2)利用这一规律计算：．2．（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值【过关检测】一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）比较，4，的大小，正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为（

）

A． B． C． D．3．（2023春·河南漯河·七年级统考期中）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023春·广西河池·七年级统考期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）比较大小：．（填“>”“<”或“=”）6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）设a是的整数部分，b是的小数部分，则，．7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：

当输入的时，输出的y等于．8．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在数轴上，点表示的数是，是直角三角形，，，现以点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的实数是．

三、解答题9．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数c和d，且有与为相反数，求的平方根．10．（2023·浙江·七年级假期作业）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点表示的数，若把点向左平移4个单位得到的点为，设点所表示的数为(1)实数的值是________；(2)求的值；(3)在数轴上有一点表示的实数是，若，求实数的值．12．（2023春·湖北黄冈·八年级校联考期中）观察下列各式及证明过程：①；②；③．验证：；．（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．13．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：(1)的小数部分是多少，请表示出来．(2)为的小数部分，为的整数部分，求的值．(3)已知，其中是一个正整数，，求的值．

专题14实数压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一实数与数轴】 1【类型二实数的大小比较】 3【类型三程序设计与实数运算】 4【类型四新定义下的实数运算】 5【类型五与实数运算相关的规律题】 7【过关检测】 10【典型例题】【类型一实数与数轴】例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的距离，再求出点所表示的数【详解】解∶设点所表示的数是，∵、两点对应的实数分别是与和，∴，∵，点表示的实数是，点在点的右侧，∴，∴∴点所对应的实数是故选∶B．【点睛】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，正方形的面积为7，A是数轴上表示的点，以A为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可．【详解】解：正方形的面积为7，正方形的边长为，，是数轴上表示的点，点表示的数是．故选：C．【点睛】本题考查正方形面积，实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．2．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考期中）3和的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数的小数部分是

【答案】/【分析】设点表示的数是，再根据中点坐标公式即可得出的值，再估算这个数大小，得出整数部分与小数部分即可求解．【详解】解：设点表示的数是，数轴上表示3、的对应点分别为、，点是的中点，，解得．∵∴∴∴的整数部分为2，小数部分是．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系和能估算无理数的大小是解答此题的关键．【类型二实数的大小比较】例题：（2023春·广东惠州·七年级统考期末）比较大小：______，______；【答案】【分析】根据被开方数越大，其算术平方根越大可比较的大小，根据比较近似值的方法可比较的大小，从而可得答案．【详解】解：，，故答案为：，【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握比较的方法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）比较实数大小：______（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根据无理数的估算得到，即可得出结果．【详解】解：∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查比较实数大小．熟练掌握无理数的估算，是解题的关键．2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）比较大小：_____．（填写“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法进行求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知作差法比较大小是解题的关键．【类型三程序设计与实数运算】例题：（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是__________．【答案】【分析】根据程序框图进行运算求解即可．【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，8是有理数，取立方根，2是有理数，取算术平方根，是无理数，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是____________【答案】【分析】将代入程序进行计算即可求解．【详解】解：当时，，当时，，当时，，输出，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．2．（2023春·重庆渝北·九年级礼嘉中学校考阶段练习）按如图所示程序计算，若输入的x为，则输出结果为___________．【答案】【分析】根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可．【详解】解：第一次运算，输入，取算术平方根为4，返回继续运算；第二次运算，输入4，取算术平方根为2，返回继续运算；第三次运算，输入2，取算术平方根为，是无理数，输出结果．故答案为：．【点睛】本题考查算术平方根及程序图的计算，理解程序图的运算顺序是解题的关键．【类型四新定义下的实数运算】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为__________．【答案】【分析】读懂新定义，利用新定义计算．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义实数的运算，解题的关键是理解新定义的运算方法．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为_________．【答案】【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）在正实数范围内定义一种运算“”：当时，；当时，．则方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用当时，当时，分别得出等式，进而得出答案．【详解】解：，当时，，故，解得：，当时，，，故，解得：，综上所述：或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了新定义运算，实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．【类型五与实数运算相关的规律题】例题：（2023春·全国·七年级专题练习）探究题：(1)计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．【详解】（1），，；故答案为：6，，；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．故答案为：（a≥0，b≥0），【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【变式训练】1．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）阅读下列解题过程：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．(2)利用这一规律计算：．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】（1）解：根据题意得：∴第4个等式为：；故答案为：；（2）．【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值【答案】(1)(2)，49【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）由题干信息归纳可得：，∴．【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）比较，4，的大小，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把三个数平方，再比较大小，即可解答．【详解】解：∵，，又∵，∴故选：A．【点睛】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是把三个数平方再比较大小．2．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案.【详解】解：因为A、B对应的实数分别为和1，所以，因为，所以，所以，即点C所对应的数为；故选：B.【点睛】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键.3．（2023春·河南漯河·七年级统考期中）若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各数化简，进而可得，，的大小关系．【详解】解：，，，∵，∴．故选D．【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根和立方根的意义，正确化简各数是解答本题的关键．4．（2023春·广西河池·七年级统考期末）有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．【详解】解：，，，，，…可写出：，，，，，…，∴第10个数为，故选：D．【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．二、填空题5．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）比较大小：．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】根据，，再进行实数的大小比较即可．【详解】解：∵，，又∵，∴，故答案为：<．【点睛】本题考查实数的大小比较，把二次根式通过平方的方法，平方的值越大，算术平方根越大．6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）设a是的整数部分，b是的小数部分，则，．【答案】6/【分析】根据无理数的估算方法，求得介于整数2和3之间即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，故答案为：6，．【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答的关键．7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：

当输入的时，输出的y等于．【答案】【分析】根据转换程序把4代入求值即可．【详解】解：4的算术平方根为：，则2的算术平方根为：．故输出的值为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握运算规律是解题关键．8．（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，在数轴上，点表示的数是，是直角三角形，，，现以点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的实数是．

【答案】【分析】根据勾股定理可知，再利用圆的半径相等及点在数轴的负半轴即可解答．【详解】解：∵，，，∴在中，，∵，∴，∵点在数轴的负半轴，∴点表示的数为，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，数轴的基本概念，掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题9．（2023春·河南商丘·七年级统考期中）如图一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数c和d，且有与为相反数，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由题意解得，再运用绝对值的知识求解此题结果；（2）先运用非负数的性质求得c，d的值，再运用平方根知识求解此题结果即可．【详解】（1）由题意得，，，，；（2）由题意得，，，，解得，，，的平方根是，的平方根为．【点睛】此题考查了运用数轴上的点表示实数、非负数和平方根解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．10．（2023·浙江·七年级假期作业）如图是一个按运算规则进行的数值转换器：(1)若输入的x为16，则输出的y值是；(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是；(3)若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值．【答案】(1)(2)0或1(3)5，25（答案不唯一）【分析】（1）由，，，即可得到答案；（2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答；（3）根据题意写出两个满足要求的x值即可．【详解】（1）解：∵，，，∴输入的x为16，输出的y值是，故答案为：（2）∵1和0的算术平方根还等于它本身，∴输入0或1后，始终输不出y值，故答案为：0或1（3）∵，5的算术平方根是，∴两个满足要求的x值可以是25或5．故答案为：5，25（答案不唯一）【点睛】此题考查了算术平方根、实数的分类，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点表示的数，若把点向左平移4个单位得到的点为，设点所表示的数为(1)实数的值是________；(2)求的值；(3)在数轴上有一点表示的实数是，若，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）减去4即得；（2）把第（1）小问中求得的m的值代入中化简即得；（3）根据平移求出的长度，根据与的关系