专题13解直角三角形（能力提升）-2022-2023学年九年级数学下册《考点解读专题训练》（北师大版）

专题1.3解直角三角形（能力提升）一、选择题。1．（2022春•上虞区期末）已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）A． B． C． D．62．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（）A． B． C． D．3．（2022•宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．4．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanα B．a•cotα C． D．5．（2022秋•靖江市期中）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（）A． B．2 C． D．6．（2022秋•二道区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点C在射线OB上．若OC＝3，则点C到OA的距离等于（）A．3 B．3 C．3 D．67．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．8．（2022•长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，则衣架的宽BC为（）A．36sinαcm B．36cosαcm C．18tanαcm D．cm9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（）A．+1 B．2 C． D．﹣二、填空题。11．（2022•仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝．12．（2022•百色一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，则sinC＝．13．（2022•碑林区校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为．14．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的长是．15．（2022秋•青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为．16．（2022秋•新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．17．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝．18．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，点D为AB上一点，连接CD，过A作AE⊥CD于E，AE＝，连接BE，若S△BCE＝18，则BD的长为．三、解答题。19．（2022春•东城区期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．20．（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．21．（2022秋•张店区校级月考）（1）求tan260°+4sin30°cos45°的值．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．22．（2022秋•张店区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和tan∠ADC的值．23．（2021秋•包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的长．24．（2022秋•西岗区校级月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．25．（2022秋•工业园区校级月考）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角，如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则求∠A的正切值．26．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．专题1.3解直角三角形（能力提升）一、选择题。1．（2022春•上虞区期末）已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）A． B． C． D．6【答案】B。【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴AB＝2AE，AE＝ED，∵BC＝6，AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3，设AE＝DE＝x，则AB＝2x，∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根据勾股定理得，（2x）2＝x2+（x+3）2，∴2x2﹣6x＝9，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，AC2＝x2+（x﹣3）2，∴AC2＝2x2﹣6x+9，∴AC2＝18，∴AC＝3（负值舍去）．故选：B．2．（2022•惠城区校级二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（）A． B． C． D．【答案】B。【解答】解：连接AD，如图，∵AB＝AC＝6，BD＝CD＝＝4，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∵ED⊥AB，∴AB•ED＝BD•AD，∴ED＝＝＝，在Rt△BED中，cos∠BDE＝＝＝．故选：B．3．（2022•宣州区二模）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【答案】C。【解答】解：∵小正方形的边长均为1，∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故选：C．4．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanα B．a•cotα C． D．【答案】D。【解答】解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．5．（2022秋•靖江市期中）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA的值为（）A． B．2 C． D．【答案】C。【解答】解：△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，因此可将△ABC向右平移正方形边长的一半得到△A′B′C′，如图所示，则点A′、B′、C′在格点上，过点C′作C′D⊥AB，垂足为D，则A′D＝3，C′D＝4，∴A′C′＝＝5，∴sinA＝sinA′＝＝，故选：C．6．（2022秋•二道区校级月考）如图，∠AOB＝45°，点C在射线OB上．若OC＝3，则点C到OA的距离等于（）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】A。【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA，垂足为D，在Rt△COD中，∠COD＝45°，OC＝3，∴CD＝OC＝3，即点C到OA的距离为3，故选：A．7．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．【答案】B。【解答】解：如图，延长BD交AC于点E．∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．在△DCE和△DCB中，，∴△DCE≌△DCB（SAS）．∴BD＝ED＝1．∵∠ABD＝∠A，∴AE＝BE＝2．∵AC＝7，∴CE＝AC﹣AE＝5．∴CD＝＝＝2．∴tan∠CBD＝＝＝2．故选：B．8．（2022•长春模拟）如图是小夏同学家的衣架示意图．已知AB＝AC＝18cm，∠B＝α，则衣架的宽BC为（）A．36sinαcm B．36cosαcm C．18tanαcm D．cm【答案】B。【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD．∵AD⊥BC，∴BD＝ABcosα．∴BC＝2BD＝2ABcosα＝36cosα（cm）．故选：B．9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．【答案】A。【解答】解：连接OD，∵AD⊥BC，O是AB中点，∴OD＝AB＝1，∴OD＝OA＝OE＝OD，∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，∴∠ABC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠ABD＝，故选：A．10．（2022•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（）A．+1 B．2 C． D．﹣【答案】B。【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，在Rt△ABD中，BD＝AD＝AB•sinB＝×＝，在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°，CD＝AD•tan30°＝×＝1，∴BC＝+1，在Rt△BEF中，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°，CF＝EF•tan60°＝x，由CF+BF＝BC得，，∴x＝1，∴EC＝2EF＝2，故答案为：B．二、填空题。11．（2022•仓山区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝．【答案】。【解答】解：设小正方形的边长是a，∵tan∠PAB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠PAB+tan∠PBA＝+＝．12．（2022•百色一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝14，AD＝12，BD＝AD，则sinC＝．【答案】。【解答】解：∵AD＝12，∴BD＝AD＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，在Rt△ACD中，AC＝＝，∴sinC＝＝．13．（2022•碑林区校级三模）如图，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，过点A作直线l（l不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为4．【答案】4。【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，取BC的中点F，取DE的中点G，连接AF，连接FG，∴FG是梯形BCED的中位线，∴FG∥BD∥CE，BD+CE＝2FG，∵BD⊥DE，∴FG⊥DE，∴∠AGF＝90°，∴FG≤AF，∵∠AHB＝∠AHC＝90°，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝AB＝6，∵tan∠ACB＝＝3，∴CH＝＝2，∴CH＝2，∴BC＝BH+CH＝8，∴CF＝BF＝，∴FH＝CF﹣CH＝2，∴AF＝＝＝2，∴当点G和A点重合时，FG最大＝AF＝2，∴BD+CE的最大值为：4，故答案为：4．14．（2022秋•上海期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，那么BC的长是5．【答案】5。【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝5．故答案为：5．15．（2022秋•青州市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（﹣，）．【答案】（﹣，）。【解答】解：作CD⊥AO于D，∵OC2＝BC•AC，∴OC：BC＝AC：OC，∵∠BCO＝∠OCA，∴△COB∽△CAO，∴∠COB＝∠OAB，∵∠COB+∠α＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠α，∴tan∠ABO＝tanα＝3，∴tan∠ABO＝＝3，∵OB2+AO2＝AB2，∴OB2+（3OB）2＝40，∴OB＝2，OA＝6，∵tanα＝＝3，∴CD＝3DO，∵OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴AO：AD＝OB：CD，∴6：（6+OD）＝2：（3OD），∴OD＝，∴CD＝3OD＝，∴点C坐标为：（﹣，），故答案为：（﹣，）．16．（2022秋•新泰市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．【答案】。【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．17．（2022秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝10．【答案】10。【解答】解：∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案为：10．18．（2022秋•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，点D为AB上一点，连接CD，过A作AE⊥CD于E，AE＝，连接BE，若S△BCE＝18，则BD的长为3．【答案】3。【解答】解：作BF⊥CD交CD延长线于F，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠BCF+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵∠AEC＝∠F＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝＝，∵tan∠ABC＝＝，∴＝＝，∴CF＝2AE＝8，令CE＝x，则BF＝2x，∵S△BCE＝CE•BF＝18，∴x2＝18，x＝3，∴CE＝3，BF＝6，∵AE∥BF，∴＝＝＝，∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝8﹣3＝5，∴DF＝3，∵BD2＝BF2+DF2，∴DB2＝+，∴BD＝3．故答案为：3．三、解答题。19．（2022春•东城区期中）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝＝＝5，cosB＝＝，∴＝，∴BD＝5；在Rt△ADC中，∵AD＝5，AC＝14，∴DC＝＝＝12，∴BC＝BD+CD＝5．20．（2021秋•淮阴区期末）在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sinB，cosB．【解答】解：作AD⊥BC与D，∵AB＝AC＝13，D是BC的中点，即BD＝5，∴AD＝＝12，∴sinB＝＝，cosB＝＝．21．（2022秋•张店区校级月考）（1）求tan260°+4sin30°cos45°的值．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．【解答】解：（1）tan260°+4sin30°cos45°＝（）2+4××＝3+；（2）在Rt△ABC中，∵c＝4，a＝2，∴b＝＝＝＝2．∵sinB＝＝，sin30°＝，∴∠B＝30°．∴∠A＝90°﹣∠B＝60°．22．（2022秋•张店区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD．求AC的长和tan∠ADC的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，∴＝tanB＝＝，解得：AC＝4；（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴CD＝3，则tan∠ADC＝＝．23．（2021秋•包河区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的长．【解答】解：如图，延长AD与BC交于点E．在直角△ABE中，tanA＝＝，AB＝6，∴BE＝8，∴AE＝＝10，EC＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．在△ABE与△CDE中，∠B＝∠CDE＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A．∴tan∠DCE＝tanA＝＝，∴设DE＝4x，则CD＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+CD2，∴42＝（4x）2+（3x）2，解得：x＝（负值舍去），∴DE＝，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣＝．即AD的长为．24．（2022秋•西岗区校级月考）△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．∵∠B＝45°，∠