2024高考数学二轮专题复习备考训练13直线圆椭圆-小题备考含解析

PAGE备考训练13直线、圆、椭圆——小题备考一、单项选择题1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．[2024·山东莱芜一中模拟]由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．33．[2024·山东青岛二中模拟]已知直线l：x－eq\r(3)y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，则实数a的值等于()A．2或10B．4或8C．6±2eq\r(2)D．6±2eq\r(3)4．已知⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a>0)相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线相互垂直，且|AB|＝4，则⊙O1的方程为()A．(x－4)2＋y2＝20B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20D．(x－5)2＋y2＝505．[2024·山东烟台诊断测试]已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为()A．2－eq\f(\r(2),2)B．2±eq\f(\r(2),2)C．3－eq\f(\r(2),2)D．3±eq\f(\r(2),2)6．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝17．[2024·山东济宁模拟]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若eq\f(|AP|,|PB|)＝3，则椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)8．[2024·山东泰安一中模拟]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)二、多项选择题9．实数x，y满意x2＋y2＋2x＝0，则下列关于eq\f(y,x－1)的推断正确的是()A.eq\f(y,x－1)的最大值为eq\r(3)B.eq\f(y,x－1)的最小值为－eq\r(3)C.eq\f(y,x－1)的最大值为eq\f(\r(3),3)D.eq\f(y,x－1)的最小值为－eq\f(\r(3),3)10．[2024·山东德州质量检测]已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上肯定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()A．(0，eq\r(2))B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0)D．(eq\r(2)－1,1)11．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq\f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是()A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交12．[2024·山东潍坊模拟]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4cx(c2＝a2－b2，c>0)与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝eq\f(4,5)，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(3－\r(2),2)C.eq\f(4－\r(7),9)D.eq\f(4＋\r(7),9)三、填空题13．[2024·山东烟台一中模拟]已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．14．若直线3x＋4y＋12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为________________．15．若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．16．[2024·山东淄博试验中学模拟]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(F2C,\s\up6(→))，则椭圆的离心率为________．备考训练13直线、圆、椭圆——小题备考1．解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满意ab＝4，但是两直线重合，故选C.答案：C2．解析：切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圆的半径为1，故切线长的最小值为eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).答案：C3．解析：由∠MPN＝eq\f(π,3)可得∠MCN＝2∠MPN＝eq\f(2π,3).在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝eq\f(π,6)，可得点C(3，－eq\r(3))到直线MN，即直线l：x－eq\r(3)y－a＝0的距离为2sineq\f(π,6)＝1.所以eq\f(|3－\r(3)×－\r(3)－a|,\r(1＋3))＝1，解得a＝4或8.故选B.答案：B4．解析：依题意，得O(0,0)，⊙O半径为R＝eq\r(5)，O1(a,0)，⊙O1半径为r.两圆在A点处的切线相互垂直，则两切线必过两圆的圆心，如图，OA⊥O1A，OO1⊥OC＝eq\r(OA2－AC2)＝1，所以由直角三角形射影定理得OA2＝OC·OO1，即5＝1×OO1，所以OO1＝5，即eq\r(a－02＋0－02)＝5，得a＝5，所以O1C＝4，r＝AO1＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，所以，圆O1的方程为(x－5)2＋y2＝20，故选C.答案：C5．解析：圆M的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，过M(3，－4)且与直线y＝x＋2垂直的直线方程为y＝－x－1，代入(x－3)2＋(y＋4)2＝1，得x＝3±eq\f(\r(2),2)，故当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为3－eq\f(\r(2),2)，故选C.答案：C6．解析：由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.故选D.答案：D7．解析：因为BF⊥x轴，所以OP∥BF，因为|AP|:|PB|＝3:1，所以eq\f(|AO|,|OF|)＝eq\f(|AP|,|PB|)＝3，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).则椭圆的离心率e＝eq\f(1,3).故选D.答案：D8．解析：因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2因为|OB|＝b，|OF2|＝c，所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，所以该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故选D.答案：D9．解析：由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，eq\f(y,x－1)表示圆上的点(x，y)与点(1,0)连线的斜率，易知，eq\f(y,x－1)最大值为eq\f(\r(3),3)，最小值为－eq\f(\r(3),3)，故选C、D.答案：CD10．解析：如图所示：原点到直线l的距离为d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，设A(t，eq\r(2)－t)．由两点间的距离公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故选AC.答案：AC11．解析：对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq\r(a2＋b2)，直线P1P2与直线l平行，正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P未必与l垂直，错误；对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误，故选BCD.答案：BCD12.解析：作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以cos∠PF1F2＝cos∠EPF1＝eq\f(|PE|,|PF1|)＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(4,5)，设|PF1|＝5t(t>0)，则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2，整理得|F1F2|2－8t|F1F2|＋9t2＝0，解得|F1F2|＝(4＋eq\r(7))t或|F1F2|＝(4－eq\r(7))t.当|F1F2|＝(4＋eq\r(7))t时，离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4＋\r(7),9)；当|F1F2|＝(4－eq\r(7))t时，离心率为e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4－\r(7),9).综上所述，椭圆C的离心率为eq\f(4－\r(7),9)或eq\f(4＋\r(7),9).答案：CD13．解析：因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为eq\r(0－12＋－1－02)＝eq\r(2)，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2eq\r(9－\r(2)2)＝2eq\r(7).答案：0或22eq\r(7)14．解析：设内切圆的半径为r，结合面积公式eq\f(1,2)·OA·r＋eq\f(1,2)·OB·r＋eq\f(1,2)·AB·r＝eq\f(1,2)×3×4，则r＝1.因而圆心坐标为(－1，－1)，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝115．解析：由题意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF