2025年新高考数学突破新定义压轴题综合讲义专题07 线性代数背景下的新定义（三大题型）（学生版）

专题07线性代数背景下的新定义【题型归纳目录】题型一：行列式背景题型二：矩阵背景题型三：向量组背景【典型例题】题型一：行列式背景【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·阶段练习)定义行列式运算：，若函数

(，)的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.(1)求函数的单调增区间；(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式(determinant)，记作，(1)求下列行列式的值：①；②；③；(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；(3)讨论关于x，y的二元一次方程组()有唯一解的条件，并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).【变式1-1】(2024·高二·全国·单元测试)我们用(，、、、)表示矩阵的第行第列元素.已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且，，.(1)求；(2)求关于，的关系式；(3)设行列式，求证：对任意、，、、时，都有.题型二：矩阵背景【典例2-1】(2024·广东·一模)数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为(其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号)，记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)，，矩阵，求使的的最小值.(2)，，，矩阵求.(3)矩阵，证明：，，.【典例2-2】(2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试)由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．(1)已知，若是生成的线性矩阵，且，求；(2)已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．(i)求；(ii)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．【变式2-1】(2024·高二·北京丰台·期末)已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．(1)若数表，，且是，的生成数表，求；(2)对，，数表，，与满足第i行第j列的数对应相同().是，的生成数表，且．(ⅰ)求，；(ⅱ)若恒成立，求的最小值．【变式2-2】(2024·高二·北京·学业考试)已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.①任意中有三个，一个3；②存在，使中恰有三个数相等.(1)判断数表是否由生成；(结论无需证明)(2)是否存在数表由生成？说明理由；(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.题型三：向量组背景【典例3-1】(2024·高一·上海·阶段练习)对于一组向量，，，…，，(且)，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．(1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；(2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；(3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与(且)关于点对称，求的最小值．【典例3-2】(2024·高一·上海奉贤·期末)对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量”(1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围；(2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明．【变式3-1】(2024·高三·上海宝山·期末)对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.(1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；(2)若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；(3)已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.【过关测试】1．(2024·高一·四川成都·期中)定义行列式运算：，若函数()的最小正周期是.(1)求函数的单调增区间；(2)数列的前项和，且，求证：数列的前项和.2．(2024·高二·上海宝山·阶段练习)已知数列和满足：，且成等比数列，成等差数列．(1)行列式，且，求证：数列是等差数列；(2)在(1)的条件下，若不是常数列，是等比数列，①求和的通项公式；②设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．3．(2024·高一·吉林延边·期中)已知定义在上的奇函数满足,且在上是增函数;又定义行列式;函数(其中)(1)证明:函数在上也是增函数；(2)若函数的最大值为，求的值；(3)若记集合恒有，恒有,求满足的的取值范围.4．(2024·湖北孝感·模拟预测)定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．(2)求数列的前n项和．5．(2024·高二·陕西西安·期中)有个正数，排成矩阵(行列的数表)：，表示位于第行，第列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知，，.(1)求公比.(2)用表示.(3)求的值.6．(2024·高二·江苏苏州·期中)设2阶方矩阵，则矩阵A所对应的矩阵变换为：，其中，，其意义是把点变换为点，矩阵M叫做变换矩阵.(1)当变换矩阵时，点，经矩阵变换后得到点分别是，，求经过，的直线的方程；(2)当变换矩阵，点经矩阵的作用变换后得到点，求实数m，n的值.7．(2024·上海·模拟预测)设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．(1)若矩阵，求；(2)对所有的矩阵，求的最大值；(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．8．(2024·高三·河南·期末)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点、分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点(1)①若，，求；②证明.(2)记的面积为，证明：.(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.9．(2024·高一·贵州·期末)如图一，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，请根据以下信息，处理问题(1)和(2).信息一：为坐标原点，，若将顺时针旋转得到向量，则，且；信息二：与的夹角记为，与的夹角记为，则；信息三：；信息四：，叫二阶行列式.(1)求证：，(外层“”表示取绝对值)；(2)如图二，已知三点，，，试用(1)中的结论求的面积.10．(2024·高二·上海浦东新·期中)对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”；(1)设，若是向量组，，的“向量”，求的范围；(2)若，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由.11．(2024·高一·山西大同·阶段练习)元向量()也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．(1)设，解决下面问题：①求；②设与的夹角为，求；(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．12．(2024·高一·辽宁抚顺·开学考试)在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都