湘教版八年级数学上册压轴题攻略专题18二次根式有关运算压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题18二次根式有关运算压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式有意义的条件】 1【考点二求二次根式中的参数】 2【考点三二次根式的乘除混合运算】 3【考点四化为最简二次根式】 4【考点五已知最简二次根式求参数】 6【考点六二次根式的混合运算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一二次根式有意义的条件】例题：（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．【变式训练】1.（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是．2.（2023春·江苏·八年级期末）使得有意义的x的取值范围是．【考点二求二次根式中的参数】例题：（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是．【变式训练】1.（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若为整数，则x的最小正整数值为．2.（2022秋·八年级单元测试）是整数，则正数的最小值是【考点三二次根式的乘除混合运算】例题：（2023春·吉林·八年级统考期末）计算：．【变式训练】1.（2023春·吉林·八年级统考期中）计算：．2.（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：3.（2023·全国·八年级假期作业）计算：．【考点四化为最简二次根式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1.（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（

）A． B． C． D．2.（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)3.（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【考点五已知最简二次根式求参数】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【变式训练】1.（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式与可以合并，则_____．2.（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么________．【考点六二次根式的混合运算】例题：（2023春·浙江杭州·八年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）计算：(1)；(2)．【变式训练】1.（2023春·广西梧州·八年级统考期中）计算(1)；(2)．2.（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)【过关检测】一、单选题1．（2023秋·山西晋中·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南新乡·九年级统考阶段练习）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023秋·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题6．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）计算：，，．7．（2023秋·上海黄浦·八年级统考期中）化简二次根式：．8．（2023秋·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为．9．（2023秋·广东茂名·八年级校联考期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则．10．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）下列二次根式中，①；②；③；④；⑤是最简二次根式的是.（填序号）三、解答题11．（2023秋·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．12．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．13．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．14．（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）化简：(1)(2)(3)(4)(5)(6)15．（2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．16．（2023秋·山西晋中·八年级校考阶段练习）探究题：，，，，，．根据计算结果，回答：（1）一定等于a吗？请你将发现的规律用数学式子表示出来．（2）利用你总结的规律，计算：若，则①_______；②______．

专题18二次根式有关运算压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式有意义的条件】 1【考点二求二次根式中的参数】 2【考点三二次根式的乘除混合运算】 3【考点四化为最简二次根式】 4【考点五已知最简二次根式求参数】 6【考点六二次根式的混合运算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一二次根式有意义的条件】例题：（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．【答案】/【分析】由在实数范围内有意义，列不等式，再解不等式即可得到答案．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．【变式训练】1.（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是．【答案】/【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．2.（2023春·江苏·八年级期末）使得有意义的x的取值范围是．【答案】/【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．【考点二求二次根式中的参数】例题：（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是．【答案】3【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案．【详解】解：由二次根式的定义可得，解得：，是一个正整数，或4或9，解得：或8或3，的最小正整数是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若为整数，则x的最小正整数值为．【答案】2【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案．【详解】解：的最小正整数值是2．故答案为2．【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键．2.（2022秋·八年级单元测试）是整数，则正数的最小值是【答案】/0.05【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案．【详解】解：∵是整数，n为正数，∴的最小值为1，∴的最小值为，∴正数的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．【考点三二次根式的乘除混合运算】例题：（2023春·吉林·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得．【详解】原式【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．【变式训练】1.（2023春·吉林·八年级统考期中）计算：．【答案】【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．2.（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：【答案】【分析】根据二次根式的乘除混合运算计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3.（2023·全国·八年级假期作业）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．【考点四化为最简二次根式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；B中，是最简二次根式，故符合要求；C中，不是最简二次根式，故不符合要求；D中，不是最简二次根式，故不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式训练】1.（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；.是最简二次根式，故本选项符合题意；.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．2.（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（3）分子分母都乘以3，然后化简．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．3.（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键．【考点五已知最简二次根式求参数】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】把a的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，=，不能与可以合并，当a=5时，=，能与可以合并，当a=4时，=，不能与可以合并，当a=2时，=，不能与可以合并，故选B．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．【变式训练】1.（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式与可以合并，则_____．【答案】5【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．【详解】解：由题意得：，∴，∴，但当时，，不是最简二次根式，应舍去，∴；故答案为：5．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．2.（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么________．【答案】4【分析】根据题意得到，求出a即可求解．【详解】解：∵最简二次根式与能合并，∴，解得．故答案为：4【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是根据题意判断最简二次根式与是同类二次根式．【考点六二次根式的混合运算】例题：（2023春·浙江杭州·八年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式加减法法则合并同类二次根式即可；（2）先利用完全平方公式计算，再去括号，最后合并同类二次根式即可．【详解】（1）原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题关键在于熟练掌握完全平方公式：．【变式训练】1.（2023春·广西梧州·八年级统考期中）计算(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式混合运算的法则求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．2.（2023春·黑龙江双鸭山·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求解；（2）根据二次根式的运算法则即可求解．【详解】（1）．（2）．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·山西晋中·八年级校联考期中）要使二次根式有意义，的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，，解得，，∴的值可以是2，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握：二次根式有意义，则．2．（2023秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可．【详解】解：A、中被开方数含有因数4，不是最简二次根式，不合题意；B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意；C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．（2023秋·河南新乡·九年级统考阶段练习）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式加减乘除法则逐项进行计算即可．【详解】解：A、，故错误，不符合题意；B、不能合并，故错误，不符合题意；C、，故正确，符合题意；D、，故错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．4．（2023秋·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可．【详解】解：，，，原式．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键．5．（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；【详解】解：，无意义，①错误；，②错误；成立的前提是，③错误；④，④正确；故选：B【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）计算：，，．【答案】4/【分析】根据二次根式的性质化简以及二次根式的乘除法，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：，，．故答案为：4，，．【点睛】本题考查了二次根式性质，二次根式的乘法，二次根式的除法，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．7．（2023秋·上海黄浦·八年级统考期中）化简二次根式：．【答案】【分析】先判断出，再利用二次根式的性质化简．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，判断出是解题的关键．8．（2023秋·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为．【答案】3【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．【详解】解：，且开方的结果是正整数，为某数的平方，又，是满足题意最小的被开方数，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．9．（2023秋·广东茂名·八年级校联考期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则．【答案】【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．【详解】解：∵，根据题意得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）下列二次根式中，①；②；③；④；⑤是最简二次根式的是.（填序号）【答案】②⑤/⑤②【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可得解．【详解】解：①不是最简二次根式，②是最简二次根式，③不是最简二次根式，④不是最简二次根式，⑤是最简二次根式，所以，是最简二次根式的是②⑤．故答案为：②⑤．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题11．（2023秋·上海黄浦·八年级统考期中）计算：．【答案】【分析】根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的混合运算，即可解答．【详解】解：，，．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的四则混合运算，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．12．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可；（2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算二次根式的加减法即可;（4）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式的加减法即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．13．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；