新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第29讲 平面向量的基本定理与坐标运算（解析版）

第29讲平面向量的基本定理与坐标运算【基础知识全通关】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算a=（x1，y1）b=（x2，y2）a+b=(x1+x2，y1+y2)a-b=(x1-x2，y1-y2)λa=(λx1，λy1)3．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴方向相同的两个单位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作为基底，对于平面上的一个向量SKIPIF1<0，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=xSKIPIF1<0+ySKIPIF1<0.这样，平面内的任一向量SKIPIF1<0都可由SKIPIF1<0唯一确定，我们把有序数对SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的（直角）坐标，记作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，x叫做SKIPIF1<0在x轴上的坐标，y叫做SKIPIF1<0在y轴上的坐标．把SKIPIF1<0=SKIPIF1<0叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．【微点拨】（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．（3）SKIPIF1<0在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．4．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运算坐标语言加法与减法记SKIPIF1<0=(x1，y1)，SKIPIF1<0=(x2，y2)SKIPIF1<0=(x1+x2，y1+y2)，SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)实数与向量的乘积记SKIPIF1<0=(x，y)，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0x，SKIPIF1<0y)5．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．6．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)，即SKIPIF1<0，或x1y2-x2y1=0.【微点拨】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0不能表示成SKIPIF1<0因为分母有可能为0.7.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)，SKIPIF1<0=(x3-x1，y3-y1)，若SKIPIF1<0则A，B，C三点共线.【考点研习一点通】考点一：平面向量的正交分解例1．如下图，分别用基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出它们的坐标．【解析】由图可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=（―2，3）．同理可知SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0+4SKIPIF1<0=（3，4）．SKIPIF1<0=4SKIPIF1<0―4SKIPIF1<0=（4，―5）．【总结】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．【变式1-1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在SKIPIF1<0轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量SKIPIF1<0的坐标。【点拨】可根据题意，画出图形，写出SKIPIF1<0的坐标，然后再求题目中相应向量的坐标。【解析】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，2sin60°）,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【总结】向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，这是求向量坐标的最基本的方法。【变式1-2】已知O是坐标原点，点M在第二象限，SKIPIF1<0，∠xOM=120°，求SKIPIF1<0的坐标．【解析】设M（x，y），则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【变式1-3】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0求M、N及SKIPIF1<0的坐标.【点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可求SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.【变式1-4】已知点SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0求点C，D的坐标和SKIPIF1<0的坐标.【解析】设点C、D的坐标分别为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而SKIPIF1<0考点二：平面向量的坐标运算例2．已知向量SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0。【点拨】先用向量线性运算的运算律进行化简，然后再用向量线性运算的坐标公式计算。【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。【变式2-1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0求M、N及SKIPIF1<0的坐标.【点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可求SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.【变式2-2】已知SKIPIF1<0三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2）并且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0。【点拨】由于SKIPIF1<0两点的坐标已给出，因此要证SKIPIF1<0，可根据向量平行的条件，只需对相应的坐标进行运算。解题的关键是求出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，从而求出SKIPIF1<0的坐标，再作判断。【解析】设点SKIPIF1<0，依题意有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式2-3】平面内给定三个向量SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0求实数k；(2)设SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.【点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0【总结】(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解；(2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.考点三：平面向量平行的坐标表示例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，并判断SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否共线．【解析】已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分别为DC、AB的中点，∴由中点坐标公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共线．【总结】求出两向量的坐标，验证x1y2－x2y1=0即可．【变式3-1】如图，已知SKIPIF1<0ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标．【解析】设顶点D的坐标为（x，y）．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得（1，2）=（3―x，4―y）．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴顶点D的坐标为（2，2）．【变式3-2】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当k为何值时，A、B、C三点共线？【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵A、B、C三点共线，∴SKIPIF1<0，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．【总结】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，本题还可以利用A、B、C三点共线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即得k=―2或11时，A、B、C三点共线．【变式3-3】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．【解析】设SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，∴4(10SKIPIF1<0―11)+8(4SKIPIF1<0+1)=0，解之，得SKIPIF1<0．设点P的坐标为（xP，yP），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故点P的坐标为（6，4）．【总结】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．【考点易错】1.如图所示，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0，故选B．2.设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】-3【解析】∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点,SKIPIF1<0，∴B，C，D三点共线.若SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0=−SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，比较可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即答案为-3.3.已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则m=A．−8 B．−6C．6 D．8【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．4.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故选：D.5.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.本题选B．【巩固提升】1．已知平面向量SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0（）A．（-2，-1）B．（-2,1）C．（-1，0）D．（-1，2）【答案】D2．已知向量SKIPIF1<0=（1，2），SKIPIF1<0=（x，1）且SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0与2SKIPIF1<0―SKIPIF1<0平行，则x等于（）A．4B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0=（1+2x，4），2SKIPIF1<0―SKIPIF1<0=（2―x，3），∴SKIPIF1<0.3．若三点SKIPIF1<0共线，则有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0分别是方向与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正方向相同的单位向量，设SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），则向量SKIPIF1<0位于（）。A．第一、二象限B．第三、四象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）。A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．（1，2）D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0。6．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则锐角SKIPIF1<0等于（）。A．45°B．30°C．60°D．30°或60°【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0。7．已知向量SKIPIF1<0＝(6,4)，SKIPIF1<0＝(0,2)，＝SKIPIF1<0＋λSKIPIF1<0，若点C在函数y＝sinSKIPIF1<0x的图像上，则实数λ的值为()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C．－SKIPIF1<0D．－SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴点C(6,4＋2λ)，∵点C在y＝sinSKIPIF1<0x上．∴4＋2λ＝sinSKIPIF1<0×6＝1，∴λ＝－SKIPIF1<0.8．如图，点P在∠AOB的对顶角区域MON内，且满足：SKIPIF1<0，则实数对（x，y）可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在题图中，作PF∥ON交OM于点F，PE∥OM交ON于点E，得平行四边形OEPF，则SKIPIF1<0，易知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向，所以在SKIPIF1<0中，应有x＜0，y＜0。9．已知点M（2，3），N（8，4），点P在线段MN上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。10．已知a＞0，若平面内三点A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=________。【答案】SKIPIF1<0【解析】A、B、C三点共线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴a3+a=2(a2+a)SKIPIF1<0a(a2+1)=2a(a+1)，∴a2―2a―1=0，∴