第04讲建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法（知识解读真题演练课后巩固）

第04讲空间向量及其运算的坐标表示1．了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．2．掌握空间两点间距离公式.3．会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．1空间向量的直角坐标系(1)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量(2)空间向量的直角坐标运算律①若a=(a1则a+b=λaa⋅aa⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中⑤两点间的距离公式若A(则|或d2建立直角坐标系的方法(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系(2)利用线面垂直关系构建直角坐标系(3)利用面面垂直关系构建直角坐标系3确定空间直角坐标系中点坐标的方法求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下(1)射影法看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值.如求点P横坐标x，过点P作PP1⊥平面xoy，再过点P1作P1或直接构造长方体OP，即求出线段P1P3一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；(2)公式法对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；若点Ax则线段AB的中点坐标(x1+x2点P在线段AB上且AP=λPB，则P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；(ii)利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；(iii)三点共线问题：如若点Ax1,y1,z1,Bx2(4)几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.(5)待定系数法：设点P(x,y,z)，利用已知条件求出x,y,z.(6)函数法：常用于设动点坐标；动点P(a,b,c)在定直线AB上，把AB投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面xoy，得到投影直线A'B'方程，从而达到动点P投影P'(a,b)中a,b的关系.以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.【题型1建立直角坐标系的方法】利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系【典题1】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB=4【解析】易得DA、DC、DD1三线两两垂直，如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为(后面解析省略)利用线面垂直关系构建直角坐标系【典题2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1【解析】AB⊥侧面BB1C1C而BC与BB1不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面B如图，以B为原点，分别以BD、BB1、BA(后面解析省略)利用面面垂直关系构建直角坐标系【典题3】如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．【解析】取AD的中点O，连接VO，∵∆VAD是正三角形，∴VO⊥AD又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD则以点O为原点，分别以OA、OV所在直线为x、z轴，以过点O作AD的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．【点拨】①同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；②建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，(1)垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；(2)若有线面垂直，则可考虑该面为平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，则可考虑两面为平面xOy、xOz、yOz其中两个.③若是分别以OA、OB、OC所所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则要先证明OA、OB、OC三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.巩固练习1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，【答案】以D为原点，分别以BD、DA、DF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.2.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，如何建立空间直角坐标系呢？【答案】以O为原点，分别以OB、OA、OP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.3.如图，三棱锥V－ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？【答案】取AC中点E，以E为原点，分别以EB、EC、EV所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.【题型2确定空间直角坐标系中点坐标的方法】情况1求点的坐标【典题1】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面体高为23，顶点D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N为DD1上点，且ON⊥DD【解析】如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为y,z轴，以过点O作B(1)射影法求点A1(x,y,z)，在平面xoy上则由图可知它到y轴投影D1对应数值−2，则y=−2，到x轴投影对应数值为2，则x=2，即A1同理得B1(2)公式法∵G是△AB∴G=(由三角形重心公式(x(3)向量法设B(x,y,z)，则B1B=又∵B1比较得x=2,y=4,z=23∴点B坐标为2,4,23(4)∵D1、N、D即D1∴ON∴N0,2λ−2,2∵ON∴0+4λ−1+12λ=0解得故N0,−【点拨】(1)射影法：看所求点分别在x,y,z轴的投影对应的数值；一般地，点在平面xOy、xOz、yOz或易得点在x、y、z轴的投影均适合射影法；②公式法：对中点、n等分点、重心等点可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用.【典题2】如图，矩形ABCD中，2BC=CD，E为CD的中点，以BE为折痕把四边形ABED折起，使A达到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F分别为PB，BC，EC的中点．建系求点P的坐标.【解析】设BC=2，则BN=CN=1，CF=EF=1，以C为原点，CB为x轴，CE为y轴，过C作平面BCE的垂直CQ为z轴，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，E(0,2,0)，F(0,1,0)，设P(x,y,z)，PB=CD=2BC=4，则PE=PD2∴(x−2)2+y2+∴P(0,2,22【点拨】利用待定系数法，设P(x,y,z)，再利用两点距离公式求得点的坐标.情况2设点坐标【典题3】长方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中点(图1)，将∆ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(图2)在图2中(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在线段BD上是否存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55【解析】(1)证明：在长方形ABCD中，由AB=2AD=22，M是DC得AM=BM=2，而AB=22，∴AM2又AD⊥BM，且AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，而BM⊂平面ABCD，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)思路：先根据“点E(a,b,c)在线段BD上”，得到其坐标形式(即找到a,b,c的关系)，再利用二面角余弦值求出点E的坐标；那怎么引入参数设出点E坐标呢？解：取AB中点N，以M为坐标原点，分别以MN，MC所在直线为x，y轴，在平面ADM内，过M作底面垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则M(0,0,0)，A(2,−1,0)，D(MA=(2方法1向量法设E为线段BD上的点，则DE=λME=DE−(以上是由共线关系利用向量法引入参数λ设点E坐标)(PS以下求λ的过程学完求二面角的向量法方能理解)设平面AMD的一个法向量为m=(x1,y由m⋅MA=2x由n⋅取y2=2由cos<m解得λ=3+6(舍)或∴在线段BD上存点E，使得二面角E−AM−D的余弦值为55方法2函数法设E(a,b,c)，∵D(22,−∴点B、D、E在平面xoy上投影为B'2,1、D'((相当于把直线BD投影到平面xoy上，空间问题化为平面问题，降维处理)求得直线B'D'的方程为y=322点B、D、E在平面yoz上投影为B''1,0求得直线B''D''的方程为z=−23y+所以E的坐标可设为(a,3以下求解类似方法1！【点拨】①本题在处理“点E在线段BD上”这一条件时，想设点Ea,b,c找到a,b,c的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量λ表示a,b,c，而函数法变量是a，用其表示b,c②有时也可用几何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的关系，如下图，过点D''、E分别作D''H⊥x轴，由∆D''HB''~∆EGB''得D''巩固练习1(★★)一张平行四边形的硬纸ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的对角线BD折起，使点C0【答案】，如图建系，则C122(★★)四棱锥S−ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求点S的坐标.【答案】，如图建系，则S(1,123(★★)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，F在PB上，若EF⊥PB于点F，试求点F的坐标.【答案】，如图建系，则F(23(点的坐标与建系的方法有关)巩固练习一、单选题1．（2022·山西·校联考二模）已知，，且，则的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得；故选：B2．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，由正六边形的性质可得，，设，其中，所以，，所以，所以的取值范围.故选：A.二、填空题3．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y，z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，则k＝___．【答案】2【分析】由题意得，从而可求出的值【详解】因为点K（1，k，0）是四次曲面：上的一点，所以，得，解得，故答案为：24．（2022·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）设正四面体在空间直角坐标系中点的坐标为，集合{y|存在，使得}，则集合A的元素个数可能为__________种.（写出所有可能的值）【答案】2或3或4【分析】分析正四面体的某个面或棱与坐标面xOz的关系即可确定四个点的纵坐标的不同取值而得解.【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体的四个顶点不共面，即A中至少有两个元素，正四面体的某个面(不妨令平面)所在平面与平面xOz平行或重合时，，即A中有两个元素；正四面体的任意一个面所在的平面与平面xOz都不平行且不重合，而某条棱所在的直线与平面xOz不相交(不妨令棱)时，y3=y4，且y1，y2，y3互不相等，即A中有三个元素；正四面体的所有棱所在直线与平面xOz都相交时，y1，y2，y3，y4中任意两个都不相等，即A中有四个元素.故答案为：2或3或4【点睛】结论点睛：两个平面平行，一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等；一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离都相等.5．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考三模）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．【答案】【分析】设，，,利用向量的坐标运算求出，进而求出，借助向量模的运算及，整理可得，进而得解.【详解】由题意可设，，,由，得，，，所以（当且仅当，时等号成立），所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查的是空间向量的坐标运算和空间向量模长的坐标表示，意在考查学生的计算能力，属于中档题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.6．（2021·上海静安·统考二模）如下图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.【答案】【分析】根据题意推导出的坐标,从而得出的坐标,进而得出结论.【详解】因为的坐标为,,则,所以,因此,故答案为:.【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础题.7．（2022·上海·统考二模）已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．【答案】【分析】依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，所以向量的坐标为.【详解】解：依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，即，所以向量的坐标为．故填：．【点睛】本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标．属于基础题．一、单选题1．（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间的点关于原点的对称点公式即可得出答案.【详解】根据空间的点关于原点的对称点公式可得，点关于原点对称点的坐标为.故选：B.2．（2022·高二课时练习）在空间直角坐标系中，若轴上点到两点，的距离相等，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设为，利用空间上两点的距离公式列方程求参数y，即可确定的坐标.【详解】由在轴上，不妨设为，由得：，解得，∴．故选：B3．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果.【详解】因为，，，且，，三向量共面，设，则，即，解得.故选：D4．（2019秋·辽宁大连·高二校联考期末）设是边长为的正方体，与相交于点，则有A． B．C． D．【答案】A【分析】分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，即可求解.【详解】分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，对于A中，向量，所以是正确的；对于B中，向量，所以B不正确；对于C中，向量，所以C不正确；对于D中，向量，所以D不正确；综上，只有A项正确，故选A.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．（2018·高三单元测试）已知，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】由题设则由，可得解得，即.故选B.【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是基础题.6．（2018·高二课时练习）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,AC1和BD1相交于点O,则有()A．=2a2 B．a2C．a2 D．=a2【答案】C【分析】设棱长a=1,以D为坐标原点,以直线DA为x轴,以直线DC为y轴,以直线DD1为z轴,建立空间直角坐标系,由向量数量积的坐标运算可求解．【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,令a=1,以D为坐标原点,以直线DA为x轴,以直线DC为y轴,以直线DD1为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),∴O.∴=(0,1,0),=(1,1,0),=(1,1,1),=(1,0,0),.∴=1,=1,.∴只有C正确,故选C.【点睛】若，则.二、多选题7．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断．【详解】在等边中，，所以，则，，则.故选：ABC8．（2021·高二课时练习）（多选）正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中正确的是（

）A．与成60°角B．若，面交于点E，则C．P点在正方形边界及内部运动，且，则P点的轨迹长等于D．E，F分别在上，且，直线与，所成角分别是，，则【答案】ACD【分析】如图，建立空间直角坐标系，对于选项，利用向量法求出与成60°角，所以该选项正确；对于选项，求出，所以选项错误；对于选项，点P的轨迹长为线段的长度为，所以选项正确；对于选项，求出，所以该选项正确.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，．对于选项，，，，∴与成60°角，所以选项正确；对于选项，∵，∴，设，则，，，由已知得，M，N，E四点共面，∴，使得，得解得∴，∴，，所以选项错误；对于选项，设，则，由，得．∴点P的轨迹长为线段的长度为，所以选项正确；对于选项，∵E，F分别在上，且，∴，，则，则，则，故，，故，即，故选项正确．故选：ACD【点睛】本题主要考查空间向量的应用，考查异面直线所成的角的计算，考查向量的模的计算，考查轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题9．（2012春·浙江宁波·高二统考期中）已知，，设在线段上的一点满足，则向量的坐标为________．【答案】【分析】根据向量的坐标运算，即可求解.【详解】因为，，设在线段上的一点满足因为，所以，解得所以向量的坐标为.故答案为：10．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）如下图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_________.【答案】【分析】根据题意推导出的坐标,从而得出的坐标,进而得出结论.【详解】因为的坐标为,,则,所以,因此,故答案为:.【点睛】本题考查空间中向量的求法,属于基础题.11．（2017·高一课时练习）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为________．【答案】【分析】利用空间点关于平面对称点的求法求解【详解】解：点关于坐标平面的对称点的坐标为，点关于坐标平面的对称点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标是，故答案为：12．（2021·高二课时练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______【答案】【分析】先利用向量共线定理设出Q点坐标，再利用向量的数量积运算得到关于的函数式，利用二次函数求最值即可得到答案.【详解】因为点在直线上运动，所以存在，使得，因为，所以，所以点的坐标为.所以，，所以，所以当时，取最小值，此时点的坐标为.故答案为：.四、解答题13．（2021·高二课时练习）已知，，．求：（1）；

（2）．【答案】（1）9，（2）【分析】（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，（2）因为，，，所以14．（2020秋·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点（1）证明：存在点使得，并求的坐标；（2）过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，求该直线的方程.【答案】（1）证明