2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题124 全等三角形中的经典模型【六大题型】（人教版）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题12.4全等三角形中

的经典模型【六大题型】

【人教版】

【题型।平移模型】............................................................................1

【题型2轴对称模型】..........................................................................4

【题型3旋转模型】............................................................................6

【题型4一线三等角模型】.....................................................................9

【题型5倍长中线模型】.......................................................................13

【题型6截长补短模型】.......................................................................16

励**一五三

3知识点1平移模型】

【模型解读】把^ABC沿着某一条直线1平行移动，所得到4DEF与aABC称为平移型全等三角形，图①,

图②是常见的平移型全等三角线.

图①图②

【常见模型】

\7

【题型1平移模型】

【例1】（2022•义马市期末）如图，点4,E,F,8在直线/上，AE=BF,AC〃瓦），且AC=8。，求证:

△ACFdBDE.

【变式1-1]（2022•曾都区期末）如图，点8,£,C,尸在一条直线上，AB=DE,AC=DF.老师说：还

添加•个条件就可使下面是课堂.上.三个同学的发言：

甲：添加以?=。"，乙：添力口AC〃。小丙；添加NA=ND.

（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是;

（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明.

【变式1-2]（2022春•东坡区校级期末）如图，△ABC中,AB=\3cm,BC=llcm,AC=6cm,点E是BC

边的中点，点。在A8边上，现将△D8E沿着小方向向左平移至尸的位置，则四边形OECf的周

长为cm.

ADB

【变式1-3］（2022•富顺县校级月考）如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,且。E=

AF,求证：如果将3。沿着A。边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，结

论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

⑴⑵（3）

1［知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

A<A

【题型2轴对称模型】

【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知AACFgADBE,且点A,B,C,。在同一•条直线上，N4=50°，

ZF=40°.

(1)求△O8E各内角的度数；

(2)若AO=16,BC=10,求A8的长.

【变式2-1】（2022♦陇县一模）如图，在△A8C中，已知CQ_LA8于点D，BE_LAC于点£NDCB=N

EBC.求证：AD=AE.

A

D

BC

【变式2-2］（2022•句容市期末）如图，已知△AO。0△40C.求证:AC=BD.

A

【变式2-3］（2022•海珠区校级期中）如图，PB1AB,PCLAC,PB=PC,。是4P上一点.求证：/BDP

=ZCDP.

p

【知识点相旋转模型r

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加〔减)公共角的条件.

【常见模型】

X_________________

【题型3旋转模型】

【例3】(2022•环江县期中)如图，AB=AE,AB//DE.Zl=70°,ZD=110°.

求证：△ABCgaEAQ.

证明：VZ1=7O°,

・•・().

又,

・•・().

'：AB//DE.

:.().

在△A8C和△E4O中，

’()

()'

MF=AE

/.^ABC^AEAD(AAS).

【变式3-1](2022春•济南期末)如图1,ZkAAE是等腰三角膨，AB=AE,ZBAE=45°,过点8作BC

_LAE于点C,在BC上截取CD=C£连接A/)、QE并延长交8七于点P；

(1)求证：AD=BE；

(2)试说明4。平分N8AE：

(3)如图2,将△CQE绕着点C旋转一定的角度，那么A。与8E的位置关系是否发生变化，说明理由.

B

B

02)

图1

【变式3-2］（2022•高港区校级月考）已知，如图，A。、B尸相交于。点，点E、C在BF上，且BE=FC,

AC=DE,AB=DF.求证:

(1)AO=DO；

(2)AC//DE.

BE

D

【变式3-3］（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△AB。、△ACE拼在一起（图1）,AABD

不动.

（1）若将△4CE绕点A逆时针旋转，连接OE,M是OE的中点，连接MB、MC（图2）,证明：MB

=MC.

（2）若将图1中的C七向上平移，/C4E不变，连接QE,M是。E的中点，连接M3、MC（图3）,

判断并直接写出MB.MC的数量关系.

（3）在（2）中，若NC4E的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的M3、MC的数量关系还

成立吗？说明理由.

i知识点4二线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD_LDE,AB.LAC,CE±DE,那么一定有NB=NCAE.

【题型4一线三等角模型】

【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△44。中，AB=AC,D,A,E三点都在直线加上，RDE=9cm,

NBDA=NAEC=NBAC

（1）如图①，若A6J_AC,则4。与4七的数量关系为BD=AE,CE与40的数量关系为CE=

AD；

（2）如图②，判断并说明线段8Q,CE与。上的数量关系；

（3）如图③，若只保持NBD4=NAEC,BO=E尸=7cw,点A在线段OE上以2c〃次的速度由点。向点

E运动，同时，点C在线段EF上以我〃心的速度由点E向点”运动，它们运动的时间为f（S）.是否

存在m使得与全等？若存在，求出相应的f的值；若不存在，请说明理由.

C

【变式4-1］（2022•东至县期末）如图，在△48C中，AB=AC,D、A、E三点都在直线〃?上，并且有N

BDA=NAEC=NBAC=a,若OE=10,BD=3,求CE的长.

【变式4-2]（2022春•历下区期中）CO是经过NBCA定点C的一条直线，C4=C8,E、尸分别是直线CO

上两点，且N3EC=NCM=NB.

（1）若直线CO经过N8CA内部，且£、F在射线CO上，

①若N8C4=90°,Zp=90°,例如图1,则BECF,EF\BE-AF].（填“>”，“V”，

“=”）:

②若0°<NBC4<180°,且/0+NBC4=18O°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如图3,若直线C。经过NBC4外部，且N0=NBC4,请直接写出线段E”、BE、AF的数量关系

【变式4-3]（2022•余杭区月考）如图①，点、B、C在/MAN的边AM、AN上，点E,F在NMAN内部的

射线A。上，Nl、N2分别是△ABE、△CA尸的外角.已知43=AC,Z\=Z2=ZBAC.求证：△A8E

且△C4E

应用：如图②，在△ABC中，A8=AC,A8>BC,点。在边8C上，且CD=2BD,点E,尸在线段AO

上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求AABE与△C。尸的面积之和.

【知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

【题型5倍长中线模型】

【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，3。是△A8C的中线，AB=6,5c=4,求中线BD的取值范围.

【变式5-1］（2022•涪城区校级月考）如图，在△ABC中，。是8C边的中点，E是A。上一点，BE=AC,

BE的延长线交AC于F,求证：ZAEF=ZEAF.

【变式5-2］（2022•淹水县校级模拟）（I）在△A8C中，AQ为△48C的中线，A8=6,AC=4,则人。的

取值范围是：

（2）如图，在△A8C中，A。为△44C的中线，点£在中线A。上，KI3E=AC,连接并延长8E交AC

于点F.求证：AF=FE.

【变式5-3](2022•丹阳市期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他

们一起活动吧.

【探究与发现】

(1)如图1，AO是△A8C的中线，延长4。至点E,使£O=A。，连接BE,写出图中全等的两个三角

形__________________

【理解与应用】

(2)填空：如图2,EP是的中线，若EF=5,DE=3,设EP=x，则x的取值范围是.

(3)已知：如图3,4。是△/WC的中线，ZBAC=ZACB,点Q在8C的延长线上，QC=BC,求证：

A()=2AD.

【知识点6截长补短模型】

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;

补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以

采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程

【题型6截长补短模型】

【例6】（2022秋•西岗区期末）阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：

如图I,在△ABC中，4。平分NB/IC,ZABC=2ZC.求证：AC=AB+BD：

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法一：如图2,在AC上截取AE,使得AE=A8,连接。E,可以得到全等三角形，进而解决问题.

方法二：如图3,延长A3到点E,使得8E=8。，连接。E,可以得到等腰三角形，进而解决问题.

（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC=A8+BO,根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下

面的问题：

（2）如图4,四边形A8CO中，£是8c上一点，EA=ED,ZDCB=2ZB,NOAE+N8=90°,探究

DC、CE、8E之间的数量关系，并证明.

【变式6-1](2022•靳春县期中)己知：如图，在△ABC中，/A8C=6()°,AABC的角平分线A。、CE

交于点O.

求证：AC=AE+CD.

【变式6-2](2022•新抚区校级月考)如图，四边形48C。中，ZA=ZB=90°,七是A8的中点，OE平

分NAQC.

(1)求证：CE平分N3CQ；

(2)求证：AD+BC=CD,

(3)若A8=12,CO=13,求SMDE.

【变式6-3](2022•黄石期末)已知aA8c和△。石月为等腰三角形，AI3=AC,DE=DF,NBAC=NEDF,

点E在43上，点尸在射线AC上.

(1)如图1,若NB4C=60°,点尸与点C重合，求证：AF=AE+AD；

(2)如图2,若4。=48,求证：AF=AE+BC.

C(F)

角形中的经典模型【六大题型】

【人教版】

【题型I平移模型】............................................................................1

【题型2轴对称模型】..........................................................................4

【题型3旋转模型】............................................................................6

【题型4一线三等角模型】.....................................................................9

【题型5倍长中线模型】.......................................................................13

【题型6截长补短模型】.......................................................................16

“会¥一五三

1知识点1平移模型】

【模型解读】把八ARC沿着某一条直线I平行移动，所得到ADEF与八ARC称为平移型全等二角形，图①,

图②是常见的平移型全等三角线.

图①

【常见模型】

【题型1平移模型】

【例1】（2022•义马巾期末）如图，点A,E,卜,a在直线/上，A"9,AC〃以Z且AC=8O,求证:

【分析】根据平行线的性质得到NC4/=NOBE,根据S4s证明△AC/g/XBOE即可.

【解答】证明：•・・4E=8F,

：.AE+EF=BF+EF,

即AF=BE；

*：AC//BD,

：,/CAF=/DBE,

又•・,4C=B。，

在△AC/与△BOE中，

[AC=BD

\^CAF=乙DBE,

UF=BE

；・△“壮△BOE（SAS）.

【变式1-1]（2022•曾都区期末）如图，点&E,C,尸在一条直线上，AI3=DE,AC=DF.老师说：还

添加一个条件就可使△A8C0△。笈汽下面是课堂上三个同学的发言：

甲：添力口8E=CR乙：添力口AC〃。入丙：添加NA=ND

（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是甲、丙；

（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明.

AD

【分析】(1)加上条件B£=C〃或NA=N。的条件即可证明两个三角形全等，添加AC〃。尸不能证明

(2)添加BE=CF可得BC=EF,利用SSS判定△。防即可，添加NA=N。,可用S4s证明△ABC

^△DEF.

【解答】解：(1)说法正确的是：甲、丙，

故答案为：甲、丙；

(2)选甲的做法,

证明：•:BE=CF,

:,BC=EF,

在△ABC和△£>£：尸中，

<AB=DE

AC=DF，

IBC=EF

：.^ABC^/\DEF(SSS).

选丙的做法，

在△4AC和△£>£"中，

AB=DE

Z.A=Z.D,

AC=DF

:.△ABC/4DEF(S4S).

【变式1-2](2022春•东坡区校级期末)如图,ZXABC中,AB=\3cm,BC=\\cm,AC=6on,点、E是BC

边的中点，点。在A8边上，现将△QBE沿着£4方向向左平移至/的位置，则四边形。EC尸的周

长为cm.

【分析】连接EH证明△。七尸金△。尸E(ASA),推出OE=CF,可得结论.

【解答】解：连接石立

由平移的性质可知，AF=DE.EF=AD,AF//DE,EF//AD,DF//BC,

:.NCEF=NDFE,NCFE=NDEF,

在尸和△OFE中，

Z.CEF=Z.EFD

EF=FE，

匕CFE=乙DEF

:.△CEF9/\DFE（ASA）,

：.DE=CF,

：.AF=CF=DE=3cm

•••F是BC的中点，

EC=EB=DF=5.5cm,

，四边形DEC文的周长=2（3+5.5）=17血

故答案为：17.

【变式1-3］（2022•富顺县校级月考）如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,且。£=

AF,求证：△AFC^XOEB.如果将8。沿着A。边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变，结

论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

［分析］可以根据已知利用SAS判定△AFCgZXOEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、

（3）时，其余条件不变，结论仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证.

【解答】解：•・・A8=CD,

：,AB\BC=CD\BC,

却AC=BD.

yDEZ/AF,

/.ZA=ZD.

AF=DE

在△/1产C和△QE8中，］乙4=40,

AC=DB

:,△AFC//\OEB(SAS).

在(2),(3)中结论依然成立.

如在(3)中，\'AB=CD,

:・AB-BC=CD-BC,

却AC=BD,

,:AF〃DE,

・•・NA="D.

AF=DE

在△AC〃和△。七8中，\z.A

AC=DB

:.△ACF/lXOEB(SAS).

«知识点2轴对称模型】

【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对

称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.

【常见模型】

【题型2轴对称模型】

【例2】（2022•安丘市期末）如图，已知△ACF0且点4,B,C,。在同一条直线上，乙4=50°,

ZF=40°.

（1）求aOBE各内角的度数：

(2)若AO=16,BC=10,求A3的长.

ABCD

【分析】（1）根据全等三角形的性质求出/。、ZE,根据三角形内角和定理求出/E8。即可;

(2)根据全等三角形的性质得出AC=BD,求出4B=CD,即可求出答案.

【解答】解：(I)*：XACRXDBE,NA=50°,ZF=40°,

，NO=NA=50°,ZE=ZF=40°,

.*.ZEBD=1800-Z.D-ZE=90°；

(2),:XACF在4DBE,

:・AC=BD,

•••AC-BC=DB-BC,

：.AB=CD,

V4D=16,BC=10,

：

,AB=CD=2-(AD-BC)=3.

【变式2-1](2022•陇县一模)如图，在△ABC中，己知CQ1A8于点。，8E_L4C于点E,ZDCB=Z

EBC.求证：AD=AE.

【分析】由“A4S”可证△ADCgAAEB,可得AO=AE.

【解答】证明：*：CD±AB,BE1AC,NDCB=/EBC,

：.Z1DBC=/ECB,

：.AB=AC,

在△AQC和△AE8中，

乙4=乙4

乙ADC=乙AEB=90%

AC=AB

/.AADC^/\AEB(AAS),

：.AD=AE,

【变式2-2］（2022•句容市期末）如图，己知求证：AC=BD.

【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可.

【解答】证明：•••△AODg/XBOC,

：.AO=BO,CO=DO,/AOD=NBOC,

:.NAOD-ZCOD=ZBOC-ZCOD,

即NAOC=NBOD,

在△AOC和△30。中，

AO=BO

Z.AOC=乙BOD,

CO=DO

:•△AOgRBODCSAS）,

：.AC=BD.

【变式2-3］（2022•海珠区校级期中）如图，PB工AB,PC-LAC,PA=PC,。是AP上一点.求证：NBDP

=ZCDP.

【分析】求出/人82=乙4cp=90°,根据”L推出RtZX/18PgRtZ\ACP,根据全等三角形的性质得出N

BPD=NCPD,根据SAS'推出△4PO0△CP。，即可得出答案.

【解答】证明：1P5J_A8,PC±AC,

：.ZABP=ZACP=90°,

・•.在Rt^ABP和RtAACP中

AP=AP

PB=PC

.,.RtAABP^RtAACP(HL),

:"BPD=/CPD,

在△BP。和△CP。中

PB=PC

乙BPD=乙CPD

PD=PD

，丛BPD叁色CPD,

:・NBDP=NCDP.

【知识点3旋转模型】

【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋

转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加〔减)公共角的条件.

【常见模型】

【题型3旋转模型】

【例3】（2022•环江县期中）如图，AB=AEfAB//DE,ZI=70°,ZD=IIO°.

求证：△45C0△E4Q.

证明：・・・/l=70°,

J/2=110。（邻补角的性质）.

又•・・NO=110°,

・•・N2=N£>（等量代换）.

'：AB//DE,

AZ3=ZE（两直线平行，内错角相等）.

在△A8C和△£4。中，

’（）

（）'

MF=AE

•••△ABC也△£4。（AAS）.

【分析】由邻补角的性质求出/2=110°,由平行线的性质得出N3=/E,根据A4S可证△ABCgZ\£4Q.

【解答】证明：•・•/1=70°,

/.Z2=110o（邻补角的性质），

又•・・/£>=110°,

・・・/2=/。（等量代换），

,:DE,

・・・/3=/£（两直线平行，内错角相等），

在△A8C和△£4。中，

42=乙D

43=Z.E»

AB=AE

A^ABC^/XEAD（A4S）.

故答案为：Z2=110°；邻补角的性质；Z2=ZD：等量代段；Z3=Z£；两直线平行，内错角相等；

Z2=Z£>；Z3=Z£.

【变式3-1]（2022春•济南期末）如图I,△A8E是等腰三角形，AB=AE,ZBAE=45Q,过点8作8c

_LAE于点C,在BC上截取CQ=CE,连接A。、。七并延长交BE于点P；

（1）求证：AD=BE；

（2）试说明AQ平分N3AE；

（3）如图2,将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么A。与8E的位置关系是否发生变化，说明理由.

【分析】（1）利用SAS证明ABCE也△ACO,根据全等三角形的对应边相等得到AD=8E.

(2)根据得到“七3C=NZMC,由NBO〃=NAZ)C,得到N3/V)=NDCA=90°,利

用等腰三角形的三线合一，即可得到AQ平分NME；

(3)4O_L8£不发生变化.由△8C£丝△ACQ,得到NEBC=/D4C,由对顶角相等得到N3"=NA/匕

根据三角形内角和为180°,所以/次步=NAb=90°,即AQ_L3£.

【解答】解：(1)VBCXAF,ZBAE=45°,

・・・NCBA=NCAB,

：.BC=CA,

在△BCE和△AC。中，

BC=AC

乙BCE=Z-ACD=90%

CE=CD

/.△BCE^AACD(SAS)，

[AD=BE.

(2)••,△3C£/△ACO,

：,ZEBC=ZDAC,

•・•NBDP=N4Z5C,

:・/BPD=NDCA=90°,

\'AB=AE,

.•・AO平分NBAE.

(3)AQ_L8E不发生变化.

如图2,

VABCE^AACD,

；・NEBC=NDAC,

■:NBFP=/AFC,

：.ZBPF=ZACF=90°，

：.ADA.BE.

【变式3-2］（2022♦高港区校级月考）已知，如图，人。、8户相交于。点，点石、C在BF上,且8E=PC,

AC=DE,AB=DF.求证：

(1)AO=DO：

(2)AC//DE.

【分析】(l)易证△48。且4。尸£可得N8=NF,可证△/18Og△。尸O,可得AO=。。：

(2)易证△AACg△£)?£,可得NQEr=NAC从可得AC〃。2

【解答】解：(1)，：BE=CF,

:・BC=FE,

和△/)「£中，

AB=DF

AC=DE,

BC=FE

A^ABC^/^DFECSSS),

:・/B=ZF,

•・•在△A8O和△。尸O中，

NDOF=Z.AOB

Z-B=Z.F,

AB=DF

A^ABO^ADFO(A4S),

：.AO=DO；

(2):△ABCg△。尸E,

:・NDEF=NACB,

：.AC//DE.

【变式3-3］（2022•锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形△AB。、△4CE拼在一起（图1）,AABD

不动.

A

（1）若将AACE绕点A逆时针旋转，连接。E,M是0E的中点，连接MB、MC（图2）,证明：M8

=MC.

（2）若将图1中的CE向上平移，NC4E不变，连接。/是。E的中点，连接MB、MC（图3）,

判断并直接写出MB、MC的数量关系.

（3）在（2）中，若NCAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的M8、MC的数股关系还

成立吗？说明理由.

【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AB=AC,全等三角形对应角相等

可得NBAO=NCAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到NMAD=/MAE,然后利用“边角边”证

明△A8M和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）延长DB、AE相交于E',延长EC交A。于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到,

然后求出M8〃AE',再根据两直线平行，内错角相等求出NMBC=NC4E,同理求出MC〃AZ）,根据

两直线平行，同位角相等求出N8CW=NB4。，然后求出NM8C=N8CM,再根据等角对等边即可得证；

（3）延长⑶W交CE于凡根据两直线平行，内错角相等可得凡NMRD=NMFE,然后

利用“角角边”证明△MO4和△ME/；全等，根据全等三角形对应边相等可得然后根据直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.

【解答】证明：（1）如图2,连接AM,由已知得△48。0ZVICE,

：.AD=AE,AB=AC,ZBAD=ZCAE,

.•・/MAD=/MAE,

・•・NMAD-ZBAD=ZMAE-NC4E,

即NB4M=NC4M,

AB=AC

在△ABM和△ACM中，N84M=4C4M,

AM=AM

/.(SAS),

:・MB=MC；

(2)MB=MC.

理由如下：如图3,延长。乐AE相交于£延长EC交AD于凡

:,BD=BE',CE=CF,

・・・M是E。的中点，B是。E'的中点，

:,MB〃AE',

・•・NMBC=NCAE,

同理：MC//AD,

:・NBCM=/BAD,

•：Z13AD=ZCAE,

/.NMBC=NBCM,

:・MB=MC；

解法二：如图3中，延长CM交8。于点r.

图3

■:EC//DT,

:./CEM=/TDM,

在△ECM和△O7M中,

乙CEM=乙TDM

EM=DM,

乙EMC=乙DMT

.•.△ECM4△D7M(ASA),

：,CM=MT,

VZCB7*=90°,

：,BM=CM=MT.

(3)M8=M。还成立.

如图4,延长8M交CE于F,

YCE//BD,

：.NMDB=ZMEF,NMBD=ZMFE,

又・・・加是OE的中点，

:.MD=ME,

在△MD8和△MEF中，

[/-MDB=乙MEF

LMBD=乙MFE,

MD=ME

：・4MDB必MEF(AAS),

:・MB=MF,

•・・NACE=90°,

/.ZBCF=90",

:・MB=MC.

图4

图2匿3

%加14一二线三等角模型】

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD_LDE,ABJ,AC,CEXDE,那么一定有/B=NCAE.

B.

【题型4一线三等角模型】

【例4】（2022春•香坊区期末）已知，在△43C中，AB=AC,D,A,E三点都在直线加上，且。£=%/〃,

NBDA=NAEC=ABAC

（1）如图①，若AB_LAC,则BD与4E的数量关系为BD=AE,CE与A。的数量关系为CE=

AD；

（2）如图②，判断并说明线段B。，CE与的数量关系；

（3）如图③，若只保持N8OA=NAEC,B/）=石尸=7CM点A在线段OE上以2cM的速度由点。向点

E运动，同时，点C在线段石产上以w〃心的速度由点E向点/运动，它们运动的时间为r（$）.是否

存在■使得△A3。与△E4C全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得NC4E=NA8。，再利用A4S证明△4BZ）四△CAE,

得BD=AE,CE=AD；

（2）由（1）同理可得△48。空△C4E,得8/）=4E,CE=AD,可得答案；

（3）分△。八8g人或△0/18/△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题.

【解答】解：（1）:NBDA=NAEC=NBAC,

・•・ZBAD+ZCAE=ZBAD+ZA13D,

：.ZCAE=ZABD,

ZBDA=ZAEC,BA=CA,

:.△ABD9l\CAE(AAS),

，BD=AE,CE=AD,

故答案为：BD=AE,CE=AD；

(2)DE=BD+CE,

由(I)同理可得△ABOgZXCAE(AAS),

:・BD=AE,CE=AD,

:・DE=BD+CE；

（3）存在，当时,

：.AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,

t—1,此时x=2；

当△048g△£AC时，

•\AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,

.AD9r928

../=—2=74»x4=7^9--=—,

综上：7=1,X=2或，=2,A-^7.

49

【变式4-1](2022•东至县期末)如图，在△入8C中，AB=AC,。、4、E三点都在直线机上，并且有N

BDA=ZAEC=ZBAC=a,若OE=10,3。=3,求CE的长.

【分析】由NAEC=N84C=a,推出NEC4=NB4O,再根据44S证明△BAOgZXACE得CE=4O,AE

=8/)=3,即可得出结果.

【解答】解：：NAEC=NBAC=a,

AZ£CA+ZCAE=180°-a,

ZBAEH-ZCAE=\SO0-a,

：,ZECA=ZBAD,

在△B4D与△人(；£：中，

^BDA=LAEC

乙BAD=z.ACEf

AB=AC

•••△BAOg/XACE(AAS'),

；・CE=AD,AE=BD=3,

*：DE=AD+AE=10,

：,AD=DE-AE=DE-BD=1()-3=7.

：.CE=1.

【变式4-2](2022春•历下区期中)CO是经过NBCA定点C的一条直线，CA=CB,E、产分别是直线CD

上两点，且/8七。=/。料=/艮

（1）若直线C。经过N8CA内部，旦石、F在射线C。上,

①若NBCA=90。，Np=90°,例如图1,则BECF,EF\BE-AF].（填“>'："V”，

“=”）；

②若0°<ZfiCA<180°,且/p+N8cA=180°,例如图2,①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如图3,若直线C。经过/BCA外部，且NP=NBCA,请直接写出线段ERBE、A尸的数量关系

（不需要证明）.

【分析】（1）①求出N8EC=NAR7=90°,NCBE=NACF,根据A4S证ABCE也△CAR推出BE

=CF,CE=A尸即可；②求出/BFC=NAR7,NCBE=NACF,根据AAS证△BCEg/\CAR推出BE

=CF,CE=4尸即可；

（2）求出N8EC=NA/C,NCBE=NACF,根据人AS证△BCEg/XCA产，推出8E=CRCE=A产即可.

【解答】解：（1）①如图1,

E点在尸点的左侧，

VBELCD.AFLCD,/ACB=9U0,

••・/BEC=N4FC=90°,

AZBC£+ZACF=90°,NCBE+NBCE=90°,

：.ZCBE=ZACF,

在ZXBCE和△CA”中,

Z.EBC=^ACF

乙BEC=4AFC，

BC=AC

:.△BCE@/\CAF(AAS),

:,BE=CF,CE=AF,

：・EF=CF・CE=BE-AF,

当月在尸的右侧时，同理可证

：.EF=\BE-AF\x

故答案为=,=.

②：①中两个结论仍然成立：

证明：如图2,

图2

</BEC=NCFA=Na,Na+/4CB=180°,

:・/CBE=ZACF,

在△BCE和△C4F中，

ZEBC=Z.ACF

乙BEC=4AFC,

BC=AC

/.△BCE^ACAF(A4S),

：,BE=CF,CE=AF,

：,EF=CF-CE=BE-AF,

当E在手的右侧时,如图3,

同理口J证EF=AF-BE,

：.EF=\BE-AF］；

(2)EF=BE+AF.

理由是：如图4,

■:NBEC=NCFA=/a,N〃=NBC4,

XVZEBC+ZBCE+ZB£C=180°,ZBCE+ZACF+ZACB=\SQ0,

・•・ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACF,

:・/EBC=NACK

在△BEC和△(;孙中，

ZEBC=4ACF

乙BEC=4AFC,

BC=AC

AABEC^ACM(AAS),

：.AF=CE,BE=CF,

■:EF=CE+CF,

；.EF=BE+AF.

【变式4-3]（2022•余杭区月考）如图①，点8、C在NM4N的边AM、AN上，点E,/在NM4N内部的

射线A。上，Nl、N2分别是△ABE、△C4F的外角.已知A8=4C,Z1=Z2=ZBAC.求证：LABE

且△C4E

应用：如图②，在AA/C1中，A8=AC,AB>BC,点。在边8C上，且CD=2BD,点E,尸在线段AO

上.N1=/2=N8AC,若△人8。的面积为15,求△A8E与△CQF的面积之和.

【分析】(I)由“ASA”可证

(2)由“AS4”可证△A8E丝△C4”，由全等三角形的性质可得S“BE=SMAF，由三角形的面积关系可

求解.

【解答】证明：(1)・・・N1=N2=N84C,且N1=NBAE+NABE,Z2=ZFAC+ZFCA,ZBAC=Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=^FCA,/ABE=/FAC,且A4=AC,

/.^ABE^/XCAF(ASA)

(2)・・・/l=N2=NR4C,RZl=ZBAE+ZABE,Z2=ZMC+ZFC-A,NBAC=NBAE+NMC,

：.ZBAE=ZFCA,NABE=NFAC,且4B=AC,

:.△ABE9RCAF(ASA)

SNABE=S&CAF，

,:CD=2BD,△ABC的面积为15,

S^ACD=10=SdAB计S&CDF.

【知识点5倍长中线模型模型】

【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添

加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

【常见模型】

FF

【题型5倍长中线模型】

【例5】（2022秋•博兴县期末）如图，5。是的中线,AB=6,BC=4,求中线的取值范围.

【分析】延长8。到E,使。E=BD,证明两边之和大于8E=2BD,两边之差小于BE=2BD,证明三角

形全等，得到线段相等，等量代换得1V8OV5.

【解答】解：如图所示，延长8。到E,使DE=BD,连接人E,

是△A8C的中线，

：,AD=CD,

仁△AOK和△CO3中，

AD=CD

Z.ADE=Z.CDBf

BD=ED

A^ADE^/^CDB（SAS）,

：.AE=BC,

在△ABE中，有AB-AE<BE<AB+AE,

即2V2BOV10,

A1<BD<5.

【变式5-1］（2022•涪城区校级月考）如图，在△/WC中，。是8c边的中点，E是上一点，BE=AC,

BE的延长线交AC于F,求证：NAEF=NEAF.

【分析】延长A。到G使OG=AZ）,连接8G,通过△AC£>q/\G8。，根据全等三角形的性质得到NCA。

=/G,AC=BG,等量代换得到3E=BG,由等腰三角形的性质得到NG=NBEG,即可得到结论.

【解答】解：如图，延长A。到G使。G=AO,连接3G,

在△ACO与△GB。中，

CD=BD

乙ADC=Z.BDG，

AD=DG

/.XACD二△GBD,

・・・NC4D=NG,AC=BG,

*：BE=AC,

:・BE=BG,

:・/G=NBEG,

*.*ZBEG=NAEF,

・•・ZAEF=ZEAF.

【变式5-2］（2022•海水县校级模拟）（1）在△A8C中，AO为△ABC的中线，AB=6,AC=4,则AO的

取值范围是1V4DV5；

（2）如图，在△A8C中，AO为AABC的中线，点E在中线A。上，且BE=AC,连接并延长BE交AC

于点F.求证：AF=FE.

【分析】（1）延长A。到区使OE=A。，连接BE,利用“边角边”证明△AC。和△E8。全等，根据

全等三角形对应边相等可得BE=AC,再利用三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边求出八上的取值范围，然后求解即可.

（2）延长A。到点G,使。G=OE,连接CG.证明△BOEgACOG（SAS）.由全等三角形的性质可得

出4C=CG,ZBED=ZG.得出NG=NG4C,ZAEF=ZGAC,则可得出结论.

【解答】（1）解：如图，延长A。到E,使。E=A。，连接BE,

•・・A。为△ABC的中线，

:,BD=CD，

在△4CO和△£8。中，

[DE=AD

\^ADC=乙EDB,

iBD=CD

:.△ACD@4EBD（SAS）,

BE=AC,

由二角形二边关系得，6-4<AE<6+4,

即2VAEV10,

：.\<AD<5,

故答案为：1<AO<5.

（2）证明，延长4。到点G,使。G=OE,连接CG.

A。是中线

：,BD=DC.

在△8。石和ACOG中,

BD=CD

Z.BDE=乙CDG，

DE=DG

:.ABDEgACDG(SAS).

:,BE=CG,ZBED=ZG.

•・•/AEF=NBFD,

ZAEF=ZG.

yBE=AC,

，AC=CG,

・・・NG=NG4C,

・•・ZAFE=ZGAC,

：.AE=EF.

\9

'：E

【变式5-3]（2022•丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他

们一起活动吧.

【