专题12椭圆的定值定点和最值问题-2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性）

专题12：椭圆的定值、定点和最值问题考点一、直线与椭圆位置关系、求弦长及中点弦问题1．直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论.【详解】，在椭圆内，恒过点，直线与椭圆相交.故选：A.2．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个【答案】D【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.3．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长.【详解】由,得椭圆方程,左焦点为,过左焦点的直线为,代入椭圆方程得，解得或，，故选：D.4．椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】写出直线的方程，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点坐标，通过计算直线的斜率即可得结果.【详解】由已知得，所以直线的方程为：（其中），与椭圆方程联立得，由韦达定理，所以，故；类似得，，所以，故选：D．5．已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.【详解】解：由直线l：，得直线l过定点，因为，所以该点在曲线C：内部.所以直线l与曲线C相交.故选：C.6．设椭圆C：）的左右焦点分别为，，下顶点为B，直线的方程为，设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线的距离为，且三角形的面积为，则椭圆C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直线的方程为可知，再根据P到直线的距离为得到P点坐标，代入到三角形的面积为中可求的值，进而求出椭圆C的方程.【详解】因为直线的方程为，所以当时，，即，，所以，设，因为P到直线的距离为，所以，即或，当时，无解，当时，，又因为三角形的面积为，所以，解得，所以椭圆C的方程为：，故选：C.7．直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】联立方程组解得点坐标，可得，再设和平行的直线，当该直线和椭圆相切时，即的面积取得最大值，求出此时高，可得答案.【详解】由题意联立方程组，解得或，因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取，则,设过点C与AB平行的直线为，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，联立，得：，令判别式，解得，此时与间的距离也即是的边AB上的高为，所以的最大面积为，故选：B.8．已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可.【详解】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B9．已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：设，则，所以，即，解得，所以，故选：C10．过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，，即可求出.【详解】由，得，，，左焦点为．则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，设，，则，，又，根据弦长公式得：，且，∴，故选：A．11．已知是椭圆的一个焦点，，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于，的一点，若面积的最大值为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可得，，再结合，即得椭圆方程.【详解】依题意得，，，解得，.故选：A．12．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（

）A．直线AB与OM垂直；B．若直线方程为，则.C．若直线方程为，则点M坐标为D．若点M坐标为，则直线方程为；【答案】D【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得：，设，则.对A：，故直线不垂直，则A错误；对B：若直线方程为，联立椭圆方程，可得：，解得，故，则，故错误；对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又，解得，即，故错误；对：若点M坐标为,则，则，又过点，则直线的方程为，即，故正确.故选：.13．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设，则，所以，又AB的中点为，所以，所以，由题意知，所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.14．过点的直线与椭圆相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q.若直线AB的斜率为k1（k1≠0），直线OQ(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2等于（）A．2 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用点差法求得正确答案.【详解】设，则，两式相减得，，，即.故选：D15．已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（

）.A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆C的长轴长为4C．直线的方程为 D．【答案】A【分析】根据椭圆方程求得，从而确定AB选项的正确性.利用点差法确定C选项的正确性.利用弦长公式确定D选项的正确性.【详解】依题意椭圆C：，所以，所以椭圆的焦点坐标为，A选项错误.椭圆的长轴长为，B选项正确.设，则，两式相减并化简得，由于是的中点，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，C选项正确.消去并化简得，，所以，D选项正确.故选：A考点二、椭圆的定值、定点问题16．已知为坐标原点，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的动点，直线、分别与轴交于点、.则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设动点，，由椭圆方程可得、的坐标，求出，所在直线方程，可得与的坐标，求得，再由动点在椭圆上，得，则的值可求.【详解】设动点，，由椭圆方程可得，，则，，所以直线的方程为，直线的方程为，由此可得，，所以.因为动点在椭圆上，所以，所以，则.故选：B.17．已知椭圆，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为的直线l与E交于M，N两点，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】设出点和直线l的方程，联立直线和椭圆方程得出韦达定理，结合两点距离公式和韦达定理化简即可求解.【详解】设，直线l的方程为，将直线方程代入椭圆方程并化简得到，进而有，所以．故选：B．18．已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求出，，进而写出椭圆的方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果.【详解】∵椭圆的两顶点在直线上，∴，，∴椭圆的方程为，∴，，设点的切线方程为，，联立，消去得，∵直线与椭圆相切，∴，即，∴，，∴，∴点，又，∴，∴，设点，又在切线上，∴，∴，∴，故选：A.19．已知过原点的动直线l与椭圆交于A，B两点，D为椭圆C的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，则，再由在椭圆上，即可得到，代入可得；【详解】解：由题知，可设，，则，又在椭圆上，故，即，所以．故答案为：．20．若AB是过椭圆中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM､BM与两坐标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM的斜率，则kAM·kBM=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点的坐标，将斜率用坐标表示，再将，的坐标代入椭圆方程，再作差即可得解；【详解】解：设，，，，则，，则，在椭圆上，，，两式相减得，即，所以，所以，即故选：．21．已知椭圆的左､右焦点分别为，，，面积为的正方形ABCD的顶点都在上.(1)求的方程；(2)已知P为椭圆上一点，过点P作的两条切线和，若，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由对称性，不妨设正方形的一个顶点为，根据正方形的面积为得到，再由求解；（2）设点，过点P与相切的直线l的方程为，与联立，由，得到，由和为方程的两个不等实根求解.（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为，由，得，所以，整理得.①又，②由①②解得，，故所求椭圆方程为.（2）由已知及（1）可得，设点，则.设过点P与相切的直线l的方程为，与联立消去y整理可得，令，整理可得，③根据题意和为方程③的两个不等实根，所以，即为定值.22．已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．(1)试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；(2)在（1）的条件下，若，求的值．【答案】(1)，(2)（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以，，则，，所以椭圆的方程为，设，（，），则，又，即，所以，因为为定值，所以，解得，所以；（2）由（1）得，直线：，又，，，则直线：，令，则，所以，同理直线：，令，则，所以，所以，所以，化简可得或，解得或（舍），所以，，则，，，，所以.23．椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析,恒过定点【分析】(1)根据焦点三角形与椭圆的定义可求解;(2)利用韦达定理确定，转化为，再结合韦达定理求得定点.然后用（1）因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）依题意，设，若直线的斜率为0则关于轴对称，必有，不合题意．所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且，因为是椭圆上一点，即所，则，即，因为，得即因为，，整理得解得，所以直线恒过定点.24．已知椭圆：，，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析（1）由题意得，故椭圆为，又点在上，所以，得，，故椭圆的方程即为；（2）由已知直线过，设的方程为，联立两个方程得，消去得：，得，设，，则，（*），因为，故，将（*）代入上式，可得：，∴直线与斜率之积为定值．25．已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.【答案】(1)(2)（1）解：由题意，椭圆的下顶点为，故.由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，解得：.故椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为.当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：.设，则.，，，为定值，即与无关，则，此时.经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.26．已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析，定值为【分析】（1）根据可设，根据，利用斜率相等且在椭圆上列式可得椭圆基本量的关系，再根据求解基本量即可；（2）由题意设：，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，再表达出，结合韦达定理求解即可.（1）因为，故可设，因为，故，即，解得.又在椭圆上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程为.（2）因为椭圆方程为，故，当斜率为0时或重合，不满足题意，故可设：.联立可得，设，则.故故定值为27．如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知列出关于的方程组解之可得椭圆方程；（2）假设存在满足题意，设，，当直线斜率存在时，设方程为，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，，代入化简可得常数，再验证直线斜率不存在时，也有此结论即得．（1）由已知知，解得，所以椭圆方程为；（2）假设存在满足题意，设，，，①当直线与轴不垂直时，设：，代入并整理得∴，（*）（*）式是与无关的常数，则解得，此时为定值；②当直线与垂直时，，，，也成立，所以存在定点，使得为定值．考点三、椭圆的最值问题28．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为10，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的几何性质求解.【详解】，根据椭圆的几何性质可知，当轴时，有最小值，此时的最大值为10，此时在中，令则，所以，所以的值是.故选:D.29．已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案【详解】解：设，，则．∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．∴，即．∴．当且仅当时取“=”．故选：B．30．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】设，求出焦点坐标，利用向量的坐标运算得出，再根据椭圆的范围利用二次函数求最值即可得解.【详解】设，由可知，，，，，，时，的最小值为，解得.当时，的最大值为.故选：D31．椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由，设，设点到直线：的距离，所以有，其中，所以当时，有最小值，故选：C32．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为，的中点为，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，，求出，由点在直线上，代入求解即可.【详解】设椭圆上关于直线的对称的两点分别为，的中点为，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得，消元可得，，，，，，，又点在直线上，，，，解得，所以实数m的取值范围为.故选：C33．已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切．O为坐标原点．（当两圆相切时，规定切点为同时与两圆相切的点圆．）(1)若求圆心P的轨迹C的方程．(2)已知点，直线l过点且与曲线C交于A、B两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．【答案】(1)(2)面积的最大值为，直线为.【分析】（1）设动圆的半径为，由圆与圆的位置关系分析可得，由椭圆的定义分析可得轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹的方程，即可得答案；（2）设，，，，联立直线与椭圆的方程可得，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案．（1）设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．（2）直线l的斜率不存在时，，，面积；直线l的斜率存在时，直线方程为，设，，，，联立直线与椭圆的方程，可得，，，得，设M到直线的距离为，，，令，则，，此时∴，综上，直线l的斜率不存在时，面积的最大值为，此时直线为.34．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，的最大面积为，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点，、为椭圆上两点，且，求的最大值.【答案】(1)(2)1）解：设椭圆的半焦距为，，，的最大面积为，，，，椭圆的方程为；（2）由题知，设直线的方程为，，，联立，消去并整理得：，∴，得，，，∴，设，，由复合函数的单调性知：在上单调递增，在单调递减，∴当时，，故.35．已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．【答案】(1)(2)①证明见解析；②最大值为，．【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；（2）①设，BA的方程为，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达化简即可；②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得的表达式，结合的范围求解面积范围即可.（1）由椭圆的定义知，双曲线的离心率为，故椭圆的离心率，故，，，故椭圆的方程为．（2）①证明：设，则．设直线BA的方程为，联立方程化简得，，∴，，∴；②当直线AB的斜率不存在时，可知，，，故，当直线AB的斜率存在时，由①知，，，，，点C到直线AB的距离，故.故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为．36．已知椭圆的离心率为，短轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据离心率及短轴长及求出，，求出椭圆方程；（2）先考虑直线AB的斜率不存在时的值，再考虑直线AB