错位相减求和（原卷版）

错位相减求和思路引导思路引导1.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.2.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))掌握解题“三步骤”4.四类特殊数列的前n项和①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.母题呈现母题呈现【典例】(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝eq\f(nan,3).已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；[切入点：设基本量q](2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<eq\f(Sn,2).[关键点：bn＝n·]方法总结方法总结1.如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．2.错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.模拟训练模拟训练1．（2023·陕西安康·统考二模）已知公比大于1的等比数列满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，求的前项和.2．（2023·四川·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且__________(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，．4．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列​的前​项和为​，且​，__________．请在​成等比数列;​，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列​的通项公式;(2)设数列​的前​项和​，求证：​．5．（2022·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)①；②；③．从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．6．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）已知数列中，前n项的和为，且(1)求数列的通项公式；(2)如果恒成立，求最小值.7．（2023·湖南株洲·统考一模）数列满足，.(1)若，求证：是等比数列.(2)若，的前项和为，求满足的最大整数.8．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知数列的前n项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．9．（2022·山东烟台·统考三模）已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前