数学学案：课堂探究椭圆的标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一利用椭圆的定义解题椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1｜＋｜MF2｜＝2a(2a＞|F1F2｜）,则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a【典型例题1】设F1，F2为椭圆eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，4)＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点,PF1⊥PF2，且｜PF1|＞|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出｜PF1｜，|PF2|的值．解:因为PF1⊥PF2，所以∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝｜PF1｜2＋|PF2|2所以有eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(｜PF1｜2＋|PF2｜2＝20，,|PF1｜＋|PF2|＝6，）)解得｜PF1｜＝4，|PF2|＝2，所以eq\f(|PF1｜,|PF2｜）＝2.探究二求椭圆的标准方程解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位"与“定量"：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值,常根据条件列方程（组)求解．【典型例题2】求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为（－4,0)和（4，0)，且椭圆经过点(5，0)；（2）焦点在y轴上,且经过点(0,2)和（1,0)；（3)经过点P（－2eq\r(3)，1)，Q（eq\r（3）,－2)．思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”．解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0)．所以2a＝eq\r（（5＋4）2)＋eq\r((5－4）2）＝10.所以a＝5,所以a2＝25。又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,9)＝1.(2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为eq\f（y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a＞b＞0)．又椭圆经过点（0，2）和（1,0),所以eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(eq\f（4，a2)＋eq\f(0，b2)＝1,，eq\f(0，a2）＋eq\f(1，b2）＝1）)⇒eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（a2＝4，，b2＝1.）)所以所求椭圆的标准方程为eq\f（y2，4)＋x2＝1。（3）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，因为点P（－2eq\r（3),1)，Q(eq\r（3)，－2）在椭圆上，所以eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（12m＋n＝1，,3m＋4n＝1。））解得eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(1，15），，n＝eq\f(1，5）。）)所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2，15)＋eq\f(y2，5）＝1。点评:已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1（m＞0,n＞0，且m≠n）的形式有两个优点：（1)列出的方程组中分母不含字母；（2)不用讨论焦点所在的坐标轴．探究三求与椭圆有关的轨迹方程求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法：（1）定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定；(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程．【典型例题3】如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B（3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．思路分析:根据两圆内切的特点，得出｜PA｜＋|PB|＝10。由于点A的坐标为(－3,0)，点B的坐标为（3，0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题．解：设｜PB|＝r.因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA｜＝10－r，即｜PA|＋|PB｜＝10（大于|AB|）．所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．所以2a＝10，2c＝|所以a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，即点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2，16)＝1.探究四易错辨析易错点对椭圆的标准方程认识不清【典型例题4】若方程eq\f(x2，5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，求k的取值范围．错解：由eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(5－k＞0，，k－3＞0，))得3＜k＜5。错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中a＞b＞0这一条件，当a＝b时,方程并不表示椭圆．正解：由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（