2025届高考数学统考二轮复习增分强化练二十六概率离散型随机变量及其分布理含解析

PAGE增分强化练(二十六)一、选择题1．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机安排为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,6)解析：所发红包的总金额为10元，被随机安排为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的状况有：(2.49,2.19)，(2.49,3.37)，(1.32,3.37)，(2.19,3.37)，(0.63,3.37)共有5种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故选B.答案：B2．(2024·东三省三校模拟)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量听从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在(10,10.2)kg的袋数，则X的数学期望约为()附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6872，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．171 B．239C．341 D．477解析：设每袋面粉的质量为Zkg，则由题意得Z～N(10,0.12)，∴P(10<Z≤10.2)＝eq\f(1,2)P(9.8<Z≤10.2)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.47725.由题意得X～B(500,0.47725)，∴E(X)＝500×0.47725＝238.625≈239.故选B.答案：B3．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现保藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树牢固累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴致勃勃之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想依据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要仿照该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人仿照一个动作．若他们采纳抽签的方式来确定谁仿照哪个动作，则甲不仿照“爬”且乙不仿照“扶”的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,12)解析：依题意，基本领件的总数为Aeq\o\al(4,4)＝24，设事务A表示甲不仿照“爬”且乙不仿照“扶”，①若甲仿照“扶”，则A包含1×Aeq\o\al(3,3)＝6个基本领件；②若甲仿照“捡”或“顶”则A包含2×2×Aeq\o\al(2,2)＝8个基本领件，综上A包含6＋8＝14个基本领件，所以P(A)＝eq\f(14,24)＝eq\f(7,12)，故选B.答案：B4.(2024·安阳模拟)如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为()A.eq\f(3\r(3),8π＋3\r(3)) B.eq\f(\r(3),4π－\r(3))C.eq\f(3\r(3),8π) D.eq\f(3\r(3),4π)解析：设BD＝2，由已知可得△ABD，△BCD为全等的等边三角形，所以S四边形ABCD＝2×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，整个图形可以看作由位于直线AC左右两侧的两个弓形组成，其面积S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×\f(2π,3)－\f(1,2)×4×sin\f(2π,3)))))＝eq\f(16,3)π＋2eq\r(3)，所以所求的概率为eq\f(2\r(3),\f(16π,3)＋2\r(3))＝eq\f(3\r(3),8π＋3\r(3))，故选A.答案：A二、填空题5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析：由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.966．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2024·南宁模拟)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为________．解析：5个格子用0与1两个数字随机填入共有25＝32种不同方法，从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本领件有：①全是1，有1种方法；②第一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个0，有5种方法，所以共有1＋4＋5＝10种基本方法，那么概率P＝eq\f(10,32)＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)三、解答题8．2024年诺贝尔奖接连揭晓，北京时间10月2日17：30首先公布了生理学和医学奖，获奖者分别是三位美国科学家霍尔(JeffreyC．Hall)、罗斯巴什(MichaelRosbash)和杨(MichaelW.Young)，以表彰他们“发觉限制生理节律的分子机制”，通过他们的探讨成果发觉，人类每天睡眠时间在7—9小时为最佳状态，从某高校随机选择了100名学生(男生、女生各50名)做睡眠时间统计调查，调查结果如下：睡眠时间(小时)[4,5](5,6](6,7](7,8](8,9](9,10](10,11]男生561212852女生0261812102请依据上面表格回答下面问题：(1)请分别估计出该校男生和女生的睡眠平均时间(以表格中的频率代替总体的概率)；(2)若从全校(人数较多，且男女人数相当)睡眠最佳状态的人群中随机选出20人进行深度睡眠时间测试，记选出的女生人数为ξ，求ξ的期望．解析：(1)男生的平均睡眠时间T1＝4.5×eq\f(5,50)＋5.5×eq\f(6,50)＋6.5×eq\f(12,50)＋7.5×eq\f(12,50)＋8.5×eq\f(8,50)＋9.5×eq\f(5,50)＋10.5×eq\f(2,50)＝7.2；女生的平均睡眠时间T2＝4.5×eq\f(0,50)＋5.5×eq\f(2,50)＋6.5×eq\f(6,50)＋7.5×eq\f(18,50)＋8.5×eq\f(12,50)＋9.5×eq\f(10,50)＋10.5×eq\f(2,50)＝8.06.(2)依据表格可以估计出全校的睡眠最佳状态的学生中女生占的比例为eq\f(3,5)，依据二项分布知，ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(3,5)))，因此E(ξ)＝20×eq\f(3,5)＝12.9．(2024·恩施质检)某校的1000名高三学生参与四门学科的选拔考试，每门试卷共有10道题，每题10分，规定：每门错x(0≤x≤1)题成果记为A，错x(2≤x≤4)题成果记为B，错x(5≤x≤7)题成果记为C，错x(8≤x≤10)题成果记为D，在录用时，A记为90分，B记为80分，C记为60分，D记为50分．依据模拟成果，每一门都有如下统计表：答错题数012345678910频数109010015015020010010050491已知选拔性考试成果与模拟成果基本吻合．(1)设ξ为高三学生一门学科的得分，求ξ的分布列和数学期望；(2)预料考生4门总分为320的概率．解析：(1)由已知得，ξ的分布列为：ξ50608090Peq\f(1,10)eq\f(2,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)E(ξ)＝90×eq\f(1,10)＋80×eq\f(2,5)＋60×eq\f(2,5)＋50×eq\f(1,10)＝70(分)．(2)考生得90分的概率为eq\f(1,10)，考生得80分的概率为eq\f(2,5)，考生得60分的概率为eq\f(2,5)，考生得50分的概率为eq\f(1,10)，因为320＝3×90＋50＝2×90＋80＋60＝4×80，所以预料考生4门总分为320概率为Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3×eq\f(1,10)＋Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(113,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))4＝eq\f(113,2500).10．(2024·株洲模拟)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4)的定价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E(Y)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68,P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.解析：(1)由题意得eq\x\to(x)＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.