2025届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理含解析

PAGE其次节同角三角函数的基本关系与诱导公式[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的诱导公式.同角三角函数基本关系式的应用和诱导公式的应用仍将是2024年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.逻辑推理‖学问梳理‖1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝eq\x(1)1.(2)商数关系：tanα＝eq\x(2)eq\f(sinα,cosα)．2．诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦eq\x(3)sin_αeq\x(4)－sin_αeq\x(5)－sin_αeq\x(6)sin_αeq\x(7)cos_αeq\x(8)cos_α余弦eq\x(9)cos_αeq\x(10)－cos_αeq\x(11)cos_αeq\x(12)－cos_αeq\x(13)sin_αeq\x(14)－sin_α正切eq\x(15)tan_αeq\x(16)tan_αeq\x(17)－tan_αeq\x(18)－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名变更符号看象限►常用结论(1)同角三角函数的基本关系式的几种变形①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.②sinα＝tanαcosα.(2)诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变更．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)对随意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、走进教材2．(必修4P21A12改编)已知tanα＝－3，则cos2α－sin2α＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)答案：B3．(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sinα＝eq\f(4,5)，则cos(π＋α)＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)答案：A三、易错自纠4．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，则θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)解析：选D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).5．已知sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，则sinαcosα＝________.解析：∵sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，∴sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(－2,（－2）2＋1)＝－eq\f(2,5).答案：－eq\f(2,5)6．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tanθ＝________．解析：sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，平方得2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，则eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝－eq\f(24,25)，分子分母同时除以cos2θ，得eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝－eq\f(24,25)，所以12tan2θ＋25tanθ＋12＝0，解得tanθ＝－eq\f(4,3)或tanθ＝－eq\f(3,4).因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)>0，故sinθ>|cosθ|>0，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(诱导公式的应用))|题组突破|1．若cosα＝－eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝()A．eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：选D∵cosα＝－eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝－eq\f(1,3).2．(2025届江西上饶模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))的值等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)解析：选A由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)＋\f(3π,2)))＝sinα－eq\f(π,12)＝eq\f(1,3).3．化简：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝________．解析：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝eq\f(sinα＋sinαcosα,（1＋cosα）tanα)＝cosα.答案：cosα4．sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·tan－π－eq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)►名师点津应用诱导公式的思路与技巧(1)运用诱导公式的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减eq\f(π,2)的整数倍时，用公式去掉eq\f(π,2)的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等．②常见的互补的角：eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等．(3)三角函数式化简的方向①切化弦，统一名．②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(同角三角函数基本关系式——多维探究))●命题角度一公式的干脆应用【例1】(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sinα＝()A．－eq\r(1－k2) B．eq\r(1－k2)C．±eq\r(1－k2) D．eq\r(1＋k2)(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．[解析](1)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα>0.∵cosα＝k，∴sinα＝eq\r(1－k2).(2)因为sin1°＝cos89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝eq\f(1,2)，故原式＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).[答案](1)B(2)eq\f(89,2)●命题角度二sinα，cosα齐次式问题【例2】(1)已知tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，则eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝________．(2)若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值为________．[解析](1)由tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，得tanα＝eq\f(2,3)，则eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝eq\f(cosα－3sinα,－cosα＋9sinα)＝eq\f(1－3tanα,－1＋9tanα)＝eq\f(1－2,－1＋6)＝－eq\f(1,5).(2)由3sinα＋cosα＝0⇒tanα＝－eq\f(1,3)，则eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).[答案](1)－eq\f(1,5)(2)eq\f(10,3)●命题角度三sinα±cosα，sinαcosα之间的关系【例3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．[解](1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由x∈(－π，0)，知sinx<0.又sinx＋cosx>0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinx（cosx＋sinx）,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosx（cosx＋sinx）,cosx－sinx)，由(1)及题意得，原式＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).►名师点津在高考中，常给出角α的一个三角函数值，求其他异名三角函数值，解题的关键就是敏捷驾驭同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用．(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦与余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时留意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以实现知一求二．(3)对于齐次式问题要把式子中的常数化为cos2α＋sin2α的形式．|跟踪训练|1．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，则tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－2 B．2C．±2 D．eq\f(1,2)解析：选Btanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.故选B．2．已知－eq\f(π,2)<α<0，sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，则eq\f(1,cos2α－sin2α)＝()A．eq\f(7,5) B．eq\f(25,7)C．eq\f(7,25) D．eq\f(24,25)解析：选B∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(cosα－sinα)2＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα－sinα＝eq\f(7,5)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）)＝eq\f(1,\f(1,5)×\f(7,5))＝eq\f(25,7).故选B．3．(2025届郑州质检)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，则eq\f(sin3（π－α）＋cos（α＋π）,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))的值为________．解析：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，所以－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq\f(1,5).所以eq\f(sin3（π－α）＋cos（α＋π）,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))＝eq\f(sin3α－cosα,5sinα－3cosα)＝eq\f(8cos3α－cosα,7cosα)＝eq\f(8,7)cos2α－eq\f(1,7)＝eq\f(3,35).答案：eq\f(3,35)eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(同角三角函数关系式的创新交汇应用))【例】(2024年全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()A．eq\f(1,5) B．