数学学案：课堂导学第三讲第一节平行射影_第1页
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文档简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、平行射影的定义【例1】下列说法正确的是(）A。正射影和平行射影是两种截然不同的射影B。投影线与投影平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投影平面D.一个图形在某个平面的平行射影是唯一的解析:∵正射影是平行射影的特例,本质是相同的,故A错误。∵过平面外一点与平面相交的直线与平面只有一个交点，投影线就是这样的直线,∴B是正确的。∵投影方向与平面只能相交，故C是错误的。∵一个图形在一个平面的投影与投影方向有关，方向改变了，就得出另外的射影,故D错误。答案:B温馨提示图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面。正确理解平行射影的有关概念,是解决平行射影问题的关键.二、平行射影性质的探讨【例2】设C是线段AB上任意一点，C′、A′、B′分别是C、A、B在平面α上沿直线l的平行射影.求证:=.图3-1—2证明：如图3-1—2。∵AA′∥l,BB′∥l,CC′∥l,∴AA′∥BB′∥CC′。由平行线分线段成比例定理得.三、平行射影的抽象概括【例3】如图3-1—4，圆柱被平面α所截。已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段,EG=FH.图3-1—4（1）比较EF,GH的大小；(2）若圆柱的底面半径为r，截面α与母线的夹角为θ，求CD.解析:(1)∵EG∥FH且EG=FH,∴四边形EFHG是平行四边形.∴EF=GH.（2）过D作DP⊥AC于P。在Rt△CDP中,=sin∠DCP,∴CD=。各个击破类题演练1求证:两条平行线段之比等于它们的平行射影之比.证明:如图3—1—1,设AB、CD在平面α上的平行射影为A′B′、C′D′且AB∥CD.首先证明A′B′∥C′D′。图3—1—1假设A′B′与C′D′不平行而它们的延长线相交于点P′,且设其为P的平行射影。那么P既在直线AB上又在直线CD上(否则过P′点就会有两条直线与投影方向平行）,即AB、CD不平行，与题设矛盾。∴A′B′∥C′D′。分别过C作CE∥DB交AB于E,过C′作C′E′∥D′B′交A′B′于E′,则BE=CD，C′D′=B′E′,且E′是E在α上的平行射影。这样,,∴=.类题演练2如图3-1-3，已知A、B、C三点在平面α上沿直线l的平行射影分别为A′、B′、C′，且C是AB的中点。求证:C′是线段A′B′的中点。图3-1—3证明：∵AA′∥l，BB′∥l,CC′∥l，∴AA′∥BB′∥CC′.∵C是AB中点,∴由平行线等分线段定理得C′是A′B′中点.温馨提示平行射影的关键是投影线平行于投影方向，以此我们可以将问题转化为平行线有关问题解决。类题演练3证明一个角的平分线的平行射影不一定是该角平行射影的角平分线.图3-1—5证明：设OC为∠AOB的平分线,在OC上任取一点P,作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E.显然必存在一平面α∥PD而不平行于PE，

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