4-4保守力与非保守力-势能

一力场：1.场力：质点所受的仅与质点位置有关的力.2.力场：存在场力的空间.例如：静电力，弹簧弹性力等.例如：存在均匀电场的空间即为均匀力场.3.有心力：

质点所受力的作用线总通过某一点，则该力称为有心力（该点称为力心）.例如：万有引力，弹簧弹性力等.4.非场力：洛伦兹力、摩擦力等均不是场力.A

可见，重力作功与路径无关，只与始末位置有关。——运动员下降的高度1.重力作功workdonebygravitymgyx0y1y2二、几种常见力的功

workdonebycommonforces

重力作功的特点：

（1）与质点经过的路径无关；（2）沿任意闭合路径一周重力作功必为零；（3）质点上升重力作负功。

对m，内力做功：

对M，内力做功：内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零例：如图半径为R的1/4凹圆柱面M放在光滑水平面上，小球m从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落，小球从水平方向飞离大物体时速度v

，求重力所做的功和内力所做的功解：重力只对小球做功

水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒：RMmvV2.万有引力作功Workdonebyuniversalgravitationm1m2AB可见，万有引力作功与路径无关，只与始末位置有关。

万有引力作功的特点：

(1)与质点的运动路径无关；

(2)沿任意闭合路径一周引力作功必为零；

(3)质点移近时（r2<r1）引力作正功。A3.弹力作功Workdonebyelasticforce

Oxx1x2弹力作功只与始末状态有关。

弹性力作功的特点：

(1)与质点的运动路径无关；

(2)沿任意闭合路径一周弹力作功必为零；

(3)弹性形变减小时，弹力作正功。4.摩擦力的功Workdonebyfriction为滑动摩擦系数摩擦力作功的特点：

(1)与质点运动的路径有关；(2)

沿任意闭合路径一周，摩擦力作功不为零。

以上几种力作功的共同特点：作功与路径无关，只与质点的始末位置有关；沿任意闭合路径一周弹力作功必为零.思考：重力，万有引力，弹性力作功的共同特点？弹力作功重力作功万有引力作功三.保守力

ConservativeForce

与保守力相对的称为非保守力：作功与路径有关的力称为非保守力（nonconservativeforce）

，或耗散力（dissipativeforce）.

几种常见的保守力：万有引力、静电力、弹性力、重力等。

常见非保守力(耗散力)：摩擦力.

若力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关，具有这种性质的力称为保守力。（也可称作有势力）.

以上通过讨论分析重力、万有引力、弹簧弹性力以及摩擦力等各种类型力做功的特点，引入保守力与非保守力的概念。

保守力沿任意闭合路径移动一周所作的功必为零。保守力作功又

保守力场：

conservativeforcefield

如果质点在某一部分空间内的任何位置，都受到一个大小和方向完全确定的保守力的作用，称这部分空间中存在着保守力场。四势能（PotentialEnergy）

势能概念

conceptionofpotentialenergy

质点因相对位置而具有的作功本领称为势能（因有速度而具有的作功本领称为动能），势能的引入是以保守力作功为前提的，非保守力作功与路径有关，不能引入势能的概念。

质点系除可能具有动能外，还可能具有势能，势能与一定的保守力对应。

对于保守力来说，若受力质点始末位置一定，则力做的功便唯一确定，与路径无关，这样，就存在一个由相对位置决定的函数，质点由初始位置移到末位置时，这个函数的增量与保守力所做的功相联系。这个函数正是势能。

规定：势能的增量等于保守力做功的负值。

用Ep0和Ep分别表示质点在始末位置的势能，用A保表示自初始位置到末位置保守力的功，则势能的定义式为

上式表明，若保守力做正功,A保>0，则势能减少,Ep<Ep0

；若保守力做负功，A保<0，则势能增加，Ep>Ep0。●势能的零点

定义式定义的是质点在两个位置的势能增量，至于对应于某一位置的势能值究竟是多少，只有对势能零点作出规定之后才能确定。我们把势能等于零的空间点叫做势能零点，它通常是人为选定的。

势能的定义式为选参考点（势能零点），设则

某点势能的求法.系统某一位置的势能=

系统从该位置移到势能为0位置的过程中，保守力作的功。

势能函数Ep只与质点的位置有关，称为质点的势能或位能。（1）重力作功、重力势能引入函数：称为重力势能于是，重力作功可写为：即重力势能增量的负値（2）万有引力作功万有引力势能称为万有引力势能于是，有：即万有引力势能增量的负値:沿位置矢量的单位矢量

通常选择两吸引物体相距无穷远时为万有引力势能零点，则（3）弹性力做功、弹性势能x自然长度弹簧XF0弹性力于是有：即弹性势能增量的负値结论：保守力做功等于势能增量的负值

通常选择弹簧自由伸长状态为弹性势能零点，则5.

势能是系统内各物体位置坐标的单值函数；2.

对于非保守力不能引入势能的概念；1.势能属于以保守力相互作用的系统所有；说明

4.

B点的势能在数值上等于将物体从该点移到势能零点处保守内力所做的功3.

引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功的计算；（3）任意两点的势能差

EP与零势的选择无关，是确定值。（1）势能EP值大小与参照系的选择无关；但与势能零点的选择有关；（2）势能零点可任选，但一个问题中只可有一个；（通常以物体在地面为势能零点）（取弹簧原长处为势能的零点）（取两质点相距无穷远为引力势能的零点）

力学中常见的势能（1）重力势能Gravitationalpotentialenergy

：（2）弹簧系统的弹性势能

elasticpotentialenergy

：（3）万有引力势能universalgravitation

potentialenergy

：[例题]

已知地球对一个质量为的质点的引力，若选定（地面）处为势能零点位置（和表示地球的质量和半径）。（1）求势能函数；（2）若质点处于地面附近上空，求势能函数的近似式。[解]（1）（2）设质点距离地面高度为，则，且有，故地面附近的势能即引力势能在地面附近可用重力势能来替代。例、倔强系数为K的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹簧伸长x0时，重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种势能均为零，则当

m偏离O点x时，系统的重力势能为多少？系统的弹性势能为多少？系统的总势能为多少？弹性势能为：（以o点为重力势能零点,以向下为x正向）x（以o点为弹性势能零点）P故若取受力平衡点为重力势能、弹性势能零点，则总势能为：（x是到力平衡点的距离

）对功的概念有以下说法：(1)保守力做正功时，系统内相应的势能增加；(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和为零.上述说法中：(A)(1)(2)是正确的.

(B)(2)(3)是正确的.

(C)只有(2)是正确的.

(D)只有(3)是正确的.例：答案：C质点质量为m,距地心为r，若选r=3R(R

为地球半径)处为势能零点，则质点位于r=2R处时，它与地球(质量为M)所组成的系统的势能为

.

解:例：势能差是否依赖于势能零点的选择？[思考]

势能曲线

potentialenergycurves

势能是质点相对位置的函数，把势能和相对位置的关系绘成曲线，便得到势能曲线。弹力势能重力势能万有引力势能00h0r

势能曲线

potentialenergycurves

通过势能曲线，可以显示出系统总能量、动能和势能间的关系，由，可以根据曲线的形状讨论物体的运动；设：质点m

受保守力F运动保守力作的元功：由于l为任意选定的方向即：势能沿任意方向变化率的负值等于保守力沿该方向的分量（1）由势能函数求保守力

由势能求保守力conservativeforcefrompotentialenergy

数学上：标量的梯度矢量若E为保守力场中的势能即：势能沿空间任意方向的变化率的负值等于与该势能相对应的保守力沿该方向的分量；保守力等于势能函数梯度的负值。得例如：由弹性势能则万有引力为：再如：万有引力势能函数为：（2）由势能曲线求保守力

一维势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应位置处质点所