2024-2025学年高中数学第二章数列2.1第2课时数列的通项公式与递推公式课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE数列的通项公式与递推公式[A组学业达标]1．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于()A．－eq\f(16,3) B.eq\f(16,3)C．－eq\f(8,3) D.eq\f(8,3)答案：B2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝()A．－3 B．－11C．－5 D．19解析：∵an＋2＝an＋an＋1，∴a3＝a1＋a2＝7，a4＝a2＋a3＝12，a5＝a3＋a4＝19.故选D.答案：D3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为()A．5 B．6C．7 D．8解析：a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.答案：D4．已知在数列{an}中，a1＝b(b为随意正数)，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值可以是()A．14 B．15C．16 D．17解析：因为a1＝b，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，所以a2＝－eq\f(1,b＋1)，a3＝－eq\f(b＋1,b)，a4＝b.所以{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，所以a7＝a10＝a13＝a16＝b.答案：C5．已知数列{an}的通项公式为an＝9neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n，则数列前4项依次为________．答案：688eq\f(64,9)6．已知数列{an}满意：a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．解析：由a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)得an＋1－an＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，从而an－a1＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,n)，∴an＝2－eq\f(1,n).又当n＝1时，也符合上式．故an＝2－eq\f(1,n).答案：an＝2－eq\f(1,n)7．已知数列{an}的通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1n为奇数，,2n－2n为偶数，))则a2·a3＝________.解析：依据题意a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.答案：208．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1＝3an得eq\f(an＋1,an)＝3.因此可得eq\f(a2,a1)＝3，eq\f(a3,a2)＝3，eq\f(a4,a3)＝3，…，eq\f(an,an－1)＝3(n≥2)．将上面的n－1个式子相乘可得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝3n－1.即eq\f(an,a1)＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝2×30＝2也满意，故an＝2×3n－1.[B组实力提升]9．已知数列{an}的通项为an＝eq\f(4,11－2n)，则满意an＋1＜an的n的最大值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：an＝eq\f(4,11－2n)，an＋1＜an，所以eq\f(4,11－2n＋1)＜eq\f(4,11－2n)，化为：eq\f(1,9－2n)＜eq\f(1,11－2n).由9－2n＞0,11－2n＞0,11－2n＜9－2n，解得n∈∅.由9－2n＜0,11－2n＞0，解得eq\f(9,2)＜n＜eq\f(11,2)，取n＝5.由9－2n＜0,11－2n＜0,11－2n＜9－2n，解得n∈∅.因此满意an＋1＜an的n的最大值为5.答案：C10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg(1＋eq\f(1,n))，则an＝()A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgnC．2＋nlgn D．1＋n＋lgn解析：an＋1－an＝lg(n＋1)－lgn∴a2－a1＝lg2－lg1a3－a2＝lg3－lg2⋮an－an－1＝lgn－lg(n－1)相加得an－a1＝lgn，a1＝2，∴an＝2＋lgn.当n＝1时，也符合上式．故an＝2＋lgn.答案：A11．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2，则an解析：当n＝1时，a1＝1.当n≥2时，a1a2…an－1＝(n－1)2，∴eq\f(a1a2…an,a1a2…an－1)＝eq\f(n2,n－12)，∴an＝eq\f(n2,n－12)，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1,\f(n,n－1)2n≥2)).答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1,\f(n,n－1)2n≥2))12．已知数列{an}对随意的p，q∈N*满意ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，则a10＝________.解析：∵ap＋q＝ap＋aq，∴a4＝2a2＝－12，a8＝2a4a10＝a2＋a8＝－30.答案：－3013．已知数列{an}满意a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，摸索究数列{an}的通项公式．解析：∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴an＋1an＝2an－2an＋1，两边同除以2an＋1an，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2).把以上各式累加得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(n－1,2)，又a1＝1，∴an＝eq\f(2,n＋1).故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．14．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满意f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}是递减数列．解析：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，an－eq\f(1,an)＝－2n，∴aeq\o\al(2,n)＋2nan