第07讲函数的极值（学生版）高二数学讲义（人教A2019选择性必修二第五章）

第07讲函数的极值目标导航目标导航课程标准课标解读1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．4.能根据极值点与极值的情况求参数范围.5.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.知识精讲知识精讲知识点1.函数的极值点和极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．2.函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．【即学即练1】关于函数的极值，下列说法正确的是（）A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数【即学即练2】设函数，则（）A．f（x）的极大值为 B．f（x）的极小值为C．f（x）的极大值为 D．f（x）的极小值为【即学即练3】函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－3【即学即练4】若函数在上无极值，则实数的取值范围（）A． B．C． D．【即学即练5】如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（）A．是函数的极小值点B．当或时，函数的值为0C．函数关于点对称D．函数在上是增函数【即学即练6】设函数，则的（）A．极小值点为，极大值点为 B．极小值点为，极大值点为C．极小值点为，极大值点为 D．极小值点为，极大值点为【即学即练7】（多选题）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值【即学即练8】（多选题）已知函数，则（）A．的极大值为 B．的极大值为C．曲线在处的切线方程为 D．曲线在处的切线方程为【即学即练9】函数的极小值为______．【即学即练10】函数的极值点是___________.【即学即练11】若函数在处有极小值，则实数_______________________．【即学即练12】若f(x)＝ex－kx的极小值为0，则k＝________．能力拓展能力拓展考法01求函数的极值点和极值【典例1】求下列函数的极值．（1）；（2）；（3）．【典例2】已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠eq\f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．【即学即练13】函数的极值点为______．【即学即练14】已知函数，则其极大值与极小值的和为__________．【即学即练15】已知函数，其导函数的图象如图所示，则()A．在上为减函数 B．在处取极小值C．在上为减函数 D．在处取极大值考法02利用函数的极值求参数：已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．【典例3】已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)【典例4】若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．【即学即练16】已知函数（）在上有极值点，则实数a的取值范围为______．【即学即练17】若函数在x=1处有极值，则f(x)的极大值为（）A． B． C．5 D．【即学即练18】若函数在区间内不存在极值点，则实数的取值范围是__________.考法03利用函数极值解决函数零点问题【典例5】函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．【即学即练19】若函数有两个极值点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【即学即练20】已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2.．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．3.下列函数中，是极值点的函数是（）A． B．C． D．4.已知函数在处取得极值0，则（）A．2 B．7 C．2或7 D．3或95.若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6.已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7.函数的极小值为（）A．0 B． C． D．不存在8.函数的极值点为（）A．0，1， B． C． D．，9.函数在上的极大值点为（）A． B． C． D．10.已知函数在时取得极值，则（）A．10 B．5 C．4 D．211.函数的极值点的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个12.若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（）A．(－∞，－) B．(－∞，－)∪(，＋∞)C．(－，) D．(，＋∞)13.若函数的一个极值点为，则的极大值为（）A． B． C． D．14.已知函数的图象与轴相切于点，则的（）．A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为负的C．极小值为，最大值为0D．极小值为0，极大值为15.若函数在处有极大值，则常数为（）A．2 B．6 C．2或6 D．2或6题组B能力提升练1.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2.若函数的极值为，则实数的值为（）A． B． C． D．3.（多选题）关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极大值 B．函数有且只有个零点C．在上单调递减 D．设，则4.（多选题）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A．在处取得极大值B．是的极小值点C．在上单调递减，在上单调递增D．是的极小值点5.（多选）已知函数，若过点（）可作曲线的三条切线，则m的值可以为（）A．4 B．5 C．6 D．76.（多选题）已知函数，（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则7.已知函数，当时，有极大值.写出符合上述要求的一个的值为_________.8.若函数的极小值为则整数___________.9.若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为____10.已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______．11.已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______．12.已知函数，下列命题中：①在其定义域内有且仅有个零点；②在其定义域内有且仅有个极值点；③，且，使得；④当时，函数的图像总在函数的图像的下方．其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）C培优拔尖练1.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．2.已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论的零点个数.3.已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）当时，关于的方程在上恰有一个实数根，求实数的取值范围．4.已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝eq\f(1,3)

f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取