数学学案：课堂探究应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究实际问题中度量A，B两点的长度(高度）的方法剖析：（1）求距离问题．如图,当AB的长度不可直接测量时,求AB的距离．两点间不可到达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达①当A，B两点之间不可到达又不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解，则AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)．②当A，B两点之间可视但不可达时,测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解．∵∠A＝π－（∠B＋∠C）,∴根据正弦定理，得eq\f（AB,sinC）＝eq\f（BC,sinA）＝eq\f(BC，sin[π－(∠B＋∠C）］）＝eq\f(BC,sin(∠B＋∠C)）＝eq\f(a,sin（∠B＋∠C))，则AB＝eq\f(asinC，sin（∠B＋∠C))．③当A，B两点都不可达时，先在△ADC和△BDC中分别求出AC，BD,再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解．先求：AD＝eq\f(a,sin(∠ADC＋∠ACD））×sin∠ACD;再求：BD＝eq\f(a，sin（∠BDC＋∠BCD）)×sin∠BCD；最后：AB＝eq\r（AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB)．名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持,为解这个三角形提供必要的条件．（2)求高度问题．如图,当AB的高度不可直接测量时,求AB的高度，有如下情况．底部可达底部不可达①当BC底部可达时,利用直角三角形的边角关系求解，则AB＝atanC．②当BD不可达时， 在Rt△ABD中,BD＝eq\f（AB,tan∠ADB)，在Rt△ABC中,BC＝eq\f（AB,tan∠ACB），∴a＝CD＝BC－BD＝eq\f（AB，tan∠ACB)－eq\f(AB,tan∠ADB）．∴AB＝eq\f（a，\f(1,tan∠ACB)－\f(1，tan∠ADB））．③在△BCD中，BC＝eq\f(a，sin(∠BCD＋∠D))×sinD．∵AB⊥BC，∴∠BAC＝eq\f(π，2)－∠ACB．∴在△ABC中，AB＝eq\f（BC,sin∠BAC）×sin∠ACB＝eq\f(BC,cos∠ACB)×sin∠ACB．∴AB＝eq\f(\f(a，sin（∠BCD＋∠D）)×sinD,cos∠ACB）×sin∠ACB＝eq\f（asinDtan∠ACB，sin（∠BCD＋∠D)）．名师点拨：在测量某物体高度的问题中,很多被测量的物体是一个立体的图形,而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．题型一测量距离问题【例1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．分析：要求出A,B之间的距离,可在△ABC（或△ADB）中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC，BC这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．解:在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°．∴AC＝CD＝eq\r(3）km．在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°．由正弦定理，得BC＝eq\f(\r（3）sin75°，sin60°)＝eq\f（\r(6)＋\r(2）,2）(km)．在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝（eq\r（3）)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(6）＋\r(2）,2）））2－2eq\r(3）×eq\f(\r(6）＋\r（2）,2)cos75°＝5．∴AB＝eq\r(5）km．∴两目标A，B之间的距离为eq\r（5）km．反思：测量长度(距离）是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分析题意,确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．题型二测量高度问题【例2】如图所示,在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h,在地面上取一基线AB，AB＝20m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h．(精确到0．1m）分析：先在Rt△PAO和Rt△PBO中求出AO，BO，再在△AOB中由余弦定理求出h．解：在Rt△PAO中，AO＝eq\f（h,tan30°)＝eq\r(3）h．在Rt△PBO中,BO＝eq\f（h，tan45°）＝h．在△ABO中，由余弦定理,得202＝（eq\r(3）h）2＋h2－2eq\r（3）h·hcos60°，解得h＝eq\f（20，\r(4－\r(3)))≈13．3（m）．反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序．题型三测量角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东45°方向,距A处9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶,应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？（精确到1度)分析：假设用t小时在C处追上乙船,则在△ABC中，AC,BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t,解此三角形即可．解：假设用t小时甲船在C处追上乙船．在△ABC中，AC＝28t海里，BC＝20t海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°．由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即(28t)2＝81＋(20t）2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)）），整理，得128t2－60t－27＝0，即(4t－3)（32t＋9）＝0．∴t＝eq\f（3,4)或t＝－eq\f（9，32)(舍去)．∴AC＝28×eq\f（3，4）＝21(海里）,BC＝20×eq\f（3,4）＝15（海里）．由正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f（BCsin∠ABC,AC）＝eq\f（15×\f(\r（3)，2),21)＝eq\f（5\r(3),14）．又∠ABC＝120°,∴∠BAC为锐角，∴∠BAC≈38°．∴45°－38°＝7°．∴甲船应沿南偏东7°方向用eq\f（3,4)小时可最快追上乙船．反思:航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解．题型四面积问题【例4】在半径为R的扇形OAB中，圆心角∠AOB＝60°，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积．分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形．我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积．解：如图(1）所示,设PQ＝x,MP＝y,则矩形的面积S＝xy．连接ON，令∠AON＝θ,则y＝Rsinθ．在△OMN中，利用正弦定理，得eq\f(R,sin120°）＝eq\f(x,sin（60°－θ）),∴x＝eq\f（2Rsin（60°－θ),\r（3))．∴S＝xy＝eq\f(2R2sinθsin（60°－θ），\r（3))＝R2·eq\f(cos2(θ－30°）－cos60°，\r（3)）．当θ＝30°时，Smax＝eq\f（\r（3）,6)R2．如图(2)所示,设PN＝x，MN＝y，则矩形的面积为S＝xy,连接ON，令∠AON＝θ．在△OPN中,利用正弦定理,得eq\f（ON，sin∠OPN）＝eq\f(PN,sinθ)＝eq\f(OP,sin∠ONP），∴x＝eq\f(R,sin150°)×sinθ＝2Rsinθ，y＝2Rsin(30°－θ）．∴S＝xy＝4R2sinθsin(30°－θ)＝2R2[cos2(15°－θ)－cos30°］．当θ＝15°时，Smax＝(2－eq\r（3）)R2．∵eq\f(\r（3),6）>2－eq\r（3)，∴所求内接矩形的最大面积为eq\f(\r（3）,6)R2．反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出,再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路．题型五易错辨析【例5】某观测站C在城A的南偏西20°的方向上,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°，在C处，测得公路上距C处31km的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20km后到达D处，此时C，D间的距离为21km，这人还要走多远才能到达城A？错解：如图所示，∠CAD＝60°．在△BCD中，由余弦定理，得cosB＝eq\f（BC2＋BD2－CD2，2BC·BD）＝eq\f(312＋202－212，2×31×20)＝eq\f(23，31),所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f（12\r（3），31)．在△ABC中，AC＝eq\f（BCsinB,sin∠CAB）＝24．在△ACD中，由余弦定理,得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，即212＝242＋AD2－24AD，所以AD＝15或AD＝9，所以这人还要走15km或9km才能到达城A．错因分析：没有及时检验，题目中△ACD为锐角三角形，故应舍去AD＝9的情况．正解：设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中,由余弦定理，得cosβ＝eq\f（BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f（202＋212－312，2×20×21）＝－eq\f（1，7),所以sinβ＝eq\f（4