浅议线性代数中的数学文化课件

浅议线性代数中的

数学文化游宏浅议线性代数中的

数学文化游宏

引言提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因为数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很难说清这一概念的确切定义。首先，文化的定义就不下二百种，比较流行的看法是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应包含物资财富），但数学是什么？尽管在座的都是数学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定义是矛盾的。比如，英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说

引言提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。但法国的E.波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。

上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理，是从不同的角度看数学得出的结论。在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学、科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文献[1]。既然人们对“文化”、“数学”的定义与认识不统一，当然对数学文化的理解更是“仁者见仁、智者见智”，但这并不影响我们今天将数学文化作为大学生素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意义的工作）。事实上，我们遇到的许多概念都没有十分精确的定义，即使是数学概念。比如，点是数学（几何学）中最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的：点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可以理解点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学，乃至数学。虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识，但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共识。一般讲，数学文化应包含：数学自身

、数学教育、数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意艺术、数学美学及数学的社会效应等。近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学文化的书籍、论文纷纷问世。大多数数学文化的书籍都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到的数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特点是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐美就举黄金分割，0.618的例子；对称美举二项式定理或“群”，等等

。也有些文章和书籍以数学故事，名人轶事感染读者。无疑，这些

著作在普及与推广数学文化，使更多的人认识数学

，启蒙中学生和大学生的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的艺术、数学美学及数学的社会效应等。作用。特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如[2]，减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一条新路。

随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学数学教学中，应将数学文化教育与数学专业教育结合起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益处。在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应作用。用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师的自身素质和教学热情都将有较高的要求。开设数学文化专门课程和在数学教学中加强数学文化教育是数学文化教育的两个方面。前者，宏观特性强一些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自然科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，微观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上相辅相成，都不可欠缺。用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天为什么要谈线性代数中的数学文化现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数（行列式、矩阵）为例，这可能是受到M。Kline的“古今数学思想”的影响[3]，在“古今数学思想”卷三中Kline有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式，为什么要谈线性代数中的数学文化现有的关于数学文化的书尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是数学器具的一部分。这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的思想时较少涉及线性代数，但在谈及数学文化的结构说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见﹝1﹞）。的确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响不如一元多项式求根（Galois理论）和群。但这并不意味围绕行列式、矩阵这两个概念，提炼不出数学的思想、方法及外延的文化。事实上，即使按上面所说，

尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展，使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制系统和计算的数学[4]。今天，计算数学中的一切方法无例外地都以线性代数为基础（Γ.N.MapЧУK），这必将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此，简化的记法常常是深奥理论的源泉（Laplace对行列式、矩阵的评述）。随着线性代数的进一步发展，行列式已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础上发展起来的K1理论是处理非交换对象的一系统方法。行列式从十七世纪后期(1683—1693)隐现于Leibniz和这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到Vandermonde,Laplace(1771—1773)对行列式理论作出连贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线线性方程组最有效的Gauss消元法出现的比行列式方法晚得多，与Gauss消元变换对应的初等矩阵（初等变换）在近代代数学中作用与意义，对齐次线性方程组的解的结构的描述则要借助向量空间的理论，矩阵、对称矩阵、二次型的标准型研究的意义等都与人类的认知，数学思想的发展，数学内部各分支的关联及与其他科学发展（关系说）有着密切的内在联系，这些都是数关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资料与历史过程对我们今天理解数学的思想、发展和启迪学生的创新意识、思维能力都是大有帮助的。

线性代数作为一门独立的课程（特别是对非数学专业的大学生）比较晚，大约在二次世界大战之后，在我国，非数学专业的大学生开设线性代数是在上世纪八十年代，因而线性代数的课程教学远不如微积分成熟，教学内容、教材建设、一些基本概念的定义方式也存在争议。数学教育是数学文化的组成部分，结合线性代数教学谈线性代数中的数学文化是今天我谈这个问题的始因。学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资主要对象的历史与文化

一.行列式

行列式的雏形出现于莱布尼茨用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式（现在称为结式）。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i

行第j

列。下面就是他写下的方程组[5]主要对象的历史与文化10+11x+12y=0

20+21x+22y=0

30+31x+32y=0当10.21.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30时，方程组有解，这里，数字10、12等代表的是a10、a12等。差不多同一时代，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了3×3、4×4乃至5×5的行列式，用来求解高次方程组。用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是Maclaurin（1730年）开创的，发表在他的遗作《论代数》中，1750年Cramer首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n

元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。他的10+11x+行列式和现在的定义差不多，是一些乘积的和，乘积是在每一行和每一列中取一个且仅取一个元素组成，乘积符号的确定也是依据排列的奇偶性，只不过他的叙述比较复杂。稍后，数学家Bezout（1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。范德蒙

(A-T.Vandermonde）第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，并把行列式理论与线性方程组求解分离。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。他也使行列式从线性方程组理论

行列式和现在的定义差不多，是一些乘积的和，乘积中独立出来，单独形成一门理论。1772年，Laplace在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。之后（1815年），

Cauchy在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；改进了Laplace的行列式展开定理并给出一个证明。至此，经典行列式的概念及理论基本形成。

复杂的行列式的定义是怎样想到的？是一个有意思的问题，也为我们今天采用何种行列式定义留下了空间。由于Cramer并没有给出其法则的证明，也没有见到他的原文，只好从莱布尼茨、Cramer、Bezout及他们那个时代的某些数学家关于求两个高次的一元多项式的

中独立出来，单独形成一门理论。1772年，Laplace公共点和求解含2到5个未知量的线性方程组的方法中分析领悟。含三个未知量三个独立方程的线性方程组

将第一个方程两边乘以a22a33—a23a32，第二个方程两边乘以-(a12a33—a13a32)，第三个方程两边乘a12a23—a13a22，然后三式相加，消去x2，x3，求得x1。这种方法称为“析配”，也用于判定两个一元多项式是否有公根（结式）。

显然，“析配”的计算十分复杂（特别对于未知量公共点和求解含2到5个未知量的线性方程组的方法中多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻长的式子无疑是最佳的选择。但这一符号含义的确定却经历了一百多年的时间。首先，将系数与方程组分离与写出能表达系数信息（位置）的符号就需要一长期的认识与思考过程（到Cauchy时代，才采用与现在相同的符号aij），要从具体事物中“抽象”出与该问题相关的最本质的属性。所以，符号的提出与发展对数学进展起到极大的推动作用，否则就不会有数学的符号说。再者，经典行列式定义中各项符号（正、负号）如何描述也非易事，Cramer的描述虽然和近代差不多，但一般认为并不很清楚，直至Bezout、Vandermonde、Cauchy才给出它的近代的处理，这与置换（群）的研究密切相关。今天我们知道，Cramer法则的证明依赖于行列式的依多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻行展开的结论（Laplace定理），实际上，从符号的角度来看，

Laplace展开彻底地刻画了行列式，它表明在规定了二阶行列式的计算之后就可以递归定义n阶行列式；同时也使Cramer法则的证明非常自然。当然，还可以从其它角度来理解行列式，从几何的角度，行列式可理解为多面体的有向体积；从代数的角度，行列式是外积（外代数）的特殊形式。因在线性代数教学中，行列式都是定义在矩阵上，我们只探究与矩阵相关的行列式定义。后面我们还会再议行列式。行展开的结论（Laplace定理），实际上，从符号的角二、矩阵及运算

从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩阵概念的诞生，但历史似乎开了个玩笑，求解线性方程组首先导致行列式诞生。矩阵概念为何诞生如此之晚，难点在矩阵乘法。矩阵概念是1847(1851)年由Sylevester提出的，事实上，在定义行列式的过程中已有了阵的理念，只不过没有成为一个数学概念。1858年Cayley发表了重要文章《矩阵的研究报告》，其中定义了矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵运算、性质、逆矩阵、转置矩阵，以及特征矩阵和特征根等；给出矩阵运算的一些性质。

矩阵乘法是由Cayley给出的，乘法规则的确定是依据两个线性变换的合成。给定变换（见[4]）：二、矩阵及运算从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩

T1:

x‘=ax+by

T2:

x''=αx'+βy'

y‘=cx+dy

y''=γx'+δy'他认为执行T1，再执行T2，得到变换

T2T1:

x"=(αa+βc)x+(αb+βd)y y''=(γa+δc)x+(γb+δd)y复合变换T2T1的系数就是是矩阵T2乘以矩阵T1的积。从矩阵代数和行列式的关联很快就得出det(AB)=det(A)det(B)（

Cauchy之前已得到这一等式）。这表明任何新的数学对象的运算规则的确定必须与已有事物的运算（或规律）相容，在许多情形下它的运算规则产生于已有事物的运算规则之中。今天，在线性代数的教学中，矩阵乘法运算仍然是教学的一个难点，我们是否做到让学生明了为何矩阵乘法要这样规定？T1:x‘=ax+by矩阵的重要性随着计算技术的发展已无需多言，事实上，在矩阵概念发展的同一时期，集的代数运(Boole代数)也同时产生与发展，符号被用作命题和抽象要素是这一时期数学发展的特点，为今后计算机与计算技术的发展奠定了基础。Cayley似乎已经意识到矩阵代数发展将压倒行列式理论。他写道,“关于这一矩阵代数的理论，会有许多

问题要讨论，在我看来，它们应先于行列式理论”。

矩阵诞生的历史为我们今天的教学能留下什么？矩阵的重要性随着计算技术的发展已无需多言，事

三、Gausss消元法与初等矩阵

消元法解线性方程组是1800年左右Gausss用于解决天体计算和后来大地测量计算中的最小平方问题时提出的（中国九章算术中有消元解3×3的线性方程组），消去法的重要意义在于，它不僅可以作為线性方程组的普通求解方法，还可以简短的迭代來表达整个求解過程,是现代计算方法中一个基本的演算法,完全可用于计算机自动处理。可以认为消元法是计算机科学与数学的结合点[6]。高斯消去法用矩阵表示相当于初等矩阵作用给定矩阵將它化为阶梯形矩阵或行最简形,這是应用矩阵语言对线性方程組解法的进一步简化。

三、Gausss消元法

不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法，也是值得思考的问题。

（1）消法变换是否保持线性方程组的解不变？

（2）对解不唯一的线性方程组的疑惑。消法变换对应的初等矩阵做成的群称为初等群，在近代数学中占有重要地位。现在，我们再议一下行列式，即行列式的现代定义。在非交换的代数体系（如除环）上定义方阵的行列式早在十九世纪中后期就开始考虑，Cayley（1845），Heyting（1926），Ore（1931）都对不少非交换环上方阵考虑定义行列式，但最成功的定义当属Diedonne（1944）。他将除环D上可逆方阵（不可逆方阵的行列式为0）的行列式定义在商群D*/[D*,D*]上，而不是在D*（D中非零元做成的群）中。由群同构的理论，

不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法

D上n阶可逆方阵做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所得商群GLn(D)/En(D)同构于D*/[D*,D*]。这表明初等群En(D)恰是GLn(D)到商群D*/[D*,D*]上自然同态的核。Diedonne

行列式孕育着对运算不满足交换律的数学对象（矩阵）如何研究它的可换或是线性的不变量，二十世纪中叶兴起的代数K-理论

就是试图处理它们的一种系统的方法，而Diedonne

行列式就是它的雏形。考虑将n阶方阵A对角嵌入到n+1阶方阵diag(A,1)中，对链：

GLn（R）<

GLn+1（R）<

GLn+2（R）<…取正向极限，得到一稳定线性群GL(R)，同样做出一稳定初等群E(R)，

K_1函子就定义为GL（R）/E（R），这是一交换群。它的意义在于把两个不可换的n阶可逆矩阵A和B放在不同块的正交位置上，在模去E(R)后它们就可换了，D上n阶可逆方阵做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体．于是在某些近似情况下，这样做是很有好处（见[7]）。

K1函子可以认为是行列式的推广。从上面的叙述中可以看出初等矩阵及初等群在近代理论数学中的重要地位。

当代数学的发展使得认为行列式、矩阵在语言上、技术上为数学提供的贡献大于它們在思想上为数学作出的启示的看法值得商榷。

Diedonne

行列式事实上也给出域上行列式的另一定义方式：用消法变换将方阵化成上（下）三角矩阵，其主对角线上元素的积即为该矩阵的行列式。这一定义把行列式定义与计算统一起来，在不探究理论上合理性的前提下是最简易的定义方式。从计算速度的角度来看，用经典的行列式定义算行列因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体．于行列式（n!项代数和）几乎是不可行的，今天的数学软件计算行列式全是用消法变换。四、线性方程组解的结构

Euler曾注意到未知量个数与方程个数相同的线性方程组的解不惟一的现象，但解释不了。Frobenius试图研究方程组解集的特征,但未能如愿。

H.Smith和L.Dodgson（1870左右）继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，后者证明了方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。Smith指出非齐次线性方程组：AX=b,b≠0,的全部解为y+X，这里y为非齐次线性方程组的一个特解,X为

。

行列式（n!项代数和）几乎是不可行的，今天的数学软对应的导出組的全部解。Frobenius

1879年在他们的基础上彻底理解了独立方程和相容性概念,将独立概念定义為n元阵列的线性无关，並給出了秩的概念,相容性即为有解的,並用行列式的语言对它們作了描述。至此，线性方程组解的存在理论得以完善，但齐次线性方程组解的结构的完美描述要借助线性空间。齐次线性方程组的解，不过是一組已知向量间的线性組合,或更近一步，它們表达了线性空间子空间间的某种关系,從而也认清了齐次线性方程组的本质特征。直到19世紀末

Peano建立了公理化的空间定义，线性代数的公理化結构的构建才基本完成。线性方程组解的结构理论是线性代数中最精彩的内容

对应的导出組的全部解。之一，它实际上深刻刻画了线性变换，也把线性关系（相关、无关）的本质充分展现出来。同时，这一理论综合了代数、n维几何、向量数学等学科中的基本内容，将它们融为一体成为一有力的工具。

五、二次型二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。Cauchy在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。当时并不清楚在之一，它实际上深刻刻画了线性变换，也把线性关系化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。Sylevester回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被Jacobi重新发现和证明。1801年，Gauss在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定等术语。

二次型在很多方面，特别是极值、鞍点、最小原理等都有应用。二次型的研究历史说明线性代数与解析几何融汇的自然性。

化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负。六、线性代数结构理论的认识1.首先是將方程組的系数、未知量、解等概念从线性方程組中分离出來,用矩阵或向量的观点来认识,並进一步用集合及代数结构的观点来处理。Grassman的工作从几何角度出发，

将空间概念扩充為n維空間，空间解与其系数列之间在运算下建立起联系，从而将解与系数列向量看成是同一空间中向量之间的一種关系。這些思想具有永恒的价值。

2.将系数阵列从方程組中剝离出來發展了行列式、矩阵理论。特别是，矩阵理论成为一独立的庞大分支，这其中包括对矩阵运算、性质、各类关系，特征值及。六、线性代数结构理论的认识特征向量的研究，矩阵与线性变换、二次型的关系的建立，矩阵的化简与分解等。同时，将矩阵的概念与结论应用于行列式与线性方程组求解。行列式、矩阵等这些线性代数中的基本概念产生于同一母体，之后形成各自独立的系统，但又相互依存，相互借助，共同发展。它们自身内容的发展对之后的抽象代数，当代代数的发展起到重大影响。3.

用线性关系（相关、无关）、秩等概念描述n维向量和矩阵的某些本质属性，刻画线性空间中子空间的关系，揭示线性方程组的解的结构，并将线性方程组、矩阵与线性空间、线性变换紧密联系起来，完成线性代数的公理化結构的构建。。特征向量的研究，矩阵与线性变换、二次型的关系的4.线性代数综合了代数、n维空间、向量等数学的基本内容（综合性），除矩阵、行列式、线性方程组等自身内容外，还体现了用代数方法描述与解决几何问题的思想，它既是最基础的数学学科，也是数学计算的基础，同时又连接当代数学的众多分支。4.线性代数综合了代数、n维空间、向量等数学的基本参考文献：[1]方延明，数学文化导论，南京大学出版社，1999。[2]张顺燕，数学的思想、方法和应用，北京大学出版社，1997。[3]

M.Kline,古今数学思想（1---4），上海科技出版社，1981[4]

A.Tucker,线性代数在大学数学课程中日益提高的重要性,

CollegeMathematicsJournal24(1993)3-9。[5]

J.O‘Connor,E.Robertson,

Matricesanddeterminants,AlgebraindexHistorytopicsindex,1996。[6]冯进，線性代數理論的形成與發展，数学传播，34（2010），81—88。[7]M.Atiyah，二十世纪的数学[8]G.Strang,IntroductiontoLinearAlgebra,FourthEdition,Wilsley-CambridgePress,2009，参考文献：谢谢!谢谢!浅议线性代数中的

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引言提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，因为数学文化这个概念的内函及外延实在博大，而且很难说清这一概念的确切定义。首先，文化的定义就不下二百种，比较流行的看法是认为文化是人类精神财富的总和（但也有的认为应包含物资财富），但数学是什么？尽管在座的都是数学工作者，对数学感受很深，但高度概括的给出数学的定义实在难以做到，甚至一些著名学者对数学的定义是矛盾的。比如，英国的罗素认为：数学是我们永远不知道我们在说

引言提起数学文化这四个字，我总是感到有些茫然，什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。但法国的E.波莱尔认为：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。

上诉两种观点显然针锋相对，但都有一定的道理，是从不同的角度看数学得出的结论。在人类文明发展的几千年历史过程中，人们从哲学、科学、应用、逻辑学、美学、结构学等不同的角度对数学给出多种定义与多种理解，有兴趣的同行可见文献[1]。既然人们对“文化”、“数学”的定义与认识不统一，当然对数学文化的理解更是“仁者见仁、智者见智”，但这并不影响我们今天将数学文化作为大学生素质教育的一门课程走进大学的讲堂，也不影响我们把数学文化作为一种文化进行鼓吹，更不影响我们探什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意义的工作）。事实上，我们遇到的许多概念都没有十分精确的定义，即使是数学概念。比如，点是数学（几何学）中最基本的概念，在欧几里得几何学中是这样定义点的：点是没有部分的那种东西，这个定义显然不具数学的严密性，它是哲学观念下的定义。但是，我们不仅可以理解点是什么，而且在此基础上建立起整个几何学，乃至数学。虽然我们对数学文化这一概念很难得到统一的认识，但对其内涵、外延、精神与意义还是有不少基本的共识。一般讲，数学文化应包含：数学自身

、数学教育、数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺讨数学文化的内涵、外延、精神与意义（这是很有意艺术、数学美学及数学的社会效应等。近年，国内关于数学文化的讨论日益深入，有关数学文化的书籍、论文纷纷问世。大多数数学文化的书籍都是从宏观的角度谈论数学文化，几乎涉及前面提到的数学文化的各个方面。大多数著作共同的写作特点是：通过数学的发展历史、已有的成果来论述数学文化的某些特征（或方面）。比如，谈数学的美，和谐美就举黄金分割，0.618的例子；对称美举二项式定理或“群”，等等

。也有些文章和书籍以数学故事，名人轶事感染读者。无疑，这些

著作在普及与推广数学文化，使更多的人认识数学

，启蒙中学生和大学生的数学兴趣，及一定的数学思维方式方面起到很好的艺术、数学美学及数学的社会效应等。作用。特别是，有些为文科大学生写的数学教材，如[2]，减少了具体的数学概念、定理与公式，增强了数学的思想、方法与应用的介绍，为文科数学教学走出了一条新路。

随着数学文化开展的深入，我们对数学文化的认识及数学文化的教育应迈向更高的层次。例如，在大学数学教学中，应将数学文化教育与数学专业教育结合起来，具体讲，在数学专业课的教学中如何突出所学概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、方法及应用，因为这对学生的创新意识的培养大有益处。在数学专业课的教学中渗透数学思想、方法和应作用。用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天老调重弹只是强调它的重要性，希望在数学教学的过程中多下功夫，不仅传授数学知识，而且要力求讲出所授内容的数学文化。真正做到这一点，并非易事，对教师的自身素质和教学热情都将有较高的要求。开设数学文化专门课程和在数学教学中加强数学文化教育是数学文化教育的两个方面。前者，宏观特性强一些，使学生了解数学的宏观历史，与其他人文科学、自然科学的关系，数学在人类社会中的意义等；后者，微观特性强一些，使学生理解所学内容的精神实质、思想方法，有助于提高思维与创新能力。这两个方面实际上相辅相成，都不可欠缺。用的教育并非新鲜事物，是我们历来提倡的做法，今天为什么要谈线性代数中的数学文化现有的关于数学文化的书籍在论述数学的精神、思想、方法和它对其他文化的影响时较少以线性代数（行列式、矩阵）为例，这可能是受到M。Kline的“古今数学思想”的影响[3]，在“古今数学思想”卷三中Kline有这样一段话：行列式和矩阵却完全是语言上的改革，对于已经以较扩张的形式存在的概念，它们是速记的表达式，它们本身不能直接说出方程或变换所没有说出的任何东西，当然，方程和变换的表达方式是爻长的，尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式，为什么要谈线性代数中的数学文化现有的关于数学文化的书尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进展。然而已经证明这两个概念是完全有用的工具，现在是数学器具的一部分。这段话意思很明确，行列式、矩阵对数学自身的发展影响不大，但是非常有用的工具。因而在谈论数学的思想时较少涉及线性代数，但在谈及数学文化的结构说、符号说时则以行列式、矩阵为例（见﹝1﹞）。的确，就代数学而言，行列式、矩阵对数学进展的影响不如一元多项式求根（Galois理论）和群。但这并不意味围绕行列式、矩阵这两个概念，提炼不出数学的思想、方法及外延的文化。事实上，即使按上面所说，

尽管矩阵在领悟群论的的定理方面具有作为具体的群这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具都是很重要的数学文化（数学的符号说，结构说，工具说）。特别是近代信息与计算机技术技术的发展，使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制系统和计算的数学[4]。今天，计算数学中的一切方法无例外地都以线性代数为基础（Γ.N.MapЧУK），这必将影响其他科学的发展，难道不是文化吗？不仅如此，简化的记法常常是深奥理论的源泉（Laplace对行列式、矩阵的评述）。随着线性代数的进一步发展，行列式已不仅是一个符号，它有着更深刻的内容，在此基础上发展起来的K1理论是处理非交换对象的一系统方法。行列式从十七世纪后期(1683—1693)隐现于Leibniz和这两个概念只是语言、工具，但速记，即符号，工具关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到Vandermonde,Laplace(1771—1773)对行列式理论作出连贯的逻辑的阐述经历了近一个世纪的过程。线性代数发展史上一个奇怪的现象，即线性方程组的求解直接导致的是行列式的诞生，而非矩阵概念；求解一般线线性方程组最有效的Gauss消元法出现的比行列式方法晚得多，与Gauss消元变换对应的初等矩阵（初等变换）在近代代数学中作用与意义，对齐次线性方程组的解的结构的描述则要借助向量空间的理论，矩阵、对称矩阵、二次型的标准型研究的意义等都与人类的认知，数学思想的发展，数学内部各分支的关联及与其他科学发展（关系说）有着密切的内在联系，这些都是数关孝和的含3或4个未知量的线性方程组的求解中到学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资料与历史过程对我们今天理解数学的思想、发展和启迪学生的创新意识、思维能力都是大有帮助的。

线性代数作为一门独立的课程（特别是对非数学专业的大学生）比较晚，大约在二次世界大战之后，在我国，非数学专业的大学生开设线性代数是在上世纪八十年代，因而线性代数的课程教学远不如微积分成熟，教学内容、教材建设、一些基本概念的定义方式也存在争议。数学教育是数学文化的组成部分，结合线性代数教学谈线性代数中的数学文化是今天我谈这个问题的始因。学文化中原始而生动的内容，了解与分析这些历史资主要对象的历史与文化

一.行列式

行列式的雏形出现于莱布尼茨用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式（现在称为结式）。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i

行第j

列。下面就是他写下的方程组[5]主要对象的历史与文化10+11x+12y=0

20+21x+22y=0

30+31x+32y=0当10.21.32+11.22.30+12.20.31=10.22.31+11.20.32+12.21.30时，方程组有解，这里，数字10、12等代表的是a10、a12等。差不多同一时代，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了3×3、4×4乃至5×5的行列式，用来求解高次方程组。用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法是Maclaurin（1730年）开创的，发表在他的遗作《论代数》中，1750年Cramer首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n

元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。他的10+11x+行列式和现在的定义差不多，是一些乘积的和，乘积是在每一行和每一列中取一个且仅取一个元素组成，乘积符号的确定也是依据排列的奇偶性，只不过他的叙述比较复杂。稍后，数学家Bezout（1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。范德蒙

(A-T.Vandermonde）第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，并把行列式理论与线性方程组求解分离。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。他也使行列式从线性方程组理论

行列式和现在的定义差不多，是一些乘积的和，乘积中独立出来，单独形成一门理论。1772年，Laplace在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。之后（1815年），

Cauchy在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；改进了Laplace的行列式展开定理并给出一个证明。至此，经典行列式的概念及理论基本形成。

复杂的行列式的定义是怎样想到的？是一个有意思的问题，也为我们今天采用何种行列式定义留下了空间。由于Cramer并没有给出其法则的证明，也没有见到他的原文，只好从莱布尼茨、Cramer、Bezout及他们那个时代的某些数学家关于求两个高次的一元多项式的

中独立出来，单独形成一门理论。1772年，Laplace公共点和求解含2到5个未知量的线性方程组的方法中分析领悟。含三个未知量三个独立方程的线性方程组

将第一个方程两边乘以a22a33—a23a32，第二个方程两边乘以-(a12a33—a13a32)，第三个方程两边乘a12a23—a13a22，然后三式相加，消去x2，x3，求得x1。这种方法称为“析配”，也用于判定两个一元多项式是否有公根（结式）。

显然，“析配”的计算十分复杂（特别对于未知量公共点和求解含2到5个未知量的线性方程组的方法中多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻长的式子无疑是最佳的选择。但这一符号含义的确定却经历了一百多年的时间。首先，将系数与方程组分离与写出能表达系数信息（位置）的符号就需要一长期的认识与思考过程（到Cauchy时代，才采用与现在相同的符号aij），要从具体事物中“抽象”出与该问题相关的最本质的属性。所以，符号的提出与发展对数学进展起到极大的推动作用，否则就不会有数学的符号说。再者，经典行列式定义中各项符号（正、负号）如何描述也非易事，Cramer的描述虽然和近代差不多，但一般认为并不很清楚，直至Bezout、Vandermonde、Cauchy才给出它的近代的处理，这与置换（群）的研究密切相关。今天我们知道，Cramer法则的证明依赖于行列式的依多的方程组），式子也十分爻长，用一个符号简记爻行展开的结论（Laplace定理），实际上，从符号的角度来看，

Laplace展开彻底地刻画了行列式，它表明在规定了二阶行列式的计算之后就可以递归定义n阶行列式；同时也使Cramer法则的证明非常自然。当然，还可以从其它角度来理解行列式，从几何的角度，行列式可理解为多面体的有向体积；从代数的角度，行列式是外积（外代数）的特殊形式。因在线性代数教学中，行列式都是定义在矩阵上，我们只探究与矩阵相关的行列式定义。后面我们还会再议行列式。行展开的结论（Laplace定理），实际上，从符号的角二、矩阵及运算

从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩阵概念的诞生，但历史似乎开了个玩笑，求解线性方程组首先导致行列式诞生。矩阵概念为何诞生如此之晚，难点在矩阵乘法。矩阵概念是1847(1851)年由Sylevester提出的，事实上，在定义行列式的过程中已有了阵的理念，只不过没有成为一个数学概念。1858年Cayley发表了重要文章《矩阵的研究报告》，其中定义了矩阵的相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵运算、性质、逆矩阵、转置矩阵，以及特征矩阵和特征根等；给出矩阵运算的一些性质。

矩阵乘法是由Cayley给出的，乘法规则的确定是依据两个线性变换的合成。给定变换（见[4]）：二、矩阵及运算从逻辑上讲，求解线性方程组应导致矩

T1:

x‘=ax+by

T2:

x''=αx'+βy'

y‘=cx+dy

y''=γx'+δy'他认为执行T1，再执行T2，得到变换

T2T1:

x"=(αa+βc)x+(αb+βd)y y''=(γa+δc)x+(γb+δd)y复合变换T2T1的系数就是是矩阵T2乘以矩阵T1的积。从矩阵代数和行列式的关联很快就得出det(AB)=det(A)det(B)（

Cauchy之前已得到这一等式）。这表明任何新的数学对象的运算规则的确定必须与已有事物的运算（或规律）相容，在许多情形下它的运算规则产生于已有事物的运算规则之中。今天，在线性代数的教学中，矩阵乘法运算仍然是教学的一个难点，我们是否做到让学生明了为何矩阵乘法要这样规定？T1:x‘=ax+by矩阵的重要性随着计算技术的发展已无需多言，事实上，在矩阵概念发展的同一时期，集的代数运(Boole代数)也同时产生与发展，符号被用作命题和抽象要素是这一时期数学发展的特点，为今后计算机与计算技术的发展奠定了基础。Cayley似乎已经意识到矩阵代数发展将压倒行列式理论。他写道,“关于这一矩阵代数的理论，会有许多

问题要讨论，在我看来，它们应先于行列式理论”。

矩阵诞生的历史为我们今天的教学能留下什么？矩阵的重要性随着计算技术的发展已无需多言，事

三、Gausss消元法与初等矩阵

消元法解线性方程组是1800年左右Gausss用于解决天体计算和后来大地测量计算中的最小平方问题时提出的（中国九章算术中有消元解3×3的线性方程组），消去法的重要意义在于，它不僅可以作為线性方程组的普通求解方法，还可以简短的迭代來表达整个求解過程,是现代计算方法中一个基本的演算法,完全可用于计算机自动处理。可以认为消元法是计算机科学与数学的结合点[6]。高斯消去法用矩阵表示相当于初等矩阵作用给定矩阵將它化为阶梯形矩阵或行最简形,這是应用矩阵语言对线性方程組解法的进一步简化。

三、Gausss消元法

不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法，也是值得思考的问题。

（1）消法变换是否保持线性方程组的解不变？

（2）对解不唯一的线性方程组的疑惑。消法变换对应的初等矩阵做成的群称为初等群，在近代数学中占有重要地位。现在，我们再议一下行列式，即行列式的现代定义。在非交换的代数体系（如除环）上定义方阵的行列式早在十九世纪中后期就开始考虑，Cayley（1845），Heyting（1926），Ore（1931）都对不少非交换环上方阵考虑定义行列式，但最成功的定义当属Diedonne（1944）。他将除环D上可逆方阵（不可逆方阵的行列式为0）的行列式定义在商群D*/[D*,D*]上，而不是在D*（D中非零元做成的群）中。由群同构的理论，

不过，早期求解线性方程组用的是行列式而非消元法

D上n阶可逆方阵做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所得商群GLn(D)/En(D)同构于D*/[D*,D*]。这表明初等群En(D)恰是GLn(D)到商群D*/[D*,D*]上自然同态的核。Diedonne

行列式孕育着对运算不满足交换律的数学对象（矩阵）如何研究它的可换或是线性的不变量，二十世纪中叶兴起的代数K-理论

就是试图处理它们的一种系统的方法，而Diedonne

行列式就是它的雏形。考虑将n阶方阵A对角嵌入到n+1阶方阵diag(A,1)中，对链：

GLn（R）<

GLn+1（R）<

GLn+2（R）<…取正向极限，得到一稳定线性群GL(R)，同样做出一稳定初等群E(R)，

K_1函子就定义为GL（R）/E（R），这是一交换群。它的意义在于把两个不可换的n阶可逆矩阵A和B放在不同块的正交位置上，在模去E(R)后它们就可换了，D上n阶可逆方阵做成的群GLn(D)模去初等群En(D)所因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体．于是在某些近似情况下，这样做是很有好处（见[7]）。

K1函子可以认为是行列式的推广。从上面的叙述中可以看出初等矩阵及初等群在近代理论数学中的重要地位。

当代数学的发展使得认为行列式、矩阵在语言上、技术上为数学提供的贡献大于它們在思想上为数学作出的启示的看法值得商榷。

Diedonne

行列式事实上也给出域上行列式的另一定义方式：用消法变换将方阵化成上（下）三角矩阵，其主对角线上元素的积即为该矩阵的行列式。这一定义把行列式定义与计算统一起来，在不探究理论上合理性的前提下是最简易的定义方式。从计算速度的角度来看，用经典的行列式定义算行列因为在一个大的空间里，我们可以随意移动体．于行列式（n!项代数和）几乎是不可行的，今天的数学软件计算行列式全是用消法变换。四、线性方程组解的结构

Euler曾注意到未知量个数与方程个数相同的线性方程组的解不惟一的现象，但解释不了。Frobenius试图研究方程组解集的特征,但未能如愿。

H.Smith和L.Dodgson（1870左右）继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，后者证明了方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代线性方程组理论中的重要结果之一。Smith指出非齐次线性方程组：AX=b,b≠0,的全部解为y+X，这里y为非齐次线性方程组的一个特解,X为

。

行列式（n!项代数和）几乎是不可行的，今天的数学软对应的导出組的全部解。Frobenius