2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（五）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（五）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2=4}，则下列说法正确的是A.2⊆A B.{−2}∈A C.{2}⊆A D.⌀∉A2.命题“∃x∈R，x3+|x|−2>0”的否定是(

)A.∃x∉R，x3+|x|−2≤0 B.∃x∈R，x3+|x|−2≤0

C.∀x∈R，x33.已知f(x)=ex−e−x−2sinxA. B.

C. D.4.已知函数f(x)=x⋅sinx，x∈R，则f(−π4),f(1)及A.f(−π4)>f(1)>f(π3) B.f(1)>f(5.数列{an}是递增的等差数列，前n项和为Sn，满足aA.d>0 B.a1<0

C.当n=4时，Sn最小 D.Sn6.设各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1A.−2 B.−1 C.−12 7.已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x≥0时，f(x)=x−1x+1，则使不等式f(a2−2a)<1A.(−1,3) B.(−3,3) C.(−1,1) D.(−∞,3)8.四张卡片的正面分别写上y=|cosx|，y=tanx+2sinx，y=|sinx|+sin|x|，y=sinx+cosx+|sinx−cosx|，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为(

)A.23 B.16 C.139.已知函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有两条对称轴，则A.(π2,2π3) B.(二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知(1x+ax2)611.复数z=(2cosθ−1)+(2sinθ+3)i为纯虚数，则tanθ=12.已知log23=m，log72=n，则log4256=______.(用13.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(−4,1)，则c14.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为1，5，12，22，…，以此类推，第7个图形对应的圆点数为______；若这些数构成数列{an}，则a1+a15.若方程x2−2ax+a+2+|x2−1|=0在区间(0,3]三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a>b，a=5，c=6，△ABC的面积是9．

(Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)求sinA的值；

(Ⅲ)求cos(2A−π617.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若b18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．

(1)证明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P−DM−B的余弦值；

(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是219.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(3,1)，且离心率为63,O为坐标原点．

(1)求E的方程．

(2)过点P(0,3)且不与y轴重合的动直线l与E相交于A，B两点，AB的中点为Q．

(i)20.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex+e−x+kcosx．

(1)若k=−2，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求正实数k的取值范围；

参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.D

10.±6

11.312.3n+1mn+n+113.(−∞,−6]

14.70

438

15.(1+16.解：(Ⅰ)在△ABC中，由a=5，c=6，△ABC的面积是9，

可知S△ABC=12acsinB=12×5×6sinB=9，

得到sinB=35，

因为a>b，可得cosB=45，

由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=13，

所以b=13；

(Ⅱ)因为b=13，sinB=35，a=5，

由正弦定理asinA17.解：(1)由Sn+2n=2an，得Sn=2an−2n，①

当n=1时，S1=2a1−2，解得a1=2，

当n≥2时，有Sn−1=2an−1−2(n−1)，②

两式作差可得an=2an−2an−1−2，即an=2an−1+2，

∴an+2=2(an−1+2)，n≥2，

又a1+2=4，∴数列18.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：

∵M为棱PC的中点，

∴MN/​/CD，MN=12CD，

∵AB/​/CD，AB=12CD，

∴AB/​/MN，AB=MN，

∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM/​/AN，

又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD⊂平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M为棱PC的中点，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，令z=2，则y=−1，x=1，

∴n=(1,−1,2)，

平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n⋅DA|n||DA|=11×6=619.解：(1)由已知，得9a2+1b2=1,ca=63,a2=b2+c2,解得a=23,b=2,

故E的方程为x212+y24=1．

(2)(i)证明：由题可设l：y=kx+3，A(x1,y1)，B(x2,y2).

联立x212+y24=1y=kx+3，消去y得(1+3k2)x2+18kx+15=0．

当Δ=4(36k2−15)>0，即k2>512时，有x1+x2=−18k1+3k2,20.(1)由题意可得f′(x)=ex−e−x+2sinx，x∈R，

记u(x)=f′(x)，则u′(x)=ex+e−x+2cosx≥2+2cosx≥0，且等号不同时成立，

∴f′(x)在R上单调递增，且f′(0)=0，

∴x<0时，f′(x)<0；x>0时，f′(x)>0，

∴f(x)的单调递减区间是(−∞,0)，单调递增区间是(0,+∞)；

(2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增，则f′(x)=ex−e−x−ksinx≥0=f′(0)恒成立，

设ℎ(x)=f′(x)，则ℎ′(x)=ex+e−x−kcosx，

当k>2时