14充分与必要条件(典例精讲)-2021-2022学年高一数学精讲检测(人教A版2019)

1.4充分与必要条件典例精讲典例精讲一、命题【例1】(技巧点拨：命题概念）下列语句是命题的是（）①三角形的内角和等于；②；③；④这座山真险啊！A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】能够判断真假的陈述语句是命题，据此判断即可.【详解】①三角形的内角和等于是命题；②是命题；③不能判断真假，故不是命题；④这座山真险啊！不是陈述句，因此不是命题.故选：A.【例2】(技巧点拨：命题的“若。。，则。。”形式）命题“对顶角相等”改写成“若，则”的形式是__．【答案】“若两个角是对顶角，则这两个角相等”【分析】从命题中找出条件和结论，然后改成“若，则”的形式即可.【详解】命题“对顶角相等”改写成“若，则”的形式是“若两个角是对顶角，则这两个角相等”．故答案为：“若两个角是对顶角，则这两个角相等”．【例3】(技巧点拨：命题真假判断）将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．（1）6是12和18的公约数；（2）能被6整除的整数，一定能被3整除；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）已知，为非零自然数，当时，，．【答案】答案见解析.【分析】一般的，命题都可以写成“若，则”的形式，加上适当的修饰语即可.【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题；（2）若一个整数能被6整除，则这个数能被3整除，是真命题；（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题；（4）已知，为非零自然数，若，则，，也可以为，，是假命题．【例4】(技巧点拨：命题中的计算）已知：，：，请确定实数的取值范围，使得由，构造的命题“若，则”为真命题.【答案】答案见解析.【分析】当令为，为，得到“若，则”，从而得到，当为，为，得到“若，则”，从而得到.【详解】令为，为，则命题“若，则”为“若，则”，由命题为真命题可得，解得.故当时，“若，则”为真命题.令为，为，则命题“若，则”为“若，则”，由命题为真命题可得，解得.故当时，“若，则”是真命题.【例5】(技巧点拨：命题中的计算）已知命题p:方程x22xa=0没有实数根;命题q:不等式x2ax+4>0对一切实数x恒成立.若命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据命题的真假，结合根的判别式，即可分别求出参数取值范围，最后取交集即可得出结论.【详解】当命题p为真命题时,应有4+4a<0,解得a<1;命题q是真命题时,应有a216<0,解得4<a<4.所以当命题p和q都是真命题时,a应满足即4<a<1,因此,实数a的取值范围是(4,1).【对点实战】1、给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是A．4 B．2 C．1 D．－3【答案】C【分析】根据根的判别式求出a的范围，在选项中选出符合条件的值即可.【详解】方程无实根，所以，解得：，所以只有1符合；故选C.2、“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】试题分析：原命题为假则它的否定为真，故（4）为真命题，“的元素不都是的元素”又说明“中有不属于元素”故（2）正确，选B.二、充分条件和必要条件【例6】(技巧点拨：充分性）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，那么“”是“成立”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“”，设其中

即“”成立能推出“”成立

反之，例如满足但，即成立，推不出故“”是“|xy|＜1”成立的充分不必要条件

故选A【例7】(技巧点拨：必要性）“或”是“”成立的_____________条件.【答案】必要不充分【分析】利用逆否命题的等价性，转化后，判断充分，要条件.【详解】，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.故答案为：必要不充分【例8】(技巧点拨：充要性）方程至少有一个负实根的充要条件是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C【例9】(技巧点拨：灵活运用“小推大”技巧）集合，，则“或”是“”的条件________.【答案】必要不充分【分析】先化简两个命题，再利用充分条件必要条件的定义分析判断得解.【详解】由题得.当或时，即,即.当时，不一定成立；当时，一定成立.所以“或”是“”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分【例10】(技巧点拨：逻辑电路）设计如图所示的三个电路图，条件“开关闭合”；条件“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是________.【答案】（1）【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识判断即可.【详解】对于（1），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关、至少一个闭合.是的充分不必要条件；对于（2），当开关闭合时，灯泡亮；当灯泡亮时，开关闭合，是的充要条件；对于（3），当开关闭合且不闭合时，灯泡不亮；当灯泡亮时，开关必闭合，是的必要不充分条件.故答案为：（1）.【例11】(技巧点拨：逻辑地图）．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.下列命题中正确的是（）A．是的充要条件B．是的充分条件而不是必要条件C．是的必要条件而不是充分条件D．是的必要条件而不是充分条件【答案】ABD【分析】根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.【详解】如图将四个条件写成：，且不能推出；；；，所以，所以，故正确；不能推出，故B正确；，又，故是的充要条件，故C错误；由，可得，由不能推出，可得不能推出，故D正确.故选：ABD【对点实战】3、若，，为正数，则“”是“”的__________.【答案】必要不充分条件【分析】根据不等关系，并结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为，，为正数，所以当，，时，满足，但不成立，故充分性不成立；若，则，因为，，为正数，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分条件4、已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．【答案】充分条件【分析】根据集合关系判断即可得答案.【详解】设命题对应的集合为,命题对应的集合为,因为,所以命题是命题的充分条件.故答案为：充分条件.三、参数计算【例12】(技巧点拨：一元二次计算型）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______.【答案】【分析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】解不等式，解得，解方程，解得或.①当时，即当时，不等式即为，该不等式的解集为，不合乎题意；②当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则，可得，此时；③当时，即当时，解不等式可得.由于是的充分不必要条件，则,可得，解得.检验：当时，则有，合乎题意；当时，则有，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【例13】(技巧点拨：恒成立型）不等式恒成立的充要条件是_____________.【答案】【分析】先根据一元二次不等式恒成立得，再根据充要条件概念即可得答案.【详解】当时，即，当时，，不等式恒成立，满足条件,时，不满足条件；当时，由一元二次不等式恒成立得：，解得：或.综上：.所以,不等式恒成立的充要条件是【例14】(技巧点拨：逆否命题型）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围______．【答案】【分析】结合不等式的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．【详解】解：由得，解得，设由得，解得，设．是的必要不充分条件，是的必要不充分条件，，即，解得实数的取值范围为故答案为：【例15】(技巧点拨：注意充分和充分不必要在计算中的区别）若“条件：”是“条件：”的充分条件，则的取值范围是________.【答案】【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论.【详解】设p对应的集合为,q对应的集合为,

若p是q的充分条件,则,,,解得:.

实数m的取值范围为，故答案为.【例16】(技巧点拨：综合应用）已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或，；（2）或.【分析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出；(2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，当时，则，或，则，所以.（2）由题可知，是的必要不充分条件，则，当时，，解得：；当时，或，解得：或；综上所得：或.【对点实战】5、已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】由“”是“”的必要条件，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，集合，，因为“”是“”的必要条件，可得，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.6、已知p：x28x20≤0，q：x22x+1m2≤0(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.【答案】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简P，q，再根据p是q的必要不充分条件求解.【详解】由x28x20≤0得2≤x≤10，由x22x+1m2≤0(m>0)得1m≤x≤1+m(m>0)，因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p.则{x|1m≤x≤1+m，m>0}⫋{x|2≤x≤10}所以或解得0<m≤3.即m的取值范围是.故答案为：.四、证明充分性和必要性【例17】(技巧点拨：充分性和必要性的证明）求证：关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可.【详解】证：由题意知方程有两个根，设方程的两个根分别为，则，即，，，充分性：当时，因为且，所以,一个小于1，一个大于1，故充分性成立；必要性：因为，若方程有一个根小于1，另一个根大于1，则且，所以，故必要性成立；故关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.【对点实战】7、已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．【答案】证明见解析【分析】根据充分性与必要性定义证明即可.【详解】证明（充分性）∵，∴∴（必要性）∵，∴∴即，∴，得证．五、竞赛与自主招生【例18】设集合.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.【详解】（1）设集合中的元素，，所以，因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.（2）因为，所以；假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.【例19】已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|2≤x≤5}.（1）若a=3，求；（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）{x|