《高等动力学》课件

2024年11月25日Page1高等动力学

第二类拉氏方程的古典研究北京信息科技大学戈新生（gebim@）2024年11月25日Page2问题1：T是否仅为广义速度的平方？问题2：为什么L＝T－V？问题3：系统是否有守恒量，是哪些？内容1:陀螺力、耗散力内容2:第一积分本节内容2024年11月25日Page3陀螺力陀螺力(例)2024年11月25日Page4其中第一项可以表示为:注意到:写成矩阵形式:得到的广义力项称为陀螺力项:陀螺力项可由广义坐标变换的非定常性所引起陀螺力(例)2024年11月25日Page5科氏力科氏力的功率陀螺力不做功陀螺力的功2024年11月25日Page6旋转摆:可以看出系统的特解为:研究受扰运动:代入动力学方程，并略去高阶小量，受扰运动微分方程:陀螺力（扰动微分方程）2024年11月25日Page7如果作用在系统上的非有势的广义力不作功,则称此广义力为陀螺力。如果广义力是广义速度的线性函数时,不作功的力必为陀螺力。陀螺力=>无功无功=>陀螺力广义速度独立陀螺力:dE=02024年11月25日Page8引入广义速度的常正二次型:令相应的广义力按如下方式生成:则拉氏方程可改写为:陀螺力与耗散力的异同？耗散力:dE<02024年11月25日Page9如系统中主动力皆有势，且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj:刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?V与广义速度无关循环积分pj

—广义动量广义动量积分2024年11月25日Page10系统是有势的拉氏函数不显含时间存在广义能量积分系统是有势的拉氏函数不显广义坐标存在广义动量积分拉氏方程的积分2024年11月25日Page11例1:椭圆摆2024年11月25日Page12取x和

为广义坐标a)x为循环坐标,存在循环积分水平方向动量守恒b)L不显含t,存在广义能量积分将以上结果与拉氏方程比较:机械能守恒例1:椭圆摆2024年11月25日Page13半径为R的圆环以角速度匀速转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动,如下图所示。已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。试分析系统的首次积分。例22024年11月25日Page14取

为广义坐标例22024年11月25日Page151.匀速转动约束为理想约束2.广义能量守恒,但机械能不守恒3.无外力矩作用情况系统动量矩守恒a)为循环坐标,存在循环积分b)L不显含t,存在能量积分(系统能量守恒)例22024年11月25日Page16小车的车轮在水平地面上作纯滚动,每个轮子的质量为m1,半径为r,车架质量不计。车上有一质量弹簧系统,弹簧刚度系数为k,物块质量为m2。试分析拉格朗日方程的首次积分。例32024年11月25日Page17选取x和xr为广义坐标。广义能量积分为循环积分为讨论:广义动量守恒，但动量不守恒。例32024年11月25日Page18设系统内有l个广义坐标，其中m个为循环坐标:L是的二次函数可解出:循环积分构成m个的线性方程组L中不含循环坐标m个可用其它表示L中可不含循环坐标及其导数劳斯函数2024年11月25日Page19拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数:即:劳斯函数劳斯函数2024年11月25日Page20劳斯函数与拉格朗日函数之间有如下关系:故有对应于l-m个非循环坐标的拉氏方程:当系统的拉格朗日函数有循环坐标时,借助于循环坐标,产生了一个用Routh函数描述的新系统,称之为“导出系统”。导出系统仍然是拉格朗日系统。用劳斯函数表示的拉氏方程2024年11月25日Page21系统的循环积分:可解出:进一步解出劳斯函数R，代入方程:例5:劳斯函数-椭圆摆2024年11月25日Page22陀螺仪:转子的转动惯量分别为A.A.C。隐运动:转子的自转。显运动:框架的转动。例6:劳斯函数-陀螺仪2024年11月25日Page23系统的动能:动能中不显含，故是循环坐标，有循环积分:

为转子角速度在其自转轴的投影劳斯函数:例6:劳斯函数-陀螺仪2024年11月25日Page24劳斯函数:代入劳斯方程，得:例6:劳斯函数-陀螺仪2024年11月25日Page25高等动力学

第一类拉氏方程北京信息科技大学戈新生（gebim@）2024年11月25日Page26问题1：如何确定系统的广义坐标？问题2：如何计算约束反力？问题3：非完整系统？内容1:第一类拉氏方程内容2:拉氏乘子的物理意义内容3:例本节内容2024年11月25日Page27达朗贝尔原理－拉格朗日原理:广义惯性力:广义坐标形式的达朗贝尔原理－拉格朗日原理:对于完整约束,qk独立可导出第二类拉氏方程。对于一阶线性非完整约束:第一类拉氏方程2024年11月25日Page28将虚位移形式的约束方程改写为:引入s个待定乘子，乘以约束方程后求和:代入广义坐标形式的达朗贝尔原理－拉格朗日原理:第一类拉氏方程2024年11月25日Page29系统具有l-s个独立的广义坐标,设为q1ql-s:对于前l-s个独立的广义坐标,有:第一类拉氏方程2024年11月25日Page30对于其余s个非独立的广义坐标,可以选取合适的待定乘子,可得:综合上述两式,可以得到l个动力学方程:其中的待定乘子称为拉格朗日乘子。方程是否可解？此时,系统的变量除各广义坐标外,还包括待定乘子,需补充约束方程联立求解。这类方程也称为“微分/代数混合方程组”第一类拉氏方程2024年11月25日Page31拉氏乘子的个数:约束方程的个数虚位移约束方程的系数j对应于第j个约束方程,k对应于第k个广义坐标对于r个完整约束:对于s个非完整约束:第一类拉氏方程2024年11月25日Page32Oxyv

C冰刀:初始条件:约束方程:动能:方程的物理意义！第一类拉氏方程（例）2024年11月25日Page33设一质点在固定曲面上运动，约束方程为:则第一类拉氏方程为:或:而牛顿第二定律:故:乘子正比于约束力。拉氏乘子的物理意义2024年11月25日Page34设在由N个质点组成的系统上作用有r个完整约束和s个非完整约束，将这些约束统一写成虚位移形式:定理:对于上述系统，约束是理想的充要条件为:系统的约束力可以表示为:证明:充分性:拉氏乘子的物理意义2024年11月25日Page35必要性:拉氏乘子的物理意义2024年11月25日Page36牛顿第二定律:理想约束力:笛卡儿坐标形式的拉氏乘子法2024年11月25日Page37斜面上的冰刀:(简化为刚性轻杆连接的两个质点)解:完整约束:非完整约束:笛卡儿坐标形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page38完整约束:一阶线性非完整约束:笛卡儿坐标形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page39笛卡儿坐标形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page40测振仪的分析动能:势能:约束:拉氏方程:例（有多余坐标系统的拉氏方程）2024年11月25日Page41对于小角度运动:例（有多余坐标系统的拉氏方程）2024年11月25日Page42定义广义坐标:动能:势能:约束:拉氏乘子法:其中:约束的Jacobi矩阵有关于非完整约束部分仅对一阶线性约束有效矩阵形式的拉氏乘子法2024年11月25日Page43矩阵形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page44矩阵形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page45矩阵形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page46定义体坐标系在铰点上广义坐标:体1上任一点的位置:体1上任一点的速度:体1动能:均质杆长为2l双摆（平面多体问题例）2024年11月25日Page47系统的动能:均质杆长为2l对每一个体应用拉氏方程:双摆（平面多体问题例）2024年11月25日Page48系统的重力虚功:均质杆长为2l重力的广义力:不考虑乘子的方程:自由刚体的方程方程的推导正确吗？方法1:退化:S=0方法2:物