专题07玩转两点分布超几何分布二项分布正态分布（知识梳理专题过关）

专题07玩转两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布【知识梳理】1.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\o(A,\s\up6(－))发生.))如果P(A)＝p，则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01Pp我们称X服从两点分布或0－1分布．2.超几何分布（1）超几何分布模型是一种不放回抽样一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．（2）超几何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．（3）超几何分布的特征：①样本总体分为两大类，要么类，要么类；②超几何分布是组合问题，分组或分类，有明显的选次品的意思；③超几何分布是将随机变量分类，每一类之间是互斥事件；④超几何分布的随机变量的确定，只需搞清楚最少和最多两种情况，其他的在最少和最多之间.3.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．4.正态分布的期望与方差(1)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.【专题过关目录】过关1：两点分布过关2：超几何分布过关3：二项分布过关4：正态分布过关5：综合问题【典型例题】过关1：两点分布1．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】本题考查两点分布的理解，以及，，的计算运用．【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，故A正确；，故B正确；，故C不正确；，故D正确，故选：C.2．设随机变量服从两点分布，若，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出【详解】由题意得，因为，所以解得，所以，故选：D3．2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试．如表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）．年级高一高二高三垃圾分类知识测试优秀率55%75%65%假设从高年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“”表示该同学的测试成绩达到优秀，“”表示该同学的测试成绩没有达到优秀．表示测试成绩的方差，则、、的大小关系为______．【答案】【解析】【分析】分别写出三个年级随机选取一名同学测试成绩优秀和没有达到优秀的概率，算出各自的方差，即可比较，得到答案.【详解】当时，在高一年级中随机抽取一名同学进行考察，则，，则，当时，在高二年级中随机抽取一名同学进行考察，则，，则，当时，在高三年级中随机抽取一名同学进行考察，则，，则，故．故答案为：4．篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意服从两点分布，写出方差的式子转化为二次函数求最值.（2）由（1）知，投5次蓝得分为，则，再利用二项分布公式求出即可.【详解】解：（1）依题意，的分布列为01当时，取最大值，且最大值为.（2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则那么则运动员甲投5次篮得分为4分概率为．5．武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设.试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意可知，所以的分布列为：

（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:所以当时,，此时1000人需要化验的总次数为690次，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时,，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少1000594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．【答案】（1）见解析，（2）（i）见解析（ii）时平均检验次数最少，约为594次．【解析】（1）由题意可得，的可能取值为和，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.（2）（i）由记，根据函数的单调性即可证出；记，当且取最小值时，该方案最合理，对进行赋值即可求解.【详解】（1）由题，的可能取值为和，故的分布列为由记，因为，所以在上单调递增，故越小，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理记当且取最小值时，该方案最合理，因为，，所以时平均检验次数最少，约为次．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.7．某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每位职工每年只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金．保险公司把企业的所有岗位分为A、B、C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如图所示，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表所示（并以此估计赔付概率）．工种类别ABC赔付频率A、B、C工种职工每人每年的保费分别为a元，a元，b元，出险后获得的赔偿金额分别为100万元，200万元，50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)若保险公司要求利润的期望不低于保费的20%，试确定保费a，b所要满足的条件．(2)现有如下两个方案供企业选择：方案一、企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险公司赔付金额相同的赔偿金付给出险职工；方案二、企业与保险公司合作，企业负责职工保费的60%，职工个人负责保费的40%，出险后赔偿金由保险公司赔付．若企业选择方案二的支出期望（不包括职工支出）低于选择方案一的，求a，b所要满足的条件，并判断企业是否与保险公司合作（若企业选择方案二的支出期望低于方案一，且与（1）中保险公司所提条件不矛盾，则企业与保险公司合作）．【答案】(1)(2)企业有可能与保险公司合作【解析】【分析】（1）设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，求出随机变量的分布列，得出期望，然后计算保险公司收入，由保险公司要求利润的期望不低于保费的20%得结论；（2）求出企业不与保险公司合作及企业与保险公司合作的赔偿金期望，由要求得出关系，与（1）比较可得．(1)设工种为职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，则随机变量的分布列如下：，，，由题意，化简得．所以每张保单的保费需要满足；(2)若企业不与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为，若企业与保险公司合作，则安全支出即赔偿金的期望值为，由，得，结果与（1）不冲突，所以企业有可能与保险公司合作．过关2：超几何分布1．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】至少取到1件次品包含1件次品与2件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得.【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为．故选：D2．据统计，中国新增绿化面积的来自植树造林．下表是中国十个地区在年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和．）单位：公顷．地区造林总面积造林方式人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙河北河南重庆陕西甘肃新疆青海宁夏北京(1)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区（不必说明理由）；(2)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？(3)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列．【答案】(1)最大的地区为甘肃；最小的地区为青海(2)(3)分布列见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据依次计算各个地区人工造林面积与造林总面积的比值，对比所求比值即可得到结果；（2）由（1）可得人工造林面积占造林总面积的比值超过的地区有个，由古典概型概率公式可求得结果；（3）根据表格数据可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列.(1)在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值分别为：内蒙，河北，河南；重庆；陕西；甘肃；新疆；青海；宁夏；北京；比值最大的地区为甘肃；比值最小的地区为青海.(2)由（1）知：人工造林面积占造林总面积的比值超过的地区有个，所求概率.(3)由表格数据知：新封山育林面积超过五万公顷的地区的有个，其中退化林修复面积超过六万公顷的地区有个；则所有可能的取值为：，，，，的分布列为：3．空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150~250>250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2022年3月8日—4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后绘出如条形图：(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别为优的天数，求的期望．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）典型的超几何分布，确定随机变量的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可得的分布列．(1)由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．(2)随机变量的可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为：012．4．第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，组委会需要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作（其中有3人两项工作都能胜任），现从中选3人做翻译工作．试求：(1)在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率；(2)在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）结合古典概型概率问题的计算公式，计算出所求概率.（2）结合超几何分布的知识求得的分布列以及数学期望.(1)依题意可知：有人只胜任英语翻译，有人只胜任法语翻译，有人两项工作都能胜任，所以从中选3人做翻译工作，在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率为.(2)的可能取值为，，，分布列如下：数学期望为.5．一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球．(1)求至少摸到个红球的概率；(2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．【答案】(1).(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率公式可求出结果；（2）根据超几何分布的概率公式求出概率后，可得分布列，根据数学期望公式可求出数学期望.(1)设至少摸到1个红球为事件A，则.(2)服从超几何分布，，，，，.所以摸到红球的个数的概率分布列为0123.6．已知箱中装有2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，(1)求取出的三个球的颜色互不相同的概率；(2)记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）通过古典概型公式及组合方法即可求出答案；（2）通过超几何分布求概率的方法求出概率及分布列，进而根据期望公式求出期望即可.(1)设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M，∴.(2)由题意得X取0，1，2，则，，．所以X的分布列为X012P∴.7．为发展业务，某调研组对、两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内个人口超过万的超级大城市和个人口低于万的小城市中随机抽取若干个城市进行统计.若一次抽取个城市，每个城市抽取的可能性均相等.(1)假设取出小城市的个数为，求的分布列及数学期望；(2)若取出的个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.【答案】(1)分布列见解析，；(2).【解析】【分析】（1）根据题意知离散型随机变量满足超几何分布，利用超几何分布的概率模型求解即可；（2）分别求出个城市全是超大城市和个城市全是小城市个数，再利用条件概率求解即可.(1)由题意知可取0，1，2，3，4，，，，，，所以的分布列如下：数学期望；(2)若个城市全是超大城市，共有：；.若个城市全是小城市，共有：；故若取出的4个城市是同一类城市，全为超大城市的概率为：.过关3：二项分布1．某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图．(1)求图中的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适，并简述理由；(2)以频率估计概率，现从学校所有学生中中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变量为这18名学生中评分在的人数，请估计这18名学生的评分在最有可能为多少人？【答案】(1)，答案见解析(2)11人【解析】【分析】（1）根据在频率直方图中所有小矩形面积之和为1，结合平均数和众数的性质进行求解即可；（2）根据二项分布的性质进行求解即可.(1)由图知：，故，①选用平均数比较合适，因为一方面平均数反映了评分的平均水平，另一方面由频率分布直方图估计时评分的极端值所占比例较少，故选用平均数较合理.②选用众数比较合适，因为一方面众数反映了出现频率最多的那个值的信息，反映了普遍性的倾向，另一方面由频率分步直方图估计其中评分在的人数超过了一半，从而选用众数也比较合理；(2)记18名学生中k名学生的成绩在的概率为，，…，18.由已知得X~B(18，0.6)，，令，即，即，解得，由，.所以估计这18名学生中评分在最有可能为11人.2．“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，其中的“挑战答题”更是趣味呏然､引人入胜“挑战答题”规则为：（1）挑战开始后，挑战者依次回答界面中出现的问题，答对就继续下一题，答错有两种选择：①结束本局，挑战结束；②通过分享界面复活本局，复活之后可继续本次挑战，且答对题数可累加；（2）答对5题或5题以上均为挑战成功，可获得6分，否则无积分可得；（3）每次挑战，通过分享界面复活的机会只有一次.(1)如果甲对“挑战答题”中的每一道题回答正确的概率均为，且各题是否回答正确互不影响，求甲挑战一次就获得成功的概率；(2)假设乙挑战一次获得成功的概率为，他在一周内（天）每天都挑战一次，且每次挑战是否成功互不影响.设乙在一周内挑战答题总得分为，求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）设乙在一周内挑战成功的次数为，依题意可得，且，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列，再根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；(1)解：记事件为前5题都回答正确；记事件为前5题有且只有1题回答错误，其余回答正确，且第6题回答正确.记挑战一次获得成功为事件，则事件包含两个事件，且互斥，所以.因为甲对挑战答题中的每一道题回答正确的概率均为，所以.故甲挑战一次就获得成功的概率为.(2)解：设乙在一周内挑战成功的次数为，由题意知，服从二项分布，即.因为，所以，，，，，所以的分布列为：06121824303642因为，所以3．某班有20名学生参加某学科竞赛（满分150分），这20名学生的成绩频率分布表如下：分组频率0.050.10.350.250.150.1若规定80分及80分以下为不合格；80分以上及120分以下（包括120分）为良好；120分以上为优秀．(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，求恰好2名学生的成绩都是良好的概率；(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，用X表示这2人中成绩为优秀的人数，求X的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，0.2【解析】【分析】（1）根据频率分布表计算出成绩良好的人数，利用古典概型的计算公式即可求解.（2）根据题意得出X的可能取值，利用二项分布公式计算概率，列出分布列，求解数学期望.(1)解：由题可知20名学生中成绩为良好的有人，则从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生的成绩都是良好的概率．(2)解：抽到1名成绩为优秀的学生的概率，X的可能取值为0，1，2．，，．故X的分布列为X012P0.810.180.01．4．红外测温仪方便､快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用红外测温仪测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用红外测温仪与水银体温计测温结果相同，我们认为红外测温仪“测温准确”：否则，我们认为红外测温仪“测温失误”.现在我校随机抽取校内师生20人用红外测温仪与水银体温计分别测量体温，数据如下：序号红外测温仪（℃）水银体温计（℃）序号红外测温仪（℃）水银体温计（℃）0136.636.61135.636.50236.536.71236.536.50336.336.21336.736.70435.435.41436.236.20536.536.41536.436.40636.236.21636.336.40736.536.51735.336.40835.235.31835.635.60937.237.01936.836.81036.636.62036.736.7(1)试估计用红外测温仪测量我校1人，“测温准确”的概率；(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从我校中任意抽查3名师生用红外测温仪测量体温，设随机变量X为使用红外测温仪“测量准确”的人数，求X的分布列与数学期望；(3)医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38°C时处于“低热”状态，我校某一天用红外测温仪测温的结果显示，有3名师生的体温都是37.3°C，能否由表中的数据来认定这3名师生中至少有一人处于“低热”状态？说明理由.【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望(3)能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据表格提供数据计算出所求的概率.（2）结合二项分布的知识求得的分布列以及数学期望.（3）结合独立重复试验概率计算来进行说明.(1)根据表格提供数据可知，人中，有人“测温准确”，所以“测温准确”的概率为.(2)依题意可知，且，，，，，所以的分布列为：所以.(3)由（1）可知，“测温准确”的概率为，所以这3名师生中至少有一人处于“低热”状态的概率为：，概率较大，所以可以认定这3名师生中至少有一人处于“低热”状态.过关4：正态分布1．某运动项目组织计划招收一批岁的青少年参加集训，以从中选拔运动员．共有名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分分）服从正态分布，成绩分及以上者可以进入集训队．现已知进入集训队的有人．请你通过以上信息，推断本次测试中分及以上的人数为（

）附：，，．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性可求得，由此确定所求人数为.【详解】，分及以上的人数为人，则；由正态分布曲线的对称性可得：，，，则分及以上的人数为．故选：B．（多选题）2．已知随机变量X服从正态分布且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】由正态分布的性质对选项一一计算即可得出答案.【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以正态分布的图象关于直线对称，则对于A，，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D不正确.故选：AC.3．已知随机变量，且，则____________．【答案】##【解析】【分析】根据对称性可得，则代入计算．【详解】∵，则∴故答案为：．4．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．消费金额（千元）人数305060203010以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．(1)求和的值；(2)试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；(3)若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的期望和方差．参考数据：；若随机变量，则，，．【答案】(1)8；8(2)0.8(3)【解析】【分析】（1）根据表中数据，利用平均数和方差公式求解；（2）根据（1）的结论，利用原则求解；（3）根据得，利用二项分布公式求解.(1)解：由题意得，；(2)由（1）得，所以．(3)由题意及（2）得，，，所以，．5．北京冬奥会于2022年2月4日至20日在北京市和张家口市联合举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某高校组织了20000名学生参加线上冰雪运动知识竞赛活动，并抽取了100名参赛学生的成绩制作了如下表格：竞赛得分频率(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，在为“优秀”，以这100名参赛学生中竞赛得分的频率作为全校知识竞赛中得分在相应区间的学生被抽中的概率．现从该校参加知识竞赛的学生中随机抽取3人，记竞赛得分结果为“良好”及以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；(2)已知此次知识竞赛全校学生成绩近似服从正态分布，若学校要对成绩不低于分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．附：若随机变量，则.【答案】(1)分布列见解析，(2)27人【解析】【分析】（1）服从二项分布，的可能取值0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，从而得到期望.（2）求出成绩不低于分的学生的概率，即可得出答案.(1)由题意知，的可能取值0，1，2，3．由题可知，任意1名学生竞赛得分“良好”及以上的概率为，竞赛得分是“良好”以下的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布．；；；．所以的分布列为:．（或）(2)估计获得表彰的学生人数为人.6．我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品.(1)从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由.附：若，则，，.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由见解析【解析】【分析】（1）求出的取值和对应的概率可得分布列及期望；（2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为X，可知，再根据，有可得答案(1)因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，则，，，所以Y的分布列如下：Y012P故.(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：这10件农产品的平均数为，这10件农产品的方差为，由，可令，，这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，，可得，有所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求.过关5：综合问题1．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得.【详解】记摄像头的使用寿命为X，则，由题知所以，所以，所以记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则所以.故选：B2．数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品．(1)若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．(2)抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．【答案】(1)分布列见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）由题意X的可能值为0，1，2，利用古典概率求法求对应概率值，进而写出分布列；（2）根据题意有，研究不等式左侧的单调性，进而求n的最小值．(1)由题意知，X的取值为0，1，2．，，．所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P(2)记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则，由题意，，所以，即，设，则，所以，则递减，因为，，所以当时，成立，故n的最小值为6．3．某高中设计了一个生物实验考查方案：考生从5道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过，已知5道备选题中考生甲有3道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．【答案】(1)分布列见解析，期望均为；(2)见解析【解析】【分析】（1）先求出甲正确完成的题目为1，2，3，乙正确完成的题目为0，1，2，3，分别计算对应的概率，列出分布列计算期望即可；（2）直接比较两人完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率即可做出判断.(1)设甲、乙两考生正确完成题数分别为，则，，则甲考生正确完成题数的概率分布列为：123数学期望；易得，，，则乙考生正确完成题数的概率分布列为：0123数学期望；(2)由（1）知：，从期望上看两人水平相当；，，因为，则甲通过的可能性要大于乙，因此可以判断甲的实验操作能力更强.4．一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个．(1)若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的概率分布及期望；(2)若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的概率分布及方差．（注：最终结果用分数形式表示）【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)分布列见解析；【解析】【分析】（1）由超几何分布概率公式求解（2）由二项分布概率公式求解(1)由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，且．∴；；；；∴的概率分布为：0123则数学期望．(2)由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3，且，．∴；；；；∴的概率分布为：0123则方差为．5．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：；若，则，，．【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．【解析】【分析】(1)求各组数据区间的中点