课时分层作业2量词

课时分层作业(二)量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．]3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2bB．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，eq\r(x2)＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但eq\r(x2)＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]4．下列存在性命题中，假命题的个数是()①存在x∈R，使x2<x；②有些三角函数的周期是π；③存在x∈R，使函数y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))的最小值为2.A．0B．1C．2D．3B[由x2<x得0<x<1，故①“存在x∈R，使x2<x”是真命题；三角函数f(x)＝sin2x的周期为π，故②为真命题；eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，得x2＋2＝1，即x2＝－1，此方程无实数解，所以y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))＞2，故③是假命题．所以假命题的个数为1.]5．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0C[选项A，lgx＝0⇒x＝1；选项B，tanx＝1⇒x＝eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z)；选项C，x3＞0⇒x＞0；选项D,2x＞0⇒x∈R.]二、填空题6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在性命题为________∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0[根据存在性命题的定义改写．]7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)．①三角形两边之和大于第三边；②所有的x∈R，x3＋1>0；③有些函数为奇函数；④平行四边形对角相等．①②④[③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．]8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号)①有一个实数a，a不能取对数；②所有不等式的解集A都满足A⊆R；③三角函数都是周期函数吗？④有的向量方向不定；⑤自然数的平方是正数．②⑤①④[因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在实数x，使得eq\f(1,x2－x＋1)＝2.[解](1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“∃x∈R，eq\f(1,x2－x＋1)＝2”，是假命题．10．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p和q”都是真命题，求实数a的取值范围．[解]∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥∴a≤－2或a≥1.又p和q都为真，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≤－2或a≥1，))∴a≤－2或a＝1.[能力提升练]1．下列命题中，是假命题的是()A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞B．∀a＞0，函数f(x)＝(lnx)2＋lnx－a有零点C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβD．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数D[∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A中的命题为真命题；∵y＝(lnx)2＋lnx的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))，∴∀a＞0，方程(lnx)2＋lnx－a＝0有解，即函数f(x)有零点，故B中的命题为真命题；当α＝eq\f(π,6)，β＝2π时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C中的命题为真命题；当φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x为偶函数，故D中的命题为假命题．]2．已知对∀x>0，a≤x＋eq\f(1,x)恒成立，则a的取值范围为________．(－∞，2][∀x