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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精课堂探究探究一柱体的体积1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体=Sh.底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=πr2h.2.平行六面体的体积求解是比较常见的,因为平行六面体的六个面都是平行四边形,故可以用任意一组平行的面作为底面,其余面作为侧面.解题时,我们以解直棱柱的体积居多,故在平行六面体中选底面时,以构成直棱柱为首选因素.【典型例题1】(1)如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为()A.B.C.D.解析:由三视图知,该几何体为平行六面体,由图知高h==.底面积:S=3×3=9,所以其体积V=.答案:B(2)用一块长4m,宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4m,此时圆柱底面周长为2m,即圆柱底面半径为R=m,所以圆柱的体积为V=πR2·l=·4=(m3).②若以矩形的宽为圆柱的母线,同理可得V=(m3),所以第二种方法可使铁筒体积最大.探究二锥体的体积求锥体的体积常见的方法:(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.【典型例题2】圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为()A.36πB.18πC.45πD.12π解析:V圆锥=πr2·h,由于r=3,h=4(其轴截面如图),得V=×π×9×4=12π.答案:D探究三台体的体积1.台体体积公式适用于棱台和圆台.2.圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离.3.柱体、锥体、台体的体积关系如图所示.【典型例题3】若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析:由三视图可知该几何体上部分为一长方体,下部分为正四棱台.V=4×4×2+(42+4×8+82)×2=(cm3).答案:B探究四球的体积球的体积的计算常与其他几何体结合,将球的性质、简单几何体的性质融合在一起考查.常见的有内切和外接问题,求解与球有关的切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点或接点的位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.【典型例题4】平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.B.C.D.解析:利用截面圆的性质先求得球的半径长.如图所示,设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点,则OO′=,O′M=1,所以OM==,即球的半径为.所以V==.答案:B探究五易错辨析易错点:将几何体误认为锥体而致误【典型例题5】如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成了AEF.A1B1C1和BB1E。CC1F两部分,它们的体积分别为V1,V2,那么V1∶V2=__________.错解:由已知可知几何体AEFA1B1C1是三棱台,几何体BB1E。CC1F是四棱锥.设三棱柱的底面积为S,高为h,则由锥、台的体积公式可得,V1==,V2==.所以V1∶V2=∶=7∶3.错因分析:几何体BB1E。CC1F不是一个规则的几何体,而错解中将其看成了锥体.正解:设三棱柱的高为h,
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