2025届高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算学案理含解析

PAGE第一节平面对量的概念及线性运算[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解向量的实际背景.2.理解平面对量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.驾驭向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面对量的相关概念，平面对量的线性运算，共线向量定理及其应用仍是2024年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.1.数学运算2.直观想象‖学问梳理‖1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有eq\x(1)方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的eq\x(2)模．(2)零向量：长度为eq\x(3)0的向量，其方向是随意的．(3)单位向量：长度等于eq\x(4)1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或eq\x(5)相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向eq\x(6)相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向eq\x(7)相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝eq\x(8)b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝eq\x(9)a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝eq\x(10)|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向eq\x(11)相同；当λ<0时，λa与a的方向eq\x(12)相反；当λ＝0时，λa＝eq\x(13)0λ(μa)＝eq\x(14)(λμ)a；(λ＋μ)a＝eq\x(15)λa＋μa；λ(a＋b)＝eq\x(16)λa＋λb3.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得eq\x(17)b＝λa．►常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心．3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.特殊地，当A为线段BC中点时，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→)).‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．()(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(6)当两个非零向量a，b共线时，肯定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、走进教材2．(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是随意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等．全部正确命题的序号是()A．① B．③C．①③ D．①②答案：A3．(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内随意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(OM,\s\up6(→)) B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→)) D．4eq\o(OM,\s\up6(→))答案：D三、易错自纠4．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线 B．不共线C．共线且同向 D．不肯定共线解析：选D可举特例，当n＝0时，满意m∥n，n∥k，但m与k不共线，故A、B、C选项都不正确，故选D．5．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，肯定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a＝2b B．a∥bC．a＝－eq\f(1,3)b D．a⊥b解析：选C“eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故选C．6．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：选D依题意，得eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝2(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(平面对量的有关概念))|题组突破|1．下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0解析：选C对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不肯定相同，则a＝b不肯定成立，故A不正确；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不行以比较大小，故B不正确；C明显正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C．2．给出下列命题：(1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；(4)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．解析：(1)不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不肯定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.(2)正确．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(3)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．∴a，c的长度相等且方向相同，∴a＝c.(4)不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b))不是a＝b的充要条件．答案：(2)(3)3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是随意向量，故错误的命题有3个，故选D．►名师点津向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与随意向量共线．eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(平面对量的线性运算——多维探究))●命题角度一用已知向量表示未知向量【例1】(1)(2025届吉林高校附属中学摸底)在梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a－eq\f(1,2)bB．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)bD．eq\f(1,2)a＋b[解析](1)如图，在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).故选D．(2)连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.[答案](1)D(2)D●命题角度二依据向量线性运算求参数【例2】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(9,11) D．eq\f(5,11)[解析]由题意，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→)).设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→)).由题意，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ，,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11)，,m＝\f(5,11)，))故选D．[答案]D►名师点津向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(共线向量定理及其应用——变式探究))【例3】设向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.|变式探究|1．若将本例(1)中“eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b”改为“eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.故当m＝7时，A，B，D三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，即ka＋b＝λa＋kλb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.故当k＝－1时，两向量反向共线．►名师点津利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是推断两个向量共线的主要依据．留意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．例A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.|跟踪训练|1．已知向量i与j不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应当满意的条件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1解析：选C由A，B，D三点共线可设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.2．在△ABC中，N是AC边上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值是________．解析：因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→)).因为P是BN上一点，所以B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(2,3)＝1，所以m＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(平面对量线性运算的创新应用))【例】(2025届洛阳市其次次联考)在△ABC中，点D在线段BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，则x的取值范围是()A．(0，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))[解析]解法一：由题意，得eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CO,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(CO,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(CB,\s\up6(→))|))＝x.∵eq\o(BD,\s