高中物理-第09章-电磁感应-(单双棒问题)典型例题(含答案)【经典】

第九章电磁感应知识点七：单杆问题（与电阻结合）(水平单杆、斜面单杆（先电后力再能量））1、发电式（1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv（2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小（4）运动特点：加速度减小的加速运动（5）最终状态：匀速直线运动（6）两个极值①v=0时,有最大加速度：②a=0时,有最大速度：（7）能量关系（8）动量关系（9）变形：摩擦力；改变电路；改变磁场方向；改变轨道解题步骤：解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为：(1)找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向；(2)画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向；(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运动情况；(4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解．2、阻尼式（1）电路特点：导体棒相当于电源。（2）安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。（3）加速度特点：加速度随速度减小而减小（4）运动特点：加速度减小的减速运动（5）最终状态：静止（6）能量关系：动能转化为焦耳热（7）动量关系（8）变形：有摩擦力；磁场不与导轨垂直等1．(多选)如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．有一垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，宽度为L，ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始，将开关S断开，让ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象可能是()．答案ACD2、（单选）如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1Ω.一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2kg，接入电路的电阻为1Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8T．将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6)()．答案BA．2.5m/s1WB．5m/s1WC．7.5m/s9WD．15m/s9W3．(多选)如图所示，水平固定放置的足够长的U形金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒ab，开始时ab棒以水平初速度v0向右运动，最后静止在导轨上，就导轨光滑和导轨粗糙的两种情况相比较，这个过程()．答案ACA．安培力对ab棒所做的功不相等B．电流所做的功相等C．产生的总内能相等D．通过ab棒的电荷量相等4．(单选)如图，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中()．答案BA．运动的平均速度大小为eq\f(1,2)vB．下滑的位移大小为eq\f(qR,BL)C．产生的焦耳热为qBLvD．受到的最大安培力大小为eq\f(B2L2v,R)sinθ5．(多选)如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B.将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g.下列选项正确的是()．答案ACA．P＝2mgvsinθB．P＝3mgvsinθC．当导体棒速度达到eq\f(v,2)时加速度大小为eq\f(g,2)sinθD．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功6、（单选）如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab可沿导轨自由滑动，导轨一端连接一个定值电阻R，金属棒和导轨电阻不计．现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F恒定，经时间t1后速度为v，加速度为a1，最终以速度2v做匀速运动；若保持拉力的功率P恒定，棒由静止经时间t2后速度为v，加速度为a2，最终也以速度2v做匀速运动，则()．答案BA．t2＝t1 B．t1>t2C．a2＝2a1 D．a2＝57．(多选)如图所示，足够长的光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨所在平面，将ab棒在导轨上无初速度释放，当ab棒下滑到稳定状态时，速度为v，电阻R上消耗的功率为P.导轨和导体棒电阻不计．下列判断正确的是()．A．导体棒的a端比b端电势低答案BDB．ab棒在达到稳定状态前做加速度减小的加速运动C．若磁感应强度增大为原来的2倍，其他条件不变，则ab棒下滑到稳定状态时速度将变为原来的eq\f(1,2)D．若换成一根质量为原来2倍的导体棒，其他条件不变，则ab棒下滑到稳定状态时的功率将变为原来的4倍8．(单选)如图所示，足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，且都倾斜着与水平面成夹角θ.在导轨的最上端M、P之间接有电阻R，不计其他电阻．导体棒ab从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab上升的最大高度为H；若存在垂直导轨平面的匀强磁场时，ab上升的最大高度为h.在两次运动过程中ab都与导轨保持垂直，且初速度都相等．关于上述情景，下列说法正确的是()．A．两次上升的最大高度相比较为H<hB．有磁场时导体棒所受合力的功等于无磁场时合力的功C．有磁场时，电阻R产生的焦耳热为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)D．有磁场时，ab上升过程的最小加速度大于gsinθ答案B9．如图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m、电阻为r的金属杆ab垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B.对杆施加一个大小为F、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求(1)导轨对杆ab的阻力大小f；(2)杆ab中通过的电流及其方向；(3)导轨左端所接电阻的阻值R.答案(1)F－eq\f(mv2,2d)(2)eq\f(mv2,2Bld)a→b(3)eq\f(2B2l2d,mv)－r（1）杆进入磁场前做匀加速运动，有①②解得导轨对杆的阻力③（2）杆进入磁场后做匀速运动，有④杆ab所受的安培力⑤解得杆ab中通过的电流⑥杆中的电流方向自a流向b⑦（3）杆产生的感应电动势⑧杆中的感应电流⑨解得导轨左端所接电阻阻值⑩10．如图甲所示．一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l＝0.20m，电阻R＝1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现在一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图乙所示．求杆的质量m和加速度a.答案0.1kg10m/s2解:导体杆在轨道上做匀加速直线运动,用表示其速度,t表示时间,则有:①

杆切割磁力线,将产生感应电动势:②在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生电流③

杆受到的安培力的④根据牛顿第二定律,有⑤联立以上各式,得⑥

由图线上取两点代入⑥式,可计算得出:,

答:杆的质量为,其加速度为.11、如图所示，质量m1＝0.1kg，电阻R1＝0.3Ω，长度l＝0.4m的导体棒ab横放在U型金属框架上．框架质量m2＝0.2kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.相距0.4m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长．电阻R2＝0.1Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5T．垂直于ab施加F＝2N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM′、NN′保持良好接触．当ab运动到某处时，框架开始运动．设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.(1)求框架开始运动时ab速度v的大小；(2)从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q＝0.1J，求该过程ab位移x的大小．答案(1)6m/s(2)1.1m（1）ab对框架的压力

①框架受水平面的支持力

②依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力

③ab中的感应电动势

④MN中电流

⑤MN受到的安培力

⑥框架开始运动时

⑦由上述各式代入数据解得

⑧（2）闭合回路中产生的总热量

⑨由能量守恒定律，得

⑩代入数据解得

⑪12、如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得其在下滑过程中的最大速度为vm.改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示．已知轨道间距为L＝2m，重力加速度g取10m/s2，轨道足够长且电阻不计．(1)当R＝0时，求杆ab匀速下滑过程中产生的感应电动势E的大小及杆中电流的方向；(2)求杆ab的质量m和阻值r；(3)当R＝4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W.答案(1)2Vb→a(2)0.2kg2Ω(3)0.6J解:(1)由图可以知道,当

时,杆最终以匀速运动,产生电动势

由右手定则判断得知,杆中电流方向从

(2)设最大速度为v,杆切割磁感线产生的感应电动势

由闭合电路的欧姆定律:杆达到最大速度时满足

计算得出:

由图象可以知道:斜率为,纵截距为,得到:

计算得出:,

(3)根据题意:,得

,则

由动能定理得联立得代入计算得出

13．如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，两轨道间距为L＝1m．质量为m的金属杆ab垂直放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5T．P、M间接有阻值为R1的定值电阻，Q、N间接电阻箱R.现从静止释放ab，改变电阻箱的阻值R，测得最大速度为vm，得到eq\f(1,vm)与eq\f(1,R)的关系如图乙所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取10m/s2.求：(1)金属杆的质量m和定值电阻的阻值R1；(2)当电阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的加速度为eq\f(1,2)gsinθ时，此时金属杆ab运动的速度；(3)当电阻箱R取4Ω时，且金属杆ab运动的速度为eq\f(vm,2)时，定值电阻R1消耗的电功率．解析(1)总电阻为R总＝R1R/(R1＋R)，电路的总电流I＝BLv/R总当达到最大速度时金属棒受力平衡，有mgsinθ＝BIL＝eq\f(B2L2vm,R1R)(R1＋R)，eq\f(1,vm)＝eq\f(B2L2,mgRsinθ)＋eq\f(B2L2,mgR1sinθ)，根据图象代入数据，可以得到金属杆的质量m＝0.1kg，R1＝1Ω.(2)金属杆ab运动的加速度为eq\f(1,2)gsinθ时，I′＝BLv′/R总根据牛顿第二定律得mgsinθ－BI′L＝ma即mgsinθ－eq\f(B2L2v′,R1R)(R1＋R)＝eq\f(1,2)mgsinθ，代入数据，得到v′＝0.8m/s.(3)当电阻箱R取4Ω时，根据图象得到vm＝1.6m/s，则v＝eq\f(vm,2)＝0.8m/s，P＝eq\f(E2,R1)＝eq\f(B2L2v2,R1)＝0.16W.14．如图所示，竖直平面内有无限长，不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L＝0.5m，上方连接一个阻值R＝1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度B＝2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r＝0.5Ω.将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内)，金属杆2从磁场边界上方h0＝0.8m处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．(g取10m/s2)(1)求金属杆的质量m为多大？(2)若金属杆2从磁场边界上方h1＝0.2m处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开始做匀速运动．在此过程中整个回路产生了1.4J的电热，则此过程中流过电阻R的电荷量q为多少？解析(1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动，则vm＝eq\r(2gh0)＝4m/s金属杆2进入磁场后受两个力而处于平衡状态，即mg＝BIL，且E＝BLvm，I＝eq\f(E,2r＋R)解得m＝eq\f(B2L2vm,2r＋Rg)＝eq\f(22×0.52×4,2×0.5＋1×10)kg＝0.2kg.(2)金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中，设金属杆2在磁场内下降h2，由能量守恒定律得mg(h1＋h2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)＋Q解得h2＝eq\f(\f(1,2)mv\o\al(2,m)＋Q,mg)－h1＝eq\f(0.2×42＋2×1.4,2×0.2×10)m－0.2m＝1.3m金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，感应电动势和感应电流的平均值分别为E＝eq\f(BLh2,t2)，I＝eq\f(E,2r＋R)故流过电阻R的电荷量q＝It2联立解得q＝eq\f(BLh2,2r＋R)＝eq\f(2×0.5×1.3,2×0.5＋1)C＝0.65C.15．如图12(a)所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图(b)所示．t＝0时刻在轨道上端的金属棒ab从如图所示位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属棒cd在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t＝tx时刻(tx未知)ab棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g.求：(1)通过cd棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向；(2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率；(3)ab棒开始下滑的位置离EF的距离；(4)ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．解析(1)由楞次定律知通过cd棒的电流方向为d→c区域Ⅰ内磁场方向为垂直于纸面向上．(2)对cd棒：F安＝BIl＝mgsinθ，所以通过cd棒的电流大小I＝eq\f(mgsinθ,Bl)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率P＝I2R＝eq\f(m2g2Rsin2θ,B2l2).(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，加速度a＝gsinθcd棒始终静止不动，ab棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动，可得eq\f(ΔΦ,Δt)＝Blvt，即eq\f(B·2l·l,tx)＝Blgsinθtx，所以tx＝eq\r(\f(2l,gsinθ))ab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度vt＝eq\r(2glsinθ)则ab棒开始下滑的位置离EF的距离h＝eq\f(1,2)ateq\o\al(2,x)＋2l＝3l.(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间t2＝eq\f(2l,vt)＝eq\r(\f(2l,gsinθ))ab棒从开始下滑至EF的总时间t＝tx＋t2＝2eq\r(\f(2l,gsinθ))，E＝Blvt＝Bleq\r(2glsinθ)ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路产生的热量Q＝EIt＝4mglsinθ.16．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M´N´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m．轨道的MM´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N´P´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0=0.50m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN´重合．现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP´．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g=10m/s2，求：⑴导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；⑵导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；⑶导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．解:(1)设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为,根据动能定理则有:导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为:此时通过导体杆上的电流大小为:(或根据右手定则可以知道,电流方向为由b向a

(2)设导体杆在磁场中运动的时间为t,产生的感应电动势的平均值为,则有:通过电阻R的感应电流的平均值为:通过电阻R的电荷量为:(或(3)设导体杆离开磁场时的速度大小为,运动到圆轨道最高点的速度为,因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点,根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有:对于导体杆从运动至的过程,根据机械能守恒定律有:计算得出:导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为:此过程中电路中产生的焦耳热为:知识点八：单杆问题（与电容器结合）电容有外力充电式（1）电路特点：导体为发电边；电容器被充电。（2）三个基本关系导体棒受到的安培力为：导体棒加速度可表示为：回路中的电流可表示为：（3）四个重要结论：①导体棒做初速度为零匀加速运动：②回路中的电流恒定：③导体棒受安培力恒定：④导体棒克服安培力做的功等于电容器储存的电能：（试用动能定理证明）（4）变形：导轨有摩擦；电路变化；恒力的提供方式；1．（多选）如图，两根足够长光滑平行金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则()答案BCA．金属棒ab最终可能匀速下滑B．金属棒ab一直加速下滑C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N板电势D．带电微粒不可能先向N板运动后向M板运动2．如图所示,竖直放置的光滑平行金属导轨,相距l,导轨一端接有一个电容器,电容量为C,匀强磁场垂直纸面向里,磁感应强度为B,质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab从离地面高为h的位置由静止下滑,不考虑空气阻力,也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒落地时的速度为多大？【解析】ab在mg作用下加速运动，经时间t，速度增为v，a=v/t产生感应电动势E=Blv电容器带电量Q=CE=CBlv，感应电流I=Q/t=CBLv/t=CBla产生安培力F=BIl=CB2l2a，由牛顿运动定律mg-F=mama=mg-CB2l2a，a=mg/(m+CB2l2)∴ab做初速为零的匀加直线运动,加速度a=mg/(m+CB2l2)落地速度为3．如图所示，质量为M的导体棒ab，垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上．导轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d的平行金属板．R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．(1)调节Rx＝R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I及棒的速率v.(2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx.答案(1)eq\f(Mgsinθ,Bl)eq\f(2MgRsinθ,B2l2)(2)eq\f(mldB,Mqsinθ)解析(1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示．导体棒所受安培力F安＝BIl①导体棒匀速下滑，所以F安＝Mgsinθ②联立①②式，解得I＝eq\f(Mgsinθ,Bl)③导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv④由闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(E,R＋Rx)，且Rx＝R，所以I＝eq\f(E,2R)⑤联立③④⑤式，解得v＝eq\f(2MgRsinθ,B2l2)(2)由题意知，其等效电路图如图所示．由图知，平行金属板两板间的电压等于Rx两端的电压．设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I，所以由欧姆定律知U＝IRx⑥要使带电的微粒匀速通过，则mg＝qeq\f(U,d)⑦联立③⑥⑦式，解得Rx＝eq\f(mBld,Mqsinθ).4、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系答案：（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E=BLv

①

平行板电容器两极板的电压为U，U=E

②

设此时电容器极板上储存的电荷为Q，按定义有

③联立①②③式解得

④

（2）设金属棒下滑的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i，金属棒受到磁场的安培力为F，方向沿导轨向上，大小为F="BLi"

⑤设在t～t+时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有

⑥也是平行板电容器两极板在t～t+时间间隔内增加的电荷量由④式可得

⑦式中为金属棒速度的变化量按加速度的定义有

⑧

分析导体棒的受力：受重力mg，支持力N，滑动摩擦力f，沿斜面向上的安培力F。

N=mgcos⑨

⑩(11)联立⑤至(11)式得(12)

由(12)式及题设可知,金属棒做初速为零的匀加速直线运动,t时刻金属棒下滑的速度大小为v

(13)知识点九：单杆问题（与电源结合）3、电动式（1）电路特点：有外加电源，导体为电动边，运动后产生反电动势（等效于电机）。（2）安培力特点：安培力为动力，并随速度增大而减小。（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小（4）运动特点：加速度减小的加速运动（5）最终状态：匀速运动（6）两个极值：①最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度最大②速度最大：稳定时，电流最小，速度最大，，（7）稳定后的能量转化规律（8）动量关系：（9）能量关系：（10）变形：无（有）摩擦力；倾斜导轨；有初速；磁场方向变化1．在方向水平的、磁感应强度为0.5T的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd、ef，其宽度为1m，其下端与电动势为12V、内电阻为1Ω的电源相接，质量为0.1kg的金属棒MN的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g=10m／s2，从S闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中（）答案：CDA．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加B．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热C．匀速运动时速度为20m／sD．匀速运动时电路中的电流强度大小是2A2、如图所示，水平放置的足够长平行导轨MN、PQ的间距为L=0.1m，电源的电动势E＝10V，内阻r=0.1Ω，金属杆EF的质量为m=1kg，其有效电阻为R=0.4Ω，其与导轨间的动摩擦因素为μ＝0.1，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1T，现在闭合开关，求：（1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度；（2）金属杆所能达到的最大速度；（3）当其速度为v=20m/s时杆的加速度为多大？（忽略其它一切电阻，g=10m/s2）【答案】（1）1m/s2；（2）50m/s；（3）0.6m/s2(1)根据闭合电路欧姆定律

,

有：

I=Er+R=100.1+0.4=20A安培力：

FA=BIL=1×20×0.1=2N根据牛顿第二定律

,

有：

a=FA−μmgm=2−0.1×1×101=1m/s2(2)当达到最大速度时，做匀速直线运动，根据平衡条件，有：BI′L−μmg=0解得：

I′=μmgBL=0.1×1×101×0.1=10A，根据闭合电路欧姆定律，有：I′=E−BLvmr+R解得：vm=50m/s(3)当其速度为

v=20m/s

时

,

反向的感应电动势：

E感=BLv′=0.1×1×20=2V电流：

I=E−E感r+R=10−20.1+0.4A=16A故根据牛顿第二定律，有：

ma=BIL解得：

a=BIL−μmgm=1×16×0.1−0.1×1×101m/s2=0.6m/s23、如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关S相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B。一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上．已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R0，不计导轨的电阻．(1)当S接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R多大？(2)当S接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？(3)先把开关S接通2，待ab达到稳定速度后，再将开关S接到3．试通过推导，说明ab棒此后的运动性质如何？解析：(1)，得(2)，得，由动量定理得，其中得（3）S接3后的充电电流为，，得=常量。所以ab棒做"匀加速直线运动"，电流是恒定的．4、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ=7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：，所以m/s=3.75m/s．（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势V=3V由于＞，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：A=1.5A直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N所以要使ab以恒定速度m/s向右运动，必须有水平向右的恒力N作用于ab．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W②电阻（R+r）产生焦耳热的功率：W=2.25W③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．知识点十：线框问题1、(单选)如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则()．答案AA．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q22．(单选)如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，若外力对环做的功分别为Wa、Wb，则Wa∶Wb为()．答案AA．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定3．(单选)如图所示，边长为L的正方形导线框质量为m，由距磁场H＝eq\f(4,3)L高处自由下落，其下边ab进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd刚刚穿出磁场时，速度减为ab边进入磁场时的一半，磁场的宽度也为L，则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为()．答案CA．2mgL B.eq\f(10,3)mgLC．3mgL D.eq\f(7,3)mgL4．(多选)如图甲所示，在竖直方向上有四条间距相等的水平虚线L1、L2、L3、L4，在L1L2之间、L3L4之间存在匀强磁场，大小均为1T，方向垂直纸面向里．现有一矩形线圈abcd，宽度cd＝0.5m，质量为0.1kg，电阻为2Ω，将其从图示位置静止释放(cd边与L1重合)，速度随时间的变化关系如图乙所示，t1时刻cd边与L2重合，t2时刻ab边与L3重合，t3时刻ab边与L4重合，已知t1～t2的时间间隔为0.6s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向．重力加速度g取10m/s2，则()A．在0～t1时间内，通过线圈的电荷量为0.25C答案ABB．线圈匀速运动的速度大小为8m/sC．线圈的长度为1mD．0～t3时间内，线圈产生的热量为4.2J5、如图所示，光滑斜面的倾角α＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝1m，bc边的边长l2＝0.6m，线框的质量m＝1kg，电阻R＝0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2kg，斜面上ef(ef∥gh)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间做匀速运动，ef和gh的距离s＝11.4m，(取g＝10m/s2)，求：(1)线框进入磁场前重物的加速度；(2)线框进入磁场时匀速运动的速度v；(3)ab边由静止开始到运动到gh处所用的时间t；(4)ab边运动到gh处的速度大小及在线框由静止开始运动到gh处的整个过程中产生的焦耳热．答案：（1）a＝eq\f(Mg－mgsinα,M＋m)＝5m/s2（2）Mg＝mgsinα＋eq\f(B2l2v,R)代入数据解得v＝6m/s.（3）t＝t1＋t2＋t3＝2.5s.（4）Q＝FAl2＝(Mg－mgsinα)l2＝9J.6．如图甲所示，一边长L＝2.5m、质量m＝0.5kg的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B＝0.8T的匀强磁场中，金属线框的一边与磁场的边界MN重合．在水平力F作用下金属线框由静止开始向左运动，经过5s金属线框被拉出磁场，测得金属线框中的电流随时间变化的图象如图乙所示．(1)在金属线框被拉出的过程中，求通过线框截面的电荷量及线框的电阻．(2)写出水平力F随时间变化的表达式．(3)已知在这5s内力F做功1.92J，那么在此过程中，线框产生的焦耳热是多少？答案(1)1.25C4Ω(2)F＝(0.2t＋0.1)N(3)1.67J解析(1)根据q＝eq\o(I,\s\up6(－))Δt，由I－t图象得：q＝1.25C又根据eq\o(I,\s\up6(－))＝eq\f(\o(E,\s\up6(－)),R)＝eq\f(ΔΦ,RΔt)＝eq\f(BL2,RΔt)，得R＝4Ω.(2)由电流图象可知，感应电流随时间变化的规律：I＝0.1t由感应电流I＝eq\f(BLv,R)，可得金属线框的速度随时间也是线性变化的，v＝eq\f(RI,BL)＝0.2t线框做匀加速直线运动，加速度a＝0.2m/s2线框在外力F和安培力FA作用下做匀加速直线运动，F－FA＝ma所以水平力F随时间变化的表达式为F＝(0.2t＋0.1)N.(3)当t＝5s时，线框从磁场中拉出时的速度v5＝at＝1m/s，线框中产生的焦耳热为Q＝W－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,5)＝1.67J.7．如图所示，水平的平行虚线间距为d，其间有磁感应强度为B的匀强磁场．一个长方形线圈的边长分别为L1、L2，且L2<d，线圈质量m，电阻为R.现将线圈由其下边缘离磁场的距离为h处静止释放，其下边缘刚进入磁场和下边缘刚穿出磁场时的速度恰好相等．求：(1)线圈刚进入磁场时的感应电流的大小；(2)线圈从下边缘刚进磁场到下边缘刚出磁场(图中两虚线框所示位置)的过程做何种运动，求出该过程最小速度v；(3)线圈进出磁场的全过程中产生的总焦耳热Q总．答案(1)eq\f(BL1\r(2gh),R)(2)先做加速度减小的减速运动，后做加速度为g的匀加速运动eq\r(2gh＋L2－d)(3)2mgd解析(1)mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，v0＝eq\r(2gh)，E＝BL1v0，I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BL1\r(2gh),R)(2)先做加速度减小的减速运动，后做加速度为g的匀加速运动，3位置时线圈速度最小，而3位置到4位置线圈是自由落体运动，因此有veq\o\al(2,0)－v2＝2g(d－L2)，得v＝eq\r(2gh＋L2－d)(3)由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，线圈进入磁场过程中产生的电热Q就是线圈从图中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置动能相同．由能量守恒Q＝mgd由对称性可知：Q总＝2Q＝2mgd知识点十一：双棒问题1、无外力等距双棒（1）电路特点：棒2相当于电源;棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.（2）电流特点：随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度v2-v1变小，回路中电流也变小。v1=0时：电流最大v2=v1时：电流I＝0（3）两棒的运动情况安培力大小：两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小，棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度（4）两个规律①动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,系统动量守恒.②能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）两棒产生焦耳热之比：（5）变形：初速度的提供方式不同；磁场方向与导轨不垂直；两棒都有初速度；两棒位于不同磁场中vv0vv0011221、如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段,圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求：（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2）cd棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中,系统所能释放的热量是多少？【解析】（1）；回路中电流强度为（2）；（3）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有2、够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图2所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行，开始时棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0,若两导体棒在运动中始终不接触，求：1、运动中产生焦耳热最多是多少？2、当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？【解析】ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路的面积变小，穿过它的磁通量也变小，在回路中产生了感应电流，用楞次定律和安培定则判断其方向如图3所示，又由左手定则可判断ab棒受到的与运动方向相反的安培力作用，作减速运动，cd棒受到安培力作用作加速运动，在ab棒速度大于cd棒的速度时，两棒间的距离总会减小，回路中总有感应电流，ab会继续减速，cd会继续加速，当两棒的速度相等时，回路的面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒此时不受安培力作用，以相同的速度向右作匀速直线运动。1、从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒组成的系统受外力之和为零，系统的总动量守恒，有：mv0=2mv，所以最终作匀速直线运动的速度为：v=v0/2两棒的速度达到相等前，两棒机械能不断转化为回路的电能，最终电能又转化为内能。两棒速度相等后，两棒的机械能不变化，根据能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳最多时是两棒速度相等时，而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能：2、设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为，又由动量守恒定律得：…（1）因ab和cd切割磁感线产生的感应电动势方向相反，所以此时回路中的感应电动势为：……（2）由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为：…………（3）此时cd棒所受的安培力为：F=BIl，联立解得加速度为：3、如下图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸面)向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为ml、m2和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。【解析】解法一：设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，两杆和导轨构成的回路的磁通量发生变化，产生感应电动势ε=Bl(v0-v)①，感应电流I=ε/(R1+R2)②，杆2运动受到的安培力等于摩擦力BIl=μm2g③，导体杆2克服摩擦力做功的功率P=μm2gv④，解得P=μm2g[v0-μm2g(R1+R2)/B2l2⑤解法二：以F表示拖动杆1的外力，表示回路的电流，达到稳定时，对杆1有F-μm1g-BIl①，对杆2有BIl-μm2g=0、②，外力的功率PF=Fv0③，以P表示杆2克服摩4、如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：(1)、棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。【解析】下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。(1)自由下滑，机械能守恒：①由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：②在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：所以

③、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

④

⑤联立以上各式解得：，(2)根据系统的总能量守恒可得：F122、F12（1）电路特点：棒2相当于电源;棒1受安培力而起动.（2）运动分析：某时刻回路中电流：安培力大小：棒1：棒2：最初阶段，a2>a1,只要a2>a1,(v2-v1)增大，I增大，FB增大，a1增大，a2减小当a2＝a1时，v2-v1恒定，I恒定，FB恒定，两棒匀加速（3）稳定时的速度差（4）变形：两棒都受外力作用；外力提供方式变化F212FF212F11、（多选）如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a和b和导轨紧密接触且可自由滑动，先固定a，释放b，当b速度达到10m/s时，再释放a，经1s时间a的速度达到12m/s，则：答案：A、CA、当va=12m/s时，vb=18m/sB、当va=12m/s时，vb=22m/sC、若导轨很