23全称量词命题与存在量词命题（课堂培优）

2.3全称量词命题与存在量词命题一、单选题1．下列命题中，存在量词命题的个数是（）①实数的绝对值是非负数；②正方形的四条边相等；③存在整数n，使n能被11整除.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的概念，即可得答案.【解析】①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题；②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题；③是存在量词命题.故选：A2．将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（）A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【答案】D【分析】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案.【解析】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故选：D3．命题“∀a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是()A．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一B．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一C．∀a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在D．∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在【答案】D【分析】全称量词命题的否定，先否定量词，再否定“都有唯一”得解.【解析】选D.该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.故选：D4．全称量词命题““的否定是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可【解析】解：命题““的否定为“”，故选：B5．已知，；，.那么的取值范围分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】由全称量词和特称量词含义，可知与最大值与最小值的关系，由此得到结果.【解析】由，得：，即；由，得：，即.故选：C.6．已知，，.若为真命题且为真命题，则实数的取值范围是（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】分别求得命题为真命题，命题为真命题，求得的范围，结合命题和命题都为真，即可求解.【解析】由命题为真命题，可得，因为为真命题，即命题为真命题，则满足，解得或，因为命题和命题都为真，所以.故选：C.7．下列命题错误的是A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则均为假命题C．对于命题：，使得，则：，均有D．“”是“”的充分不必要条件【答案】B【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A；由复合命题的真值表即可判断B;由特称命题的否定是全称命题即可判断C；根据充分必要条件的定义即可判断D；．【解析】A．命题：“若p则q”的逆否命题为：“若￢q则￢p”，故A正确；B．若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故B错．C．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，即D正确故选B．【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．8．已知，函数，若m满足关于x的方程，当时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由知抛物线开口向上，是其对称轴，且M为函数的最小值，进而对选项进行判断.【解析】方程的解为.由当时的函数记为M知A、B为真命题；∵，∴函数在处取得最小值.∴M是函数的最小值，因此D为真命题，C为假命题.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意命题与命题的否定真假性相反.二、多选题9．命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】求出命题为真的取值范围为，根据充分不必要条件，即可得出结果.【解析】，则，充分不必要条件为集合的真子集，所以B,C正确.故选：BC10．下列说法中正确的个数是（）A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B．命题“”是全称量词命题；C．命题“，”是存在量词命题．D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题；【答案】BC【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.【解析】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；B中命题“”是全称量词命题,故B正确；C中命题“,”是存在量词命题,故C正确；D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题.故选：BC11．（多选题）下列说法正确的有（）A．命题：，，则：，B．“，”是“”成立的充分条件C．命题：，，则：，D．“”是“”的必要条件【答案】ABD【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，可判定A、B，根据充分条件、必要条件的判定方法，可判定C、D，即可求解.【解析】由命题：，是全称量词命题，则：，，所以A正确；由时一定有，因此“”是“”成立的充分条件，所以B正确；由命题：，，为全称命题，可得：，，所以C错误；由不能推出，但时一定有成立，“”是“”的必要条件，所以D正确．故选：ABD12．对下列命题的否定说法正确是（）A．B．C．：如果，那么如果，那么D．，使【答案】ACD【分析】根据命题的否定的定义判断．【解析】解：，A正确；，B错误；如果，那么如果，那么，C正确；，使，D正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题考查命题的否定．掌握命题的否定的定义是解题关键．命题的否定只要否定命题的结论，但其中钱黍量词与存在量词需互换，否则易出错．三、填空题13．已知命题，则该命题是_____________（填“真命题”或“假命题”）.【答案】假命题【分析】取，即可得出答案.【解析】当时，，所以命题为假命题.故答案为：假命题.14．若“”是假命题，则实数a取值范围为____．【答案】【分析】根据题意可知，命题“，”是真命题，可得出，由此可求得实数的取值范围.【解析】由于命题“，”是假命题，则该命题的否定“，”是真命题，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.15．下列说法中，正确的序号为___________．①命题“”的否定是“”；②已知，则“”是“或”的充分不必要条件；③命题“若，则”的逆命题为真；④若为真命题，则与至少有一个为真命题；【答案】①②【分析】对于①，把特称命题否定为全称命题即可；对于②，由充分条件和必要条件的定义判断即可；对于③，取验证即可；对于④，由为真命题，得命题与命题至少有一个为真命题，由此可判断【解析】解：对于①，命题“”的否定是“”，所以①正确；对于②，因为，所以与不可能同时成立，即可得或，但或不能得到，比如，可得，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，题“若，则”的逆命题为“若，则”，当时，结论不成立，所以③错误；对于④，若为真命题，则命题与命题至少有一个为真命题，而当命题为真命题，命题为假命题时，与均为假命题，所以④错误，故答案为：①②16．给出下列结论：①若为真命题，则、均为真命题;②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;③若命题，，则，；④“”是“”的充分不必要条件.其中正确的结论有____.【答案】②③④【分析】根据复合命题的真假判定方法，可得①错误；根据四种命题的概念，可得②正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可得③正确；根据充分条件和必要条件的判定，可得④正确．【解析】对于①中，命题若为真命题，则至少有一个是真命题，所以不正确；对于②中，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题是“若，则”是正确的；对③中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为“，”是正确的；对于④中，不等式的解集为或，所以“”是“”的充分不必要条件是正确的，故正确的结论有②③④．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记复合命题的真假判定方法，四种命题的概念，全称命题与存在性命题的关系，以及充要条件的判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．四、解答题17．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+xm=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.（3）按全称命题改写，再判断命题真假.（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.【解析】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+xm=0必有实根.当m=1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.18．选择合适的量词、，加在的前面，使其成为一个真命题：（1）；（2）；（3）是偶数；（4）若x是无理数，则是无理数；（5）这是含有三个变量的语句，用表示【答案】答案见解析.【分析】根据勾股定理等知识，用全称量词和存在量词改写命题，使其成为真命题即可.【解析】（1），.（2），；，都是真命题.（3），x是偶数；（4），若x是无理数，则是无理数；例如.（5），b，，有.【点睛】本题主要考查了用全称量词和存在量词改写命题，属于中档题.19．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的什么条件？【答案】充要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．【解析】作图如图:由题意，则，当，可得，故“”；若“”能推出存在集合使得，，为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的充分必要的条件．【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．20．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0“，（1）写出命题q的否定；（2）若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）∀x∈R，使x2+2ax+2﹣a≠0；（2）(﹣∞，﹣2]∪{1}.【分析】（1）根据特称命题的否定是全称命题即可写出；（2）求出命题p，q对应的a的取值范围，由“p且q”是真命题得p真q真，即可求出的范围.【解析】（1）∵特称命题的否定是全称命题，∴命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”的否定是：∀x∈R，x2+2ax+2﹣a≠0.（2）命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，即对∀x∈[1，2]恒成立，∴a≤1；命题q：“∃x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”，∴＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2，若命题“p且q”是真命题，则p真q真，则a≤﹣2或a＝1.实数a的取值范围(﹣∞，﹣2]∪{1}.21．已知命题p：关于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有两个大于1的实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）命题q：3－a<m<3＋a，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）m>2；（2）存在a≤1.【分析】（1）求出两个根x＝m＋1或x＝2m－3，满足m＋1>1且2m－3>1即可求出；（2）设集合A＝，集合B＝，由题可得BA，讨论B＝和B≠两种情况可求出.【解析】（1）由x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0得[x－(m＋1)][x－(2m－3)]＝0，所以x＝m＋1或x＝2m－3，因为命题p为真命题，所以m＋1>1且2m－3>1，得m>2．（2）设集合A＝，集合B＝，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，当B＝时，，解得a≤0；当B≠时，解得．综上所述：存在a≤1，满足条件．【点睛】结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．22．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.（1）求实数m的取值集合；（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先令求出方程有两个不相等的实数根”是真命题时的范围，再求补集即可；（