新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第24讲 三角恒等变换（2）（解析版）

第24讲三角恒等变换（2）【基础知识全通关】1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2.要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4)，还有1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±eq\f(t2－1,2).4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\f(α,3)是eq\f(2α,3)的半角，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的倍角等．5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).则－eq\r(a2＋b2)≤y≤eq\r(a2＋b2).(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝eq\f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq\f(acosx＋b,ccosx＋d))可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋eq\f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋eq\f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．【考点研习一点通】1.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．【变式1-1】已知SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-2】设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，已知向量a＝(eq\r(6)sinα，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，cosα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(7π,12)))的值．【解析】(1)因为a＝(eq\r(6)sina，eq\r(2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，cosα－\f(\r(6),2)))，且a⊥b.所以eq\r(6)sina＋eq\r(2)cosα＝eq\r(3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(6),4).2分因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，(4分)所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(10),4)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(\r(6),4)所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(15),5).(6分)(2)由(1)得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(1,4).(8分)因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(15),4).(10分)所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(7π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,4)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)(12分)＝eq\f(\r(2)－\r(30),8).(14分)方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5)．求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．【解析】：由条件得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5)．∵α，β为锐角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5)．因此tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝7，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(1,2)．(1)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3．(2)∵tan2β＝eq\f(2tanβ,1－tan2β)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,3)，∴tan(α＋2β)＝eq\f(tanα＋tan2β,1－tanα·tan2β)＝eq\f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1．∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<eq\f(3π,2)，∴α＋2β＝eq\f(3π,4)．【变式2-1】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，锐角SKIPIF1<0的顶点为坐标原点SKIPIF1<0，始边为SKIPIF1<0轴的非负半轴，终边上有一点SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求角SKIPIF1<0的值．【解析】(1)SKIPIF1<0角SKIPIF1<0的终边上有一点P∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。【考点易错】1、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<02、已知函数SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的最小正周期和单调递减区间。（2）若方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的单调递减区间为：SKIPIF1<0（2）即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象与直线SKIPIF1<0有两个不同的交点．由（1）知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调减，在SKIPIF1<0上单调增，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象与直线SKIPIF1<0有两个不同的交点，即方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上两个不同的实数解．∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．【巩固提升】1、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】法SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，法SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0．2、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．3、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_______．【答案】3【解析】SKIPIF1<0．4、已知函数．(1)求的值；(2)若，求．【解析】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0<θ<2π，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<05、已知函数SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值．（2）求SKIPIF1<0的最小正周期及单调递增区间．【解析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．得SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的最小正周期是SKIPIF1<0．由正弦函数的性质得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0．6、已知SKIPIF1<0．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域．【答案】（1）最小正周期为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.7、已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最小值，并写出SKIPIF1<0取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调增区间．【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值0．此时，SKIPIF1<0取得最小值时自变量x的取值集合为SKIPIF1<0．(2)因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0的单调增区间是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．8、已知函数．若，求函数的值域．【解析】，由得，，．∴，即函数的值域为．方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．9、已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最小值，并写出SKIPIF1<0取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调增区间．【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值0．此时，SKIPIF1<0取得最小值时自变量x的取值集合为SKIPIF1<0．(2)因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0