江西省吉安市七校联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）

第页吉安市七校联谊考试九年级数学试卷（2024年11月）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1.菱形具有矩形不一定具有的性质是（）A.对边相等 B.对边平行C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形和矩形的性质；根据菱形和矩形的性质，容易得出结论．【详解】解：菱形的性质有：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分；矩形的性质有：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；根据菱形和矩形的性质得出：菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直；故选：D．2.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意．故选：D．3.如图，直线，且直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，．若，，求的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由题意知，，即，可求，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，即，解得，，∴，故选：B．4.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有（）个．A.8 B.9 C.14 D.15【答案】C【解析】【分析】本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球．根据摸到白球频率约为，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可．【详解】解：∵摸到白球的频率约为，∴不透明的袋子中一共有球为：（个），∴黑球有（个），故选：C．5.如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解．【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示，∵E关于的对称点为，∴，，∵正方形的边长为2，点为边的中点，∴，，∴，∴，∵周长，又∵，∴周长，∴周长最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．6.如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为（）A.①②④⑤ B.②③④⑤ C.①②⑤ D.②④⑤【答案】A【解析】【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为；③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于；【详解】解：①如图，延长交于，连，延长交于∵，四边形是正方形，∴，，即，∴，∴，∴，在中，，故①符合题意；②∵，∴四边形为矩形，∴四边形的周长，故②符合题意；③∵点是正方形的对角线上任意一点，，∴当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故③不符合题意；④∵四边形为矩形，∴，由正方形为轴对称图形，∴，∴，故④符合题意；⑤由，∴当最小时，最小，则当时，即时，的最小值等于故⑤符合题意；综上，符合题意的有：①②④⑤，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用等知识，掌握相关知识是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7.矩形的两条对角线的夹角为，对角线长为，则较短的边长为________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出对应图形，∠AOD=∠BOC=60°，则∠COD=120°＞∠AOD=60°，AD是该矩形较短一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有OA=OD=OC=OB=6，又因为∠AOD=∠BOC=60°，所以AD=OA=0D=6．【详解】如下图所示：矩形ABCD，对角线AC=BD=12，∠AOD=∠BOC=60°

∵四边形ABCD是矩形

∴OA=OD=OC=OB=×12=6（矩形对角线互相平分且相等）

又∵∠AOD=∠BOC=60°，

∴OA=OD=AD=6，

∵∠COD=120°＞∠AOD=60°

∴AD＜DC

所以该矩形较短的一边长为6，

故答案是：6．【点睛】考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所的角中“大角对大边，小角对小边”．8.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，则道路宽为________．【答案】【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，列出方程求解即可得．【详解】设道路的宽为xm，根据题意得（32-2x）（20-x）=570，解得：x1=1，x2=35（不合题意，舍去），即道路宽为1m．故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．9.盒中有1枚白色棋子和2枚黑色棋子，这三枚棋子除颜色外无其他差别，从中随机摸出两枚棋子，那么摸出两枚棋子的颜色不同的概率是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求概率，正确的画出树状图是解答关键．根据画的树状图，可知所有等可能的情况有种，其中摸出两枚棋子的颜色不同的情况有种，由概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画树状图：

由图可得所有等可能的情况有种，其中摸出两枚棋子的颜色不同的情况有种，所以摸出两枚棋子的颜色不同的概率．故答案为：．10.小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形的边长为8，则图2中的值是_____．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出②④⑥⑦的高．根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解．【详解】解：∵正方形的边长为8，∴②的斜边上的高是，④的高是，⑥的斜边上的高是，⑦的斜边上的高是，∴图2中h的值为．故答案为：．11.已知，是一元二次方程的两根，则______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若是一元二次方程的两根，，．12.如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________．【答案】3或或【解析】【分析】根据矩形的性质可得，，，，当时，分情况讨论：①当点P在边上，②点P在的中点，③点P在边上，分别求解即可．【详解】解：在矩形中，，，，∵，，根据勾股定理，得，当时，分情况讨论：①当点P在边上，如图所示：在图1中，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，则；②点P在的中点，如图所示：在图2中，，③点P在边上，如图所示：在图3中，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，则；在中，根据勾股定理，得；综上所述：当，则的长为3或或，故答案为：3或或．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13.解方程：（1）（2x﹣1）2＝9（2）x2﹣4x﹣12＝0【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据分解因式法求解．【小问1详解】∵（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，解得：，；【小问2详解】x2﹣4x﹣12＝0原方程可变形为，∴x－6=0或x+2=0，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．14.九年级某班四个阅读小组准备研读四部四大名著著作，现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》，将这4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一名代表从中依次抽取一张卡片(不放回)（四部书分别用A，B，C，D代替）（1）第一小组抽到《水浒传》的概率是；（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的概率．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：∵共有4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，∴第一学习小组抽到《水浒传》的概率是，故答案为：；【小问2详解】由题意得，分别记《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》为A、B、C、D，画树状图得：一共有12种等可能性结果，其中甲、乙两人抽取的两张卡片正面写的是《红楼梦》和《三国演义》的情况有两种，所以，，故答案为：．15.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点，均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出平行四边形，点和点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为12：（2）在图中画出以为腰的等腰直角，且点在小正方形的顶点上；【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）因为平行四边形的面积等于底×高，故作出底为3，高为4的平行四边形即可．（2）根据点在小正方形的顶点上以及等腰直角三角形的定义，即，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图应用与设计，等腰直角三角形的等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．小问1详解】解：如图，平行四边形即为所求作．【小问2详解】解：如图，即为所求作．16.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上点F处，过点F作，交AE于点G，连接DG．求证：四边形DEFG为菱形．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据折叠的性质，易知由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；【详解】证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴FG=FE,∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形.17.如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？【答案】楼高是10.5m【解析】【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．答：楼高是10.5m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18.已知关于的方程．（1）求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根；（2）当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，（1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可；（2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值．【小问1详解】证明：当时，方程为一元二次方程，，一元二次方程有两个实数根．当时，方程为，有实数根．综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根．【小问2详解】解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即．由根与系数关系得到：，又和为整数，且为正整数，∴，解之得：，经检验，此时符合题意．19.如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．

（1）求证：四边形为平行四边形；（2）过点D作于F，连接，若，，求的长．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据矩形的性质可得，进而可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形．（2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得，再根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半”即可求出的长．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∵E点在的延长线上，，又∵，∴四边形为平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，即点是中点，∵，，，，∵，，．20.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：．（2）若，求CG的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；（2）由AB＝AD＝6，E为AD的中点，得出AE＝DE＝3，由勾股定理得出BE＝＝3，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝15，即可得出结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；【小问2详解】解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，∴AE＝DE＝3．在Rt△ABE中，BE＝＝3，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴，即：，∴BG＝15，∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21.“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个.（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？【答案】（1）八，九两月销量的月平均增长率为20%.（2）该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据七月份、九月份销量列一元二次方程，即可求解；（2）设商品降价a元，用含a的代数式表示出十月份销量及单件利润，根据获利1800元列一元二次方程，即可求解．【小问1详解】解：设八，九两月销量的月平均增长率为，则：解得：，（不符合题意，舍去）答：八，九两月销量的月平均增长率为20%；【小问2详解】解：设该品牌头盔售价降低元，则：整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）（元）答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）y=；（3）见解析【解析】【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过点作于点，根据正方形的性质可得，，然后求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据