1322空间两条直线的位置关系（四大题型）

13.2.2空间两条直线的位置关系【题型归纳目录】题型一：基本事实4的应用题型二：等角定理的应用题型三：直线与直线的位置关系题型四：异面直线所成的角【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三、异面直线1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2、画法：3、两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．知识点四、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点【典型例题】题型一：基本事实4的应用【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．例1．（2023·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【解析】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．例2．（2023·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直线MN与直线EF平行．例3．（2023·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直线EF即为所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC.题型二：等角定理的应用【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．例4．（2023·高一单元测试）空间两个角和，若，，，则的大小是______．【答案】或【解析】空间两个角和，因为，且，则或.故答案为：或.例5．（2023春·全国·高一专题练习）已知，，，则_________.【答案】或【解析】利用等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故，,则有或,又,所以或，故答案为：或例6．（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体中，E，F，G分别是棱，及的中点，，则______【答案】【解析】依题意且，所以四边形为平行四边形，所以，同理可得，所以或与互补，显然与不互补，所以；故答案为：变式1．（2023春·全国·高一专题练习）空间两个角的两边分别平行，则这两个角_____．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理有：当角的两组对应边同时同向或同时反向时，两角相等；当角的两组对应边一组同向一组反向时，两角互补．故答案为：相等或互补．变式2．（2023·高一课时练习）若角和角的两边分别对应平行，则当时，____________．【答案】或【解析】当角和角方向相同时，；当角和角方向相反时，，即，解得．故答案为：或题型三：直线与直线的位置关系【方法技巧与总结】（判定两直线异面的常用方法）（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；（2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况．例7．（2023·全国·高一专题练习）若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是异面直线 D．一定相交【答案】B【解析】∵a⊥b，bc，∴a⊥c.故选：B.例8．（2023·高一单元测试）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（

）A．平行 B．异面C．相交 D．平行、相交或异面【答案】D【解析】如图，在长方体中，所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体中的，，.故a和c可以平行、相交或异面．故选：D例9．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的命题序号是（

）①平行于同一直线的两直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条．A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】对于①，由平行线的传递性可知①对；对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错；对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，，则，与假设矛盾，假设不成立，③对；对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示：所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线，故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错.故选：B.变式3．（2023·高一课时练习）把互相平行的两条直线称为“一对”，则正方体的十二条棱中，互相平行直线有（

）A．对 B．对 C．对 D．对【答案】C【解析】在正方体中，，则与、与、与、与、与、与平行，共对，同理，在、、、中，平行的棱有对，在、、、中，平行的棱有对，因此，在正方体的十二条棱中，互相平行直线有对，故选：C.变式4．（2023·高一单元测试）正方体中，与对角线成异面直线的棱有（

）A．3条 B．4条 C．6条 D．8条【答案】C【解析】由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共条.故选：C变式5．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在长方体中，，当是与的交点时，平面，与相交，A不是；当点与重合时，平面，与相交，B不是；当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是；因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是.故选：D题型四：异面直线所成的角【方法技巧与总结】（两异面直线所成角的常用方法）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．例10．（2023春·全国·高一专题练习）如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=A1A=2,M､N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解:由题知找中点及靠近点的四等分点为,连接,如图所示:是中点,且,四边形为平行四边形,,是中点,,AM与CN所成角即为夹角,因为正三棱柱ABCA1B1C1,AB=A1A=2,,在中由余弦定理可得:,故直线AM与CN所成角的余弦值等于.故选:D例11．（2023·高一课前预习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接、、、，如下图所示：因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角，由勾股定理可得，，，，则，所以，，因为，故.因此，异面直线与所成角的大小是.故选：B.例12．（2023·高一单元测试）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】连接，，如图，因为正方体中，所以就是与所成的角，在中，.∴.故选：C变式6．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】作交于，如图，连接，则，又，所以，所以，所以是与所成的角或其补角，，，所以，，，所以，中，，是三角形内角，所以，所以与所成的角是，故选：C．变式7．（2023·高一课时练习）在棱长为1的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接交于，取中点为，连接，由正方体可知，，又交于，为中点，所以，即，所以四边形为平行四边形，所以则直线与所成角为或其补角，在中，，所以,则直线与所成角的余弦值是.故选：B.变式8．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中点F，连接，，，则因为点E，F分别为，的中点，所以，所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，故选：C【同步练习】一、单选题1．（2023春·河南·高一校联考期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与直线平行的直线是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体的平面展开图所对应的几何体，如图所示，其中点E，F重合，观察图形知，直线平面，点平面，，点平面，则与是异面直线，同理与是异面直线，A，D不是；而，平面，平面，则与是异面直线，B不是；，即四边形是平行四边形，，C是.故选：C2．（2023·高一单元测试）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点的中点，则，∴为与所成角，由题可知直三棱柱为正棱柱,设，则，在中，可得,∴与所成角的余弦值为．故选：A．3．（2023·高一课时练习）正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（

）A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面【答案】A【解析】如图，正方体的对角线，与其不共端点的面对角线，连接，则，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，且两直线异面，同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面，综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直.故选：A4．（2023·高一课时练习）已知a与b相交，且b与c是异面直线，那么a与c的位置关系是（

）A．异面 B．相交 C．平行 D．都有可能【答案】D【解析】如图所示：令，当时，a与c的位置关系是异面；当时，a与c的位置关系是相交；当时，a与c的位置关系是平行，故选：D5．（2023·高一课时练习）如图，在三棱柱中，是正三角形，E是的中点，则下列叙述中正确的是（

）A．与是异面直线 B．与共面C．与是异面直线 D．与所成的角为【答案】C【解析】对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误对于B，由于在平面内，而与平面相交于点，点不在上，故与是异面直线，同理，与是异面直线，所以B错误，C正确.对于D，与所成角就是与所成角，且E是的中点，也为正三角形，所以，即与所成的角为，故错误.故选:C.6．（2023·高一课时练习）若，且与的方向相同，则与（

）A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反C．一定不平行 D．不一定平行【答案】D【解析】如图，若，且与的方向相同，与不一定平行．故选：D．7．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接、、、，如下图所示：因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角，由勾股定理可得，，，，则，所以，，因为，故.因此，异面直线与所成角的大小是.故选：B.8．（2023·高一课时练习）在正方体上有一只蚂蚁，从点出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁走的第条棱与第条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在（

）A．点处 B．点处 C．点处 D．点处【答案】B【解析】不妨设蚂蚁从点先沿走，如图，结合正方体的性质知与直线异面的直线有，，，，共4条，由题意可知蚂蚁走过3条棱的路线是或，即蚂蚁走过第3条棱后的位置在点处，同理，蚂蚁从点先沿或走，走过第3条棱后的位置一定是在点处，以此类推，蚂蚁走过第6条棱后的位置一定在点处，如此走下去，每走过6条棱后都会回到起点，因为，所以这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在点处.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱柱的棱长均相等，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对A：∵，则AB与CF的夹角为，不一定是直角，A错误；对B：由题意：为菱形，则，B正确；对C：由题意：，则，C正确；对D：由题意：为菱形，则，即大小无法确定，D错误.故选：BC.10．（2023·高一课时练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（

）A．直线与直线共面 B．直线与直线异面C．直线与直线共面 D．直线与直线异面【答案】ACD【解析】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.11．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线AM与BN是平行直线B．直线BN与MB1是异面直线C．直线MN与AC所成的角为60°D．平面BMN截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【解析】对于A，假设直线与是平行直线，则四边形为平面图形，平面平面，且平面平面，平面平面，，则，与矛盾，故A错误；对于B，平面，平面，平面，由异面直线的定义可得，直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，可得，为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，连接，可知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，棱长为2，，，，等腰梯形的高为，，故D正确．故选：BCD．12．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（

）A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°【答案】AC【解析】选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，过点P与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；选项B.若存在一条直线与，都平行，则，矛盾，B不正确；C选项.因为，若则，若，则平面，显然满足条件的直线唯一，即，C正确；D选项.取，的中点E，F，连PE，PF，则，，若l与直线，所成角为45°，则l与PE，PF所成角为45°，显然的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.故选：AC三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是______．【答案】相交【解析】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，∴，即，同理可得：，故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.故答案为：相交.14．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，、分别是面和的中心，则和所成的角是______________．【答案】【解析】连接、，则点为的中点，如下图所示：易知点为的中点，又因为为的中点，所以，，所以，和所成的角为.故答案为：.15．（2023·高一单元测试）已知E、F、G、H分别为空间四边形四条边AB、BC、CD、DA的中点，若，则______．【答案】36【解析】因为E、F分别为空间四边形边AB、BC的中点，所以且，同理且，，所以且，所以四边形EFGH为平行四边形，又，由余弦定理得，，因为，所以，所以.故答案为：36.16．（2023春·全国·高一专题练习）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是_____________.【答案】【解析】，分别是，的中点，取的中点，连接，，则且，所以为平行四边形，,那么和所成角即为与所成角．设，，是直三棱柱，，，故答案为：．四、解答题17．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形和都是直角梯形，，，，，，，分别为，的中点.(1)证明：四边形是平行四边形.(2)，，，四点是否共面？为什么？【解析】（1）因为分别为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形；（2）四点共面.理由如下：由，，是中点知，，所以四边形为平行四边形，所以，由（1）知，所以，所以与共面，又，所以四点共面.18．（2023·高一课时练习）在长方体中，，求(1)与所成角的度数；(2)与所成角的度数．【解析】（1）因为，所以时与所成角（或补角），因为，所以与所成角是.（2）因