信号分析与处理第2版课件作者赵光宙第6章节第1节随机信号的描述

第六章随机信号分析与处理基础随机信号的“无规律性”给我们的分析和处理带来难度。但是,从本质上认识随机信号发现,它仍含有一定的规律性,只不过这种规律性（或有用信息）完全被淹没了,表面上很难发现,只有在大量样本经统计分析后才能呈现出来。因此,对随机信号的认识、分析和处理必须建立在概率统计的基础上,而区别于确定性信号的分析、处理方法。本章在简要回顾随机过程的基本概念和统计特性的基础上,对随机信号的传统分析方法及近代分析、处理方法作初步介绍,为大家的进一步学习提供基础。第一节

随机信号的描述一个确定性信号的描述是方便的,随机信号的描述由于它的不能准确预测和不能肯定重复,因而不能像确定性信号那样进行,而有它独特的描述方式。为了表达随机信号的描述,我们来观测几台性能完全相同的电子仪器由于热噪声引起的输出端的噪声电压,记录如下图。图6－1一p个/s随han机gfuw信an

号.c

的m/样本集合首先,由于它的不肯定重复性,应该用全部可能观测到的波形记录来表示随机信号,称之为“样本空间”或“集合”,用来表示。而样本空间的每一个波形记录是一个确定的波形,可以用一个确定的函数来表示,称之为“样本函数”或“实现”,用 表示。可见,随机信号是由许多确定信号的集合 来表征。其次,当t取某一确定值的状态为时,随机信号在,它是一个数值的集合,如图6－1所示。集合中的各个数值虽然是确定的，但应取其中的哪一个是以一定的概率决定的。因此，随机信号 在 的状态是一个随机变量。从这个意义出发，也可以把随机信号理解为是随机变量的时间过程，即随机过程。由于随机信号是随时间变化的随机变量，因此，描述它的最基本的工具是它的概率结构，即概率（对离散型随机变量）和概率密度（对连续型随机变量），只是要把时间因素考虑在内。例如对于图6－1所示的连续时间随机信号 ，用来描述它的概率结构有:一维概率分布函数（6－1）表示随机信号在时刻的取值不大于的概率。(2)一维概率密度函数（6－2）表示随机信号在时刻的取值落入极小区间的平均概率,显然它针对取值连续的情况,并有（6－3）(3) n维联合概率分布函数（6－4）表示n个不同时刻随机信号的取值的概率分布,反映了随机信号在各个时刻的内在联系。显然,它较全面地反映了随机信号的概率特征。(4) n维联合概率密度函数（6－5）表示了随机信号在各个时刻取值连续情况下的概率特征,同样反映了随机信号在各个时刻的内在联系。二、

随机信号在时域的数字特征概率分布函数或概率密度函数完整地描述了随机信号的统计特性,是随机信号最基本的描述方式,但是它的求取难度很大,并且使用不方便,因此在工程实际中,往往不直接引用它,而取用能反映随机信号某一侧面的一些特征值,它们是均值、方差、相关函数、协方差函数等,它们称为随机信号的数字特征。（一）连续时间随机信号的数字特征

1.均值（数学期望）而随机信号的均值为均值定义为随机信号 的所有样本函数在同一时刻取值的统计平均值。随机信号在时刻的状态是一个随机变量,若它的取值是离散的,可能取值的数目为N,且取值是的概率为 ,则 的均值为（6－12）（6－13）若为连续取值的随机过程,由于它可以取无限多值,上式的概率应改为概率密度,得（6－14）是时间t的函数。均值 是随机变量 各个样本的摆动中心。对于平稳随机信号,由于其一维概率密度函数与时间无关,故有（6－15）是一个与时间无关的常数,相当于信号的直流分量。2.方差方差用来表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度,是随机信号取值分散性的度量。它定义为随机信号可能值与平均值之差的均方值,即（6－18）是时间的函数。其平方根 称为均方差。对于平稳随机信号,有（6－19）是一个与时间无关的常数。3.自相关函数与自协方差函数象一维概率密度函数一样,均值和方差描述的是随机信号在各个时刻的统计特性,为了反映随机信号在不同时刻的内在联系,定义其自相关函数为（6－20）自相关函数利用、时刻的二维概率密度函数进行描述,表示了两个不同时刻随机信号取值之间的关联关系或依赖程度。当,则有 ,故得（6－21）随机信号均方值是它的自相关函数在时的特例。对于平稳随机信号,由于其二维概率密度函数只与时间间隔有关,故有（6－22）是时间间隔τ的函数。平稳随机信号的自相关函数和自协方差函数具有一些重要的性质,读者可以自己验证.4.互相关函数和互协方差函数当研究两个随机信号和的相互关系时,类似自相关函数和自协方差函数可以定义互相关函数和互协方差函数。其中互相关函数定义为对于平稳随机信号,由于它们的联合概率密度函数同样只与时间间隔而两个随机信号的互协方差函数定义为（6－33）有关,故有（6－34）（6－35）由定义可以得到可见, 与信号之间的依赖关系。对于平稳随机信号有[例6－1]一个随机信号均为常数,为区间量,求该随机信号差、自相关函数及自协方差函数。（6－36）一样,表征了两个随机(6－37),其中均匀分布的随机变的均值、均方差、方解:随机变量 在 区间均匀分布，它与时间无关，故其一维、二维概率密度函数都为根据 式可求得根据得式可求其中。由（6－24）式可求得由（6－25）式可求得从上例可见,随机信号的均值和自相关函数是最重要的数字特征,由它们不难求得方差、自协方差函数和均方值等。（二）各态遍历性随机信号及其数字特征以上讨论的随机信号数字特征是建立在总集基础上的集平均表征量,在求取时往往用到反映随机信号总体统计特性的概率密度函数,即使求其近似值时也需要大量的样本函数,这正是实际分析中的困难所在。取随机信号样本集中的一个样本 ，当延续时间T足够大时，可以定义它的一系列数字特征，这里我们仅定义其中两个最重要的特征量:均值和自相关函数。（1）随机信号的时间均值（6－38）（2）随机信号的时间相关函数（6－39）它们都是沿时间轴的统计平均,所以称为时间平均表征量。通常,不同样本的时间平均表征量是不相同的,当然也不等于集平均表征量。但是,在一定条件下,平稳随机信号的一个样本函数的时间平均能够从概率意义上趋近于集平均,这种情况可以粗略地理解为随机信号的每一个样本都同样地经历了随机信号其它样本的各种可能的状态,因而从一个样本的统计特性（时间平均）就能得到全部样本的统计特性（集平均）,我们把具有这种特性的随机信号称为各态遍历性随机信号。具体地说如果以概率1成立,称如果的均值具有各态遍历性。以概率1成立,称态遍历性。（三）离散时间随机信号的数字特征（6－40）（6－41）的自相关函数具有各对于时间随机信号 ,若的取值是离散的,则称为离散时间随机信号。这时由于 是一串随机变量 所构成的序列,所以又称为随机序列 或例如,对于连续取值的随机过程,总集均值应表示为而总集自相关函数应表示为(6－42)(6－43)三、

随机信号的频域描述（一）连续时间情况设 是随机信号 的一个样本,是功率型信号,不满足傅立叶变换所要求的总能量有限（平方可积）的条件,对于平稳随机信号成来说,将其给定的样本 截短,形,即（6－47）显然 满足傅立叶变换条件,其傅立叶变换存在,为（6－48）并可写出能量的帕斯瓦尔等式（见2－100）（6－49）等式两边同除以2T,注意到（6－47）式,并令 ,得（6－50）上式左边 为的平均功率P ,由于是功率信号,所以P 必存在,将等式右边的被积函数记为 ,即（6－51）则(6-50)式就可写为（6－52）可见, 的平均功率P 由 在频率区间的积分确定,与能谱密度对应,称 为的功率谱密度函数,简称功率谱,由式（6－52）就是随机信号 的样本 的平均功率的谱表达式。随机信号 的所有样本都有其功率谱,构的集合,的平均功率,它也应其中 是考虑平稳随机信号满足集平均,即成功率谱集合 , ,它是频域的随机信号,取该随机信号的集平均就是随机信号 的功率谱,记为 ,即（6－53）（6－54）即平稳随机信号的平均功率就是它的均方值,根据（6－17）式,它是一个与时间无关的常数。将式（6－50）推广到集平均,可以得到平均功率的谱表达式,它是平稳随机信号表明平稳随机信号的功率谱 是单位的平均功率关于统计规律的最带宽的功率,它表示了频率的分布,是频域描述主要的数字特征。(6－55)式（6－53）中的 可表示为令,上式为（6－56）将（6－48）、（6－56）代入（6－53）式,可得a对于平稳随机信号 ,由（6－22）式,有,与时间无关。则有,代入上式,得平稳随机信号数的功率谱是它的自相关函的傅立叶变换,显然 的自相关函数就应是其功率谱即（6－57）的傅立叶反变换,（6－58）式（6－57）和（6－58）所表示的平稳随机信号的自相关函数与其功率谱之间构成傅立叶变换对的关系称为维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理,它揭示了从时域描述平稳随机信号的统计规律与从频域描述平稳随机信号的统计规律之间的内在联系,是分析随机信号的重要工具。当然,（6－57）式和（6－58）式成立的条件是 绝对可积。[例6－2] 求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。解:随机相位余弦信号为中,其为常数,为区间均匀分布的随机变量,例6－1已求得其自相关函数 ,并已知其均值为常数0,自相关函数仅与τ有关,可见是宽平稳随机信号,因此可根据维纳-辛钦公式（6－57）求出功率谱为是强度为的两个δ函数,平均功率为（二）离散时间情况上述维纳-辛钦定理不仅适用于连续时间随机信号,而且也适用于离散时间随机序列,也就是说,平稳随机序列的功率密度谱与序列的自相关函数 是一对离散时间傅立叶变换对。设 为由均匀间隔的离散时间信号构成的平稳随机序列,其自相关函数为当