专题423相似三角形的性质（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读专题训练》（北师大版）

专题4.2.3相似三角形的性质（知识解读）【直击考点】【学习目标】理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；3、运用相似三角形的性质解决综合问题。【知识点梳理】考点1相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点2相似三角形的性质与判定综合【典例分析】【考点1相似三角形的性质】【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A． B． C． D．【变式11】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A．105° B．115° C．125° D．135°【变式12】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27【变式13】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A'B'C′为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（）A．18 B．27 C．72 D．81【变式21】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A． B．25 C．35 D．63【变式22】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）S△BOD．【变式31】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2 B． C． D．4【变式32】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．【变式33】（2016秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【变式34】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．【考点2相似三角形的性质与判定综合应用】【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【变式41】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【变式42】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．（1）求证：BC＝CD+ED；（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．【变式43】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．（1）求证：AB2＝BD•BC；（2）若BD＝2，则AC的长是．【变式51】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【变式52】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【变式61】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（）A．4 B．4 C．4 D．【变式2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．【变式71】（2020•蔡甸区模拟）在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．【变式72】（2021秋•金川区校级期末）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？专题4.2.3相似三角形的性质（知识解读）【直击考点】【学习目标】理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；3、运用相似三角形的性质解决综合问题。【知识点梳理】考点1相似三角形的性质性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.性质3：相似三角形周长的比等于相似比如图一：∽，则由比例性质可得：图一性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方如图二，∽，则分别作出与的高和，则图二注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.考点2相似三角形的性质与判定综合【典例分析】【考点1相似三角形的性质】【典例1】（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．【变式11】（2019•自贡模拟）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】D【解答】解：∵EF＝2，DE＝，DF＝，BC＝5，AB＝，AB＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，故选：D．【变式12】（2015•贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27【答案】C【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2＝4：9．故选：C．【变式13】（2015•黔西南州）已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△ABC：S△A'B'C′为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【答案】C【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，，∴＝（）2＝，故选：C．【典例2】（2022•富阳区二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（）A．18 B．27 C．72 D．81【答案】C【解答】解：∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为9，∴△ABC的面积＝81，∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝81﹣9＝72，故选：C．【变式21】（2022•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∵＝，∴＝，∴＝（）2＝（）2＝，∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE，∴S△ABC＝4+21＝25，故选：B．【变式22】（2021•南明区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．【典例3】（2019秋•长清区期末）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）S△BOD．【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．【变式31】（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2 B． C． D．4【答案】B【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．【变式32】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝6，AE＝4，AB＝12，∴＝，∴AC＝8，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．【变式33】（2016秋•雨花区期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．（1）求∠ADE和∠AED的度数；（2）求DE的长．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠C＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得DE＝12cm．【变式34】（2016秋•相城区期末）如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．（2）∵△ABC∽△DAC，∴，又AC＝4，BC＝6，∴CD＝＝；【考点2相似三角形的性质与判定综合应用】【典例4】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．【解答】解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．【变式41】（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．【变式42】（2022春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．（1）求证：BC＝CD+ED；（2）若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴AE＝CD，∵AD＝AE+DE，∴BC＝CD+ED；（2）∵AF＝3，AC＝8，∴CF＝AC﹣AF＝8﹣3＝5，∵∠AEB＝∠EBC，∠AFE＝∠BFC，∴△AFE∽△CFB，∴＝＝，∴设AE＝3x，BC＝5x，∴AB＝AE＝3x，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴（3x）2+82＝（5x）2，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AE＝3x＝6，∴AE的长为6．【变式43】（2022•长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，由（1）得△ADE∽△DBE，∴，∵DC＝10cm，BE＝18cm，∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB+BE＝28cm，即，∴DE＝6（cm）．【典例5】（2022•建邺区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．（1）求证：AB2＝BD•BC；（2）若BD＝2，则AC的长是2．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°，∴∠BAC＝∠BDA＝120°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，∴AB2＝BD•BC；（2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，∵∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝AD＝2，故答案为：2．【变式51】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：由（1）得：△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AD•AB，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2或AC＝﹣2（舍去），∴AC的长为2．【变式52】（2021秋•秦都区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FPA；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝CB，在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠PDA＝∠PDC，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）证明：如图，∵CD∥AB，∴∠F＝∠PCD，∵∠PAE＝∠PCD，∴∠PAE＝∠F，∵∠PAE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA．（3）解：如图，∵△APE∽△FPA，∴＝，∵PE＝4，PF＝12，∴PA2＝PE•PF＝4×12＝48，∴PA＝＝4，∴PC＝PA＝4．∴PC的长为4．【典例6】（2021秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【变式61】（2022•义乌市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为（）A．4 B．4 C．4 D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故选：A．【变式2】（2021秋•江都区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）若BD＝9，AC＝6，求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC，∠ACD+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AB•AD；（2）解：∵AC2＝AB•AD，BD＝9，AC＝6，∴36＝（AD+9）•AD，解得：AD1＝3，AD2＝﹣12（舍去），则AD的长为3．【典例7】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．【解答】（1）证明：∵EF⊥BC，FG⊥EF，∴▱EFGH为矩形，∴FG∥BC，∴，∵∠BAC＝∠FAG，∴△AFG∽△ABC；（2）解：∵EF⊥BC，GH∥EF，∴∠FEH＝90°，GH⊥BC，∴∠G