数学学案：课堂探究曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一曲线与方程的概念问题曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F（x，y）＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y）＝0的解，并且以方程F(x,y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．判断点与曲线关系的方法（1)从点的坐标角度若点M(x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲线C上，则f（x0，y0）＝0；或若f(x0，y0）≠0，则点M(x0，y0）不在方程f（x，y)＝0表示的曲线C上．（2)从方程的解的角度若f（x0，y0）＝0，则点M（x0，y0)在方程f（x，y)＝0所表示的曲线C上;或若点M(x0，y0）不在方程f（x,y)＝0表示的曲线C上，则f(x0，y0）≠0.【典型例题1】如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y）＝0的解，那么以下说法正确的是()A．以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上B．以方程F(x，y）＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)＝0的解D．坐标不满足方程F(x，y）＝0的点都不在曲线C上解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F（x,y)＝0的解构成的集合的子集,它包含两种情形：①真子集；②相等．据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的．答案：D探究二曲线方程的求法解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：(1）建立恰当的坐标系：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简）．（2)利用题目条件，建立等量关系:根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环,常用到一些基本公式,如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点M有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简．（3）挖掘题目隐含条件，避免“少解"与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点,或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上．【典型例题2】已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A,B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程思路分析：因为已知条件中未给定坐标系,所以需“恰当"建立坐标系．考虑到对称性,由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A（－a，0),B(a，0），然后求解解：如图所示,以两定点A，B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a，0），M(x，y）因为|MA|∶|MB｜＝2∶1，所以eq\r（(x＋a）2＋y2）∶eq\r(（x－a)2＋y2）＝2∶1，所以eq\r(（x＋a)2＋y2)＝2eq\r((x－a)2＋y2）.化简，得eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(x－eq\f（5，3）a））2＋y2＝eq\f(16，9)a2，所以所求动点M的轨迹方程为eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（x－eq\f(5,3）a)）2＋y2＝eq\f（16，9）a2.【典型例题3】长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C（x，y）满足eq\o(AC，\s\up6(→))＝2eq\o（CB,\s\up6（→）)，求动点C的轨迹方程．思路分析：A，B分别在x轴、y轴上移动，可设A(x0,0)，B（0，y0),又动点C（x,y)满足eq\o(AC，\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6（→）)，代入即可得轨迹方程．解：因为长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动，故可设A(x0,0)，B(0,y0)．又因为动点C(x,y)满足eq\o(AC，\s\up6（→）)＝2eq\o(CB,\s\up6(→）)，所以(x－x0，y)＝2（0－x，y0－y)，即（x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，所以eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x，,y＝2y0－2y）)eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1（x0＝3x，,y0＝eq\f(3,2)y.)）又因为｜AB|＝3，即＝9，所以（3x）2＋eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(eq\f（3，2)y))2＝9。整理得动点C的轨迹方程为x2＋eq\f（y2，4)＝1。方法总结求曲线方程常见方法的注意点（1）定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆等），可用定义直接探求．（2）相关点代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，有时也称代入法．其基本思想是，如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某一条已知的曲线C：f（x，y）＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x,y)表示已知曲线上的动点(x1，y1）,再将它代入已知曲线C的方程f（x，y）＝0即可求得动点轨迹方程．（3)待定系数法:根据题意正确设出曲线方程，明确待定系数,寻找待定系数的方程时一定要充分挖掘题中条件,特别注意隐含条件．探究三求曲线的交点问题已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F（x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P(x0,y0）是曲线C1，C2的交点点P的坐标(x0,y0）满足方程组eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(F（x，y)＝0，,G(x，y）＝0，）)且方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．【典型例题4】试讨论圆x2＋（y－1）2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数）交点的个数．思路分析：只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可．解：由eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（y＝k(x－2）＋4，,x2＋（y－1）2＝4，））得(1＋k2）x2＋2k(3－2k)x＋（3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4（1＋k2）[（3－2k）2－4]＝4(12k－5)．当Δ＞0,即k＞eq\f（5，12）时,直线与圆有两个不同的交点；当Δ＝0,即k＝eq\f(5，12)时，直线与圆有一个交点；当Δ＜0，即k＜eq\f(5,12）时，直线与圆没有交点．探究四易错辨析易错点忽视验证造成增解【典型例题5】求以A(－2,0）,B(2，0)为直径端点的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程．错解：设点C的坐标为(x，y)．△ABC为圆内接三角形且以AB为直径．∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1。∵kAC＝eq\f(y－0,x＋2),kBC＝eq\f（y－0,x－2)，∴eq\f（y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－1。化简,有x2＋y2－4＝0。即点C的轨迹方程为x2＋y2－4＝0.错因分析：(1）在表述kAC，kBC时没有注意斜率不存在的情况．(2)没有验证以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．正解：设C的坐标为(x,y)．∵△ABC为圆的内接三角形，且圆以线段AB为直径，∴eq\o(AC，\s\up6（→））⊥eq\o(BC,\s\up6(→）)，即eq\o(AC，\s\